Artikli fail - Matemaatika didaktika

Historism matemaatikaõpetusesKaido Kariste, Tartu Descartes'i LütseumElts Abel, Tartu ÜlikoolEnamik põhikooli ja keskkooli õpilasi tajub matemaatikat ainena, millelpuudub ajalugu. Tegu oleks nagu suletud struktuuriga, mis asub õpetajapeas. Õpetajast saab kõigi vajalike teadmiste allikas ja tema ülesandeksjääb ainult need teadmised sobival moel õpilasteni viia. Samuti on õpetajaotsustajaks, kas mõni vastus on õige või vale. Seetõttu läheb sageli juhendamisekäigus kaotsi arusaamine matemaatikast kui loomeprotsessist.(Swetz jt, 1995, lk 3) Mitmed juhtivad matemaatikud ja õpetlased on läbisajandite väljendanud mõtteid ajaloo vajalikkusest matemaatika õpetamisel,kuid huvi suurenemine matemaatika ajaloo kasutamise kohta tunnis onsiiski tekkinud alles viimastel kümnenditel.Kõige põhjalikuma uurimuse matemaatika ajaloo kasutamise kohta on läbiviinud ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) aastatel1997–1998, mille kokkuvõtteks ilmus 2000. aastal 437-leheküljelineraport. Kokku uuriti 16 erineva riigi õppekavasid ning matemaatika ainekavasid.Nendeks riikideks olid Argentiina, Austria, Brasiilia, Hiina, Taani,Prantsusmaa, Kreeka, Iisrael, Itaalia, Jaapan, Holland, Uus-Meremaa,Norra, Poola, Suurbritannia ja USA. (Fauvel jt, 2000, lk 1–18) ICMI uuringusttuli välja, et suuremat tähelepanu pööratakse matemaatika ajalookäsitlemise kajastamisel nende riikide õppekavades, millel on matemaatikaspikad ajaloolised traditsioonid.