Relacje - Wydział Matematyki i Informatyki

Relacje1 Iloczyn kartezjańskiW poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, Doznaczają zbiory.Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):(a, b) = {{a}, {a, b}}.Zadanie 1 Wykaż, że jeśli a ≠ b, to (a, a) ≠ (a, b).Zadanie 2 Udowodnij, że (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.Przypomnijmy definicję iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B:A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}.Zadanie 3 Korzystając z definicji pary uporządkowanej, wyznacz zbiór A × A, jeśli:(a) A = {a},(b) A = {a, b}.Zadanie 4 Zauważ, że ∅ × ∅ = ∅.Zadanie 5 Wykaż, że jeżeli A ⊂ C i B ⊂ D, to A × B ⊂ C × D.Zadanie 6 Udowodnij, żeA × B = C × D ⇔ ((A = C ∧ B = D) ∨ ((A = ∅ ∨ B = ∅) ∧ (C = ∅ ∨ D = ∅))).2 Własności relacjiRelacja zachodząca między elementami pewnych zbiorów to podzbiór iloczynu kartezjańskiegotych zbiorów. Relacja binarna (dwuargumentowa) na zbiorze A to podzbiór zbioru A × A.Mówimy, że relacja ρ ⊂ A × A jest:– zwrotna, jeśli aρa dla każdego a ∈ A,– symetryczna, jeśli aρb ⇒ bρa dla dowolnych a, b ∈ A,– antysymetryczna, jeśli aρb ⇒ ¬(bρa) dla dowolnych a, b ∈ A,– słabo antysymetryczna, jeśli (aρb) ∧ (bρa) ⇒ (a = b) dla dowolnych a, b ∈ A,– przechodnia, jeśli (aρb) ∧ (bρc) ⇒ (aρc) dla dowolnych a, b, c ∈ A.Zadanie 7 Rozważmy dowolny podzbiór A ⊂ R. Określ, które z powyższych własności mająnastępujące relacje binarne w zbiorze A:(a) xρy ⇔ x < y;(b) xρy ⇔ x y;(c) xρy ⇔ x = y;(d) xρy ⇔ x ≠ y.1

Zadanie 16 Przeanalizuj przykłady relacji postaci (kerf) dla funkcji head, tail, rev.Zadanie 17 Zbadaj sens geometryczny relacji (kerf) dla następujących funkcji:(a) f: R → R, f(x) = [x],(b) f: R 2 → R 2 , f(x, y) = x 2 + y 2 ,(c) f: R 2 → R 2 , f(x, y) = |x| + |y|.Niech ρ będzie dowolną relacją binarną w zbiorze A. Dla każdego elementu a ∈ A określamyzbiór [a] ρ = {x ∈ A : xρa}.Zadanie 18 Wyraź za pomocą zbiorów postaci [a] ρ warunki zwrotności, symetrii, itd.Jeśli ρ jest relacją typu równoważności, to zbiór podzbiory postaci [a] ρ dla a ∈ A nazywamyklasami abstrakcji. Zbiór wszystkich klas abstrakcji (dla danej relacji) nazywamy zbioremilorazowym i oznaczamy symbolem A/ρ.Zadanie 19 Opisz zbiór klas abstrakcji dla relacji typu równoważności z poprzednich zadań.4 Relacje częściowego porządkuRelację binarną ρ określoną w zbiorze A nazywamy relacją częściowego porządku, jeśli jestzwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna. Zbiór z określoną w nim relacją częściowegoporządku (A, ρ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub posetem.Zadanie 20 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Znamy relację binarną „⊂” w zbiorze 2 Xwszystkich podzbiorów zbioru X. Czy ta relacja jest relacją częściowego porządku?Zadanie 21 Sprawdź, czy następujące relacja „|” jest w danym zbiorze relacją częściowego porządku.(a) |⊂ N 1 × N 1 , a | b ⇔ ∃ c∈N1 b = ac;(b) |⊂ N × N, a | b ⇔ ∃ c∈N b = ac;(c) |⊂ Z × Z, a | b ⇔ ∃ c∈Z b = ac;(d) |⊂ Q + × Q + , a | b ⇔ ∃ c∈Q+ b = ac;Zadanie 22 Określmy relację binarną „” w zbiorze R 2 (czyli ⊂ R 2 × R 2 ) w ten sposób, że(x, y) (z, t) ⇔ x z ∧ y t,dla dowolnych x, y, z, t ∈ R. Sprawdź, że relacja „” jest częściowym porządkiem. Zbadaj analogicznąrelację w R n .Zadanie 23 Wykaż, że jeżeli (A, ρ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to dla dowolnegopodzbioru B ⊂ A, zbiór (B, ρ ∩ (B × B)) też jest częściowo uporządkowany.Niech (A, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeśli a b i a ≠ b, to mówimy, żeelement a jest mniejszy od elementu b, a element b jest większy od elementu a.Element a nazywamy maksymalnym, jeśli nie ma elementów od niego większych. Element anazywamy największym, jeśli wszystkie pozostałe elementy są od niego mniejsze.3

