Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński

1.4. Przestrzenie R n i E n 23W E n wprowadzamy układ współrzędnych afinicznych. Jest to para(O, {E i }), gdzie O ∈ A jest dowolnie wybranym punktem, zwanym punktempoczątkowym układu afinicznego, a {E i }, i = 1,... ,n, jest dowolną baząortonormalną w stowarzyszonej przestrzeni V n . Każdy punkt p ∈ A ma w tymukładzie jednoznaczne przedstawienien∑p = O + v = O + x i E i .Liczby x i (składowe wektora v) tworzą ciąg współrzędnych afinicznych punktup. Jeżeli q = O+v+u, gdzie wektory v i u mają odpowiednio składowe (x i )i (y i ), to q ma współrzędne afiniczne (x i +y i ). Odległość punktów p 1 = O +v 1oraz p 2 = O + v 2 jest równa∑d(p 1 ,p 2 ) = ‖v 2 − v 1 ‖ = √ n (v2 i − v1) i 2 .W przestrzeni V n istnieje nieskończenie wiele baz ortonormalnych i żadnanie jest wyróżniona, gdyż w odróżnieniu od R n nie ma ona bazy naturalnej.Dowolnośćwyborubazy ortonormalnej imożliwośćjej zmiany (zapomocątransformacjiortogonalnej) pociąga transformacje współrzędnych afinicznych w E n .Afiniczna przestrzeń E n nadaje głębszy sens znanym z elementarnego kursugeometrii analitycznej pojęciom wektorów umiejscowionych i swobodnych.Wektor umiejscowiony to odcinek skierowany −→ pq łączący dwa punkty „przestrzeni”,którą rozumie się jako intuicyjnie pojmowaną przestrzeń euklidesową.Wektor taki ma trzy własności: długość, kierunek i zwrot. Jeżeli bierzemy poduwagę tylko te własności i pomijamy punkt zaczepienia p, to istnieje nieskończeniewiele takich samych odcinków skierowanych, które względem nich sąrównoważne: odcinki −−→ p 1 q 1 i −−→ p 2 q 2 są równoważne, jeżeli mają tę samą długość,kierunek i zwrot, co zapisujemy −−→ p 1 q 1 ∼ −−→ p 2 q 2 . Klasą równoważności odcinkówskierowanych nazywamy zbiór wszystkich odcinków, które są w tym sensierównoważne: [ −−→ p 0 q 0 ] := { −→ pq :−→ pq ∼−−→ p0 q 0 }. Klasę równoważności reprezentujedowolny jej element. Wektorem swobodnym nazywamy klasę równoważnościodcinków skierowanych. Zauważmy, że aby określić długość odcinka, trzebamieć pojęcie odległości punktów, a pojęcie kierunku odcinka jest intuicyjne;to określenie równoważności odcinków jest niezadowalające. Pojęciem fundamentalnymjest wektor umiejscowiony. Wektorową przestrzeń R n , jak równieżkażdą wektorową przestrzeń V n , możemy przedstawić jako zbudowaną z wektorówumiejscowionych zaczepionych w punkcie wyróżnionym — wektorze 0;punkty przestrzeni to końce tych wektorów. Zarazem, kiedy przestrzeń V ndziała jak grupa przesunięć równoległych w afinicznej przestrzeni euklidesowej(A,V n ), wtedy umiejscowione wektory z V n stają się swobodnymi wektoramiw A, jeżeli bowiem q = p + v oraz q ′ = p ′ + v, v ∈ V n , to v = q − p = q ′ − p ′ ,czyli v jest swobodny jako klasa równoważności odcinków skierowanych.i=1i=1