Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński
Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński Elementy analizy tensorowej - Uniwersytet Jagielloński
18 1. Preliminaria• Wektorowa przestrzeń R n . W R n wyróżniony jest punkt 0 = (0,... ,0),naturalne jest więc nałożyć na nią strukturę przestrzeni liniowej 4 : punkty traktujemyjak wektory. Wektorowa przestrzeń R n to n–wymiarowa rzeczywistaprzestrzeń liniowa, której elementami są ciągi x = (x 1 ,...,x n ). Operacja liniowaax + by, dla a,b ∈ R, daje wektor będący ciągiem (ax i + by i ). Współrzędnex i punktu stają się teraz składowymi wektora. Wektor jest tożsamyz ciągiem swoich składowych. Aby mieć zgodność z zapisem macierzowym,przyjmujemy regułę, że składowe wektora, zarówno w R n , jak i na dowolnejrozmaitości, tworzą macierz jednokolumnową. W tej przestrzeni wprowadzamybazę naturalną złożoną z n wyróżnionych, liniowo niezależnych wektorów 5e 1 = (1,0,... ,0) T , e 2 = (0,1,0,... ,0) T , ..., e n = (0,... ,0,1) T . W bazie {e i },i = 1,... ,n, dowolny wektor x jest kombinacją liniową x = ∑ ni=1 xi e i . Wynikastąd fundamentalneTWIERDZENIE 1.1. Każda rzeczywista n–wymiarowa przestrzeń liniowaV n jest izomorficzna z wektorową przestrzenią R n . Izomorfizm oznacza tuwzajemnie jednoznaczne i zachowujące operacje algebraiczne odwzorowanieliniowe V n na R n .Rzeczywiście, niech {E i }, i = 1,... ,n, będzie pewną bazą wektorowąw V n , czyli każdy wektor v ∈ V n ma w tej bazie reprezentację v = ∑ ni=1 xi E i .Wprowadzamy odwzorowanie liniowe f : V n → R n zdefiniowane jego działaniemna wektory bazowe 6 , f(E i ) := e i . Wówczasn∑n∑f(v) = x i f(E i ) = x i e i = xi=1i mamy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie v ↔ x będące liniowymizomorfizmem obu przestrzeni.• Topologiczna przestrzeń wektorowa R n . W liniowej przestrzeni R n możnawprowadzić topologię, czyli zdefiniować rodzinę zbiorów otwartych, którełącznie pokrywają całą przestrzeń. Można to zrobić na wiele nierównoważnychsposobów. W praktyce zawsze wprowadza się topologię naturalną, w którejpierwotnymi zbiorami otwartymi są kule otwarte o środku w dowolnym punkciex 0 = (x i 0 ) i o dowolnym promieniu r > 0:{ n∑K(x 0 ,r) := x : (x i − x i 0 )2 < r};2i=1kule te nie zawierają brzegowej sfery. Dowolny zbiór otwarty jest sumą mnogo-4 Terminy „przestrzeń liniowa” i „przestrzeń wektorowa” traktujemy jak ścisłe synonimy.5 Ze względów typograficznych będziemy czasem pisać wektory jako transponowane macierze jednowierszowe;górny indeks T oznacza transpozycję macierzy.6 Notacja: symbol „:=” oznacza definicję, czyli wielkość stojąca po lewej stronie jest definiowanawyrażeniem po prawej stronie tego symbolu.i=1
1.4. Przestrzenie R n i E n 19ściową skończonej, przeliczalnej lub nieprzeliczalnej ilości kul otwartych. Wynikastąd, że jeżeli punkt x należy do zbioru otwartego, to zawiera się w nim wrazz otaczającą go kulą otwartą o dostatecznie małym promieniu. Nazwanie tejtopologii „naturalną” nabiera sensu, gdy w liniowej przestrzeni R n wprowadzisię iloczyn skalarny i w konsekwencji normę wektora. (Pojęcia te są historyczniewcześniejsze i bardziej intuicyjne od abstrakcyjnego zbioru otwartego).• Wektorowa przestrzeń euklidesowa R n . Jest to topologiczna przestrzeńwektorowa R n , w której wprowadzamy euklidesowy iloczyn skalarny, czyli odwzorowaniepary wektorów na liczbę rzeczywistą, dany wzorem〈x,y〉 ≡ x · y :=Iloczyn ten ma własności:n∑x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n .i=1— x · y = y · x,— jest liniowy w każdym argumencie,— x · x 0 oraz x · x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 = (0,... ,0). (E)Iloczyn skalarny określa normę (długość) wektora 7‖x‖ := √ ∑〈x,x〉 = √ n (x i ) 2oraz odległość punktów x i y:∑d(x,y) ≡ ‖x − y‖ := √ n (x i − y i ) 2 .Dla dowolnych wektorów w R n zachodzi nierówność Cauchy’ego–Schwarzai=1i=1(x · y) 2 ‖x‖ 2 · ‖y‖ 2 ,a z niej wynika nierówność będąca szczególnym przypadkiem nierówności Minkowskiego:‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖.Aby udowodnić pierwszą nierówność, bierzemy dwa dowolne wektory x i yoraz dowolną liczbę λ ∈ R. Wówczas zachodzi(x + λy) · (x + λy) = ‖y‖ 2 λ 2 + 2x · yλ + ‖x‖ 2 .7 Zależnie od wygody wektory tej przestrzeni będziemy oznaczać x, a ich długość ‖x‖ albo pismempogrubionym x i ich długość |x|.