Zadanie 24 Zapisz definicje elementu maksymalnego i elementu największego w sposób formalny.Zadanie 25 Podaj słowne definicje elementu minimalnego i elementu najmniejszego i zapisz jew sposób formalny.Zadanie 26 Znajdź (jeśli istnieją) elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejszew zbiorach częściowo uporządkowanych z zadań 20, 21, 22.Zadanie 27 W danym zbiorze A ⊂ R 2 określmy relację binarną „” jak w zadaniu 22. Znajdź,jeśli istnieją, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze.(a) A = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1},(b) A = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1},(c) A = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| 1},(d) A = {(x, y) ∈ R 2 : |x + y| + |x − y| 1},(e) A = {(x, 0); x ∈ R},(f) A = {(x, x); x ∈ R},(g) A = {(0, 0), (−1, 0), (1, 0), (− 1 2 , 1), ( 1 2, 1), (0, 2)},(h) A = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}.Zadanie 28 Uzasadnij, że jeżeli w zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje element największy(najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym).Niech (A, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element a nazywamy ograniczeniemz góry zbioru B ⊂ A, jeśli wszystkie elementy zbioru B są mniejsze lub równe a. Element anazywamy kresem górnym zbioru B ⊂ A, jeśli jest najmniejszym ograniczeniem z góry zbioru B.Zadanie 29 Zapisz formalną definicję kresu górnego. Podaj analogiczną definicję kresu dolnegoi zapisz ją formalnie.Zadanie 30 Zbadaj istnienie kresów podzbioru A zbioru R 2 z zadania 27.Zadanie 31 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Udowodnij, że kresem górnym podzbioru A ⊂2 X (z relacją „⊂”) jest ⋃ A∈A A, zaś kresem dolnym jest ⋂ A∈A A.Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi3 (a) Rozwiązanie. A × A = {(a, a)} = {{{a}, {a, a}}} = {{{a}, {a}}} = {{{a}}}.6 Wskazówka. Rozważ oddzielnie przypadek, gdy jeden ze zbiorów A, B, C, D jest pusty.10 Odpowiedź.(a) Relacja pusta ρ = ∅ ⊂ A×A nie jest zwarta (o ile A ≠ ∅), jest symetryczna, antysymetryczna,słabo antysymetryczna i przechodnia.(b) Relacja przekątniowa ∇ A = {(a, a); a ∈ A} ⊂ A × A, jest zwarta, symetryczna, nie jestantysymetryczna (o ile A ≠ ∅), jest słabo antysymetryczna i przechodnia.(c) Relacja pełna △ A = A × A jest zwarta, symetryczna, nie jest antysymetryczna (o ileA ≠ ∅), jest przechodnia. Jeśli zbiór A jest pusty lub jednoelementowy, to relacja △ A jest4

Nie ma elementu największego ani najmniejszego.(d) Element maksymalny i największy: ( 1 2 , 1 2 ). Element minimalny i najmniejszy: (− 1 2 , − 1 2 ).30 Odpowiedź.(a), (b), (c) Kres górny: (1, 1), kres dolny: (−1, −1).(d) Kres górny: ( 1 2 , 1 2 ), kres dolny: (− 1 2 , − 1 2 ).Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.Relacje, wersja czwarta, 12 II 2003.6