Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

26 1. Preliminaria( ) ( )∂f ∂fi≡ :=∂x ∂x k⎛⎜⎝∂f 1...∂x 1 .. .. .∂f n...∂x 1⎞∂f 1∂x n∂f n∂x npochodne bierzemy w punkcie x ∈ U. Dla przejrzystości zapisu elementy tejmacierzy oznaczamy J i k i trzymamy się konwencji, że indeks lewy (górny) inumeruje wiersze, a indeks prawy (dolny) k numeruje kolumny macierzy. Jakobianemodwzorowania f w x ∈ U nazywamy wyznacznik macierzy Jacobiego:( ) ∂fiJ f := det =∂x kDla jakobianu stosowane są też zapisy( ) ∂yiD(y 1 ,...,y n )det ,∂x k D(x 1 ,...,x n )∂f 1...∂x 1 . . .. .∣ ∂f n...∂x 1oraz∂f 1∂x n⎟⎠ ,∣ ∣∣∣∣∣∣.∂f n∂x n∂(y 1 ,... ,y n )∂(x 1 ,... ,x n ) .Odpowiedzi na pytanie o odwracalność f udziela znane z analizyTWIERDZENIE O FUNKCJI ODWROTNEJ 1.6. Niech f : U → w R ni U — otwarty w R n . Jeżeli:1) f jest klasy C 1 na U;2) f jest różnowartościowe na U;3) jakobian J f (x) jest różny od zera na U;to wtedya) f(U) jest zbiorem otwartym w R n ;b) f jest homeomorfizmem U na f(U), tzn. istnieje odwzorowanie odwrotnef −1 : f(U) → naU i jest ciągłe na f(U);c) odwzorowanie odwrotne f −1 jest klasy C 1 na f(U) i ma macierz Jacobiegorówną ( ) [( ] ∂f−1 ∂f ∣∣∣ −1=,∂y ∂x)∣x=f −1 (y)czyli jest to macierz odwrotna do ( ∂f∂x ), w której należy podstawić x = f −1 (y).Jeżeli odwzorowanie f jest gładkie (klasy C ∞ ), to również f −1 jest gładkie.Wszystkie założenia twierdzenia są konieczne, by zachodziły jego trzy tezy.Podajemy trzy przykłady sytuacji, gdy któreś z założeń nie jest spełnione.Przykład 1.2. Niech f : R 2 → R 2 dane jest wzorem f(x,y) = (e x cos y,e x sin y). Jakobian J f ≠ 0 dla wszystkich x i y, lecz f nie jest różnowartościowe,