Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński
Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński
26 1. Preliminaria( ) ( )∂f ∂fi≡ :=∂x ∂x k⎛⎜⎝∂f 1...∂x 1 .. .. .∂f n...∂x 1⎞∂f 1∂x n∂f n∂x npochodne bierzemy w punkcie x ∈ U. Dla przejrzystości zapisu elementy tejmacierzy oznaczamy J i k i trzymamy się konwencji, że indeks lewy (górny) inumeruje wiersze, a indeks prawy (dolny) k numeruje kolumny macierzy. Jakobianemodwzorowania f w x ∈ U nazywamy wyznacznik macierzy Jacobiego:( ) ∂fiJ f := det =∂x kDla jakobianu stosowane są też zapisy( ) ∂yiD(y 1 ,...,y n )det ,∂x k D(x 1 ,...,x n )∂f 1...∂x 1 . . .. .∣ ∂f n...∂x 1oraz∂f 1∂x n⎟⎠ ,∣ ∣∣∣∣∣∣.∂f n∂x n∂(y 1 ,... ,y n )∂(x 1 ,... ,x n ) .Odpowiedzi na pytanie o odwracalność f udziela znane z analizyTWIERDZENIE O FUNKCJI ODWROTNEJ 1.6. Niech f : U → w R ni U — otwarty w R n . Jeżeli:1) f jest klasy C 1 na U;2) f jest różnowartościowe na U;3) jakobian J f (x) jest różny od zera na U;to wtedya) f(U) jest zbiorem otwartym w R n ;b) f jest homeomorfizmem U na f(U), tzn. istnieje odwzorowanie odwrotnef −1 : f(U) → naU i jest ciągłe na f(U);c) odwzorowanie odwrotne f −1 jest klasy C 1 na f(U) i ma macierz Jacobiegorówną ( ) [( ] ∂f−1 ∂f ∣∣∣ −1=,∂y ∂x)∣x=f −1 (y)czyli jest to macierz odwrotna do ( ∂f∂x ), w której należy podstawić x = f −1 (y).Jeżeli odwzorowanie f jest gładkie (klasy C ∞ ), to również f −1 jest gładkie.Wszystkie założenia twierdzenia są konieczne, by zachodziły jego trzy tezy.Podajemy trzy przykłady sytuacji, gdy któreś z założeń nie jest spełnione.Przykład 1.2. Niech f : R 2 → R 2 dane jest wzorem f(x,y) = (e x cos y,e x sin y). Jakobian J f ≠ 0 dla wszystkich x i y, lecz f nie jest różnowartościowe,
1.5. Odwzorowania przestrzeni R n 27przyjmuje bowiem te same wartości dla (x,y) i (x,y+2nπ). Odwzorowanie f −1nie istnieje zatem na całej płaszczyźnie R 2 , lecz tylko w pasach x ∈ (−∞,+∞)i y ∈ (y 0 ,y 0 + 2π) dla dowolnego y 0 .Przykład 1.3. Jeżeli jakobian znika w pewnych punktach, to odwzorowanieodwrotne może istnieć w ich obrazach, lecz nie jest w nich różniczkowalne.Niech f : R 1 → R 1 , f(x) = y := x 3 . Jakobian J f = f ′ (x) = 3x 2 i J f (0) = 0.Odwzorowanie odwrotne f −1 (y) = 3√ y istnieje również w punkcie y = f(0) == 0, lecz nie jest tam różniczkowalne.Przykład 1.4. Bierzemy na płaszczyźnie zbiór U w kształcie półkola o promieniu1 znajdującego się na półpłaszczyźnie x > 0, rys. 1.1. Zbiór U jestotwarty, więc jego brzeg złożony z półokręgu i średnicy AOB nie należy doniego. Na R 2 wprowadzamy współrzędne biegunowe r i ϕ, a punkty płaszczyznytraktujemy jak liczby zespolone, z = x + iy = r e iϕ . Dla punktów z ∈ Umamy −π/2 < ϕ < +π/2, dla argumentu ϕ przyjmujemy bowiem konwencję,że jest nieciągły na ujemnej półosi Ox. Odwzorowanie f(z) := z 2 przekształcato półkole w otwarte koło jednostkowe V na płaszczyźnie w = u + iv, z któregooprócz brzegowego okręgu usunięto odcinek OC, −1 < u < 0, na którymargument f(z) jest równy ±π i który jest wspólnym obrazem odcinków AOi OB. Odwzorowanie f jest różnowartościowe na U i jest odwzorowaniem Una V = f(U), jest też ciągłe na U. Wydaje się, że odwzorowanie f −1 nie jestciągłe na V , gdyż bliskim punktom p i q, leżącym po obu stronach odcinkaOC, przyporządkowuje ich obrazy f −1 (p) i f −1 (q), które w U są daleko odsiebie.Rysunek 1.1Wrażenie to jest mylne. Odwzorowanie f ma współrzędne u = x 2 − y 2 ,v = 2xy, będące funkcjami klasy C 1 , i macierz Jacobiego
- Page 1 and 2: Spis treściPrzedmowa . . . . . . .
- Page 3 and 4: Spis treści 75.9.2. Interpretacja
- Page 5 and 6: PrzedmowaPodręcznik ten jest znacz
- Page 7: Przedmowa 11dersa, która zupełnie
- Page 10 and 11: 14 1. Preliminariami (wektorami) s
- Page 12 and 13: 16 1. Preliminariamy go wektorem st
- Page 14 and 15: 18 1. Preliminaria• Wektorowa prz
- Page 16 and 17: 20 1. PreliminariaRzeczywisty trój
- Page 18 and 19: 22 1. PreliminariaZnak „+” nie
- Page 20 and 21: 24 1. Preliminaria1.5. Odwzorowania
- Page 24 and 25: 28 1. Preliminaria(x −y2y xktóre
- Page 26 and 27: 30 1. Preliminariamorficznym obraze
- Page 28 and 29: 32 1. Preliminariatryczną, np. w R
- Page 30 and 31: 34 1. Preliminariama postać F I ,(
- Page 32 and 33: 36 1. Preliminaria1. Dalej, krzywa
- Page 34: 38 1. PreliminariaA ijl B klm C pm
1.5. Odwzorowania przestrzeni R n 27przyjmuje bowiem te same wartości dla (x,y) i (x,y+2nπ). Odwzorowanie f −1nie istnieje zatem na całej płaszczyźnie R 2 , lecz tylko w pasach x ∈ (−∞,+∞)i y ∈ (y 0 ,y 0 + 2π) dla dowolnego y 0 .Przykład 1.3. Jeżeli jakobian znika w pewnych punktach, to odwzorowanieodwrotne może istnieć w ich obrazach, lecz nie jest w nich różniczkowalne.Niech f : R 1 → R 1 , f(x) = y := x 3 . Jakobian J f = f ′ (x) = 3x 2 i J f (0) = 0.Odwzorowanie odwrotne f −1 (y) = 3√ y istnieje również w punkcie y = f(0) == 0, lecz nie jest tam różniczkowalne.Przykład 1.4. Bierzemy na płaszczyźnie zbiór U w kształcie półkola o promieniu1 znajdującego się na półpłaszczyźnie x > 0, rys. 1.1. Zbiór U jestotwarty, więc jego brzeg złożony z półokręgu i średnicy AOB nie należy doniego. Na R 2 wprowadzamy współrzędne biegunowe r i ϕ, a punkty płaszczyznytraktujemy jak liczby zespolone, z = x + iy = r e iϕ . Dla punktów z ∈ Umamy −π/2 < ϕ < +π/2, dla argumentu ϕ przyjmujemy bowiem konwencję,że jest nieciągły na ujemnej półosi Ox. Odwzorowanie f(z) := z 2 przekształcato półkole w otwarte koło jednostkowe V na płaszczyźnie w = u + iv, z któregooprócz brzegowego okręgu usunięto odcinek OC, −1 < u < 0, na którymargument f(z) jest równy ±π i który jest wspólnym obrazem odcinków AOi OB. Odwzorowanie f jest różnowartościowe na U i jest odwzorowaniem Una V = f(U), jest też ciągłe na U. Wydaje się, że odwzorowanie f −1 nie jestciągłe na V , gdyż bliskim punktom p i q, leżącym po obu stronach odcinkaOC, przyporządkowuje ich obrazy f −1 (p) i f −1 (q), które w U są daleko odsiebie.Rysunek 1.1Wrażenie to jest mylne. Odwzorowanie f ma współrzędne u = x 2 − y 2 ,v = 2xy, będące funkcjami klasy C 1 , i macierz Jacobiego
Change language