- Page 1 and 2: Spis treściPrzedmowa . . . . . . .
- Page 3 and 4: Spis treści 75.9.2. Interpretacja
- Page 5 and 6: PrzedmowaPodręcznik ten jest znacz
- Page 7: Przedmowa 11dersa, która zupełnie
- Page 10 and 11: 14 1. Preliminariami (wektorami) s
- Page 12 and 13: 16 1. Preliminariamy go wektorem st
- Page 16 and 17: 20 1. PreliminariaRzeczywisty trój
- Page 18 and 19: 22 1. PreliminariaZnak „+” nie
- Page 20 and 21: 24 1. Preliminaria1.5. Odwzorowania
- Page 22 and 23: 26 1. Preliminaria( ) ( )∂f ∂fi
- Page 24 and 25: 28 1. Preliminaria(x −y2y xktóre
- Page 26 and 27: 30 1. Preliminariamorficznym obraze
- Page 28 and 29: 32 1. Preliminariatryczną, np. w R
- Page 30 and 31: 34 1. Preliminariama postać F I ,(
- Page 32 and 33: 36 1. Preliminaria1. Dalej, krzywa
- Page 34: 38 1. PreliminariaA ijl B klm C pm
18 1. Preliminaria• Wektorowa przestrzeń R n . W R n wyróżniony jest punkt 0 = (0,... ,0),naturalne jest więc nałożyć na nią strukturę przestrzeni liniowej 4 : punkty traktujemyjak wektory. Wektorowa przestrzeń R n to n–wymiarowa rzeczywistaprzestrzeń liniowa, której elementami są ciągi x = (x 1 ,...,x n ). Operacja liniowaax + by, dla a,b ∈ R, daje wektor będący ciągiem (ax i + by i ). Współrzędnex i punktu stają się teraz składowymi wektora. Wektor jest tożsamyz ciągiem swoich składowych. Aby mieć zgodność z zapisem macierzowym,przyjmujemy regułę, że składowe wektora, zarówno w R n , jak i na dowolnejrozmaitości, tworzą macierz jednokolumnową. W tej przestrzeni wprowadzamybazę naturalną złożoną z n wyróżnionych, liniowo niezależnych wektorów 5e 1 = (1,0,... ,0) T , e 2 = (0,1,0,... ,0) T , ..., e n = (0,... ,0,1) T . W bazie {e i },i = 1,... ,n, dowolny wektor x jest kombinacją liniową x = ∑ ni=1 xi e i . Wynikastąd fundamentalneTWIERDZENIE 1.1. Każda rzeczywista n–wymiarowa przestrzeń liniowaV n jest izomorficzna z wektorową przestrzenią R n . Izomorfizm oznacza tuwzajemnie jednoznaczne i zachowujące operacje algebraiczne odwzorowanieliniowe V n na R n .Rzeczywiście, niech {E i }, i = 1,... ,n, będzie pewną bazą wektorowąw V n , czyli każdy wektor v ∈ V n ma w tej bazie reprezentację v = ∑ ni=1 xi E i .Wprowadzamy odwzorowanie liniowe f : V n → R n zdefiniowane jego działaniemna wektory bazowe 6 , f(E i ) := e i . Wówczasn∑n∑f(v) = x i f(E i ) = x i e i = xi=1i mamy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie v ↔ x będące liniowymizomorfizmem obu przestrzeni.• Topologiczna przestrzeń wektorowa R n . W liniowej przestrzeni R n możnawprowadzić topologię, czyli zdefiniować rodzinę zbiorów otwartych, którełącznie pokrywają całą przestrzeń. Można to zrobić na wiele nierównoważnychsposobów. W praktyce zawsze wprowadza się topologię naturalną, w którejpierwotnymi zbiorami otwartymi są kule otwarte o środku w dowolnym punkciex 0 = (x i 0 ) i o dowolnym promieniu r > 0:{ n∑K(x 0 ,r) := x : (x i − x i 0 )2 < r};2i=1kule te nie zawierają brzegowej sfery. Dowolny zbiór otwarty jest sumą mnogo-4 Terminy „przestrzeń liniowa” i „przestrzeń wektorowa” traktujemy jak ścisłe synonimy.5 Ze względów typograficznych będziemy czasem pisać wektory jako transponowane macierze jednowierszowe;górny indeks T oznacza transpozycję macierzy.6 Notacja: symbol „:=” oznacza definicję, czyli wielkość stojąca po lewej stronie jest definiowanawyrażeniem po prawej stronie tego symbolu.i=1
Change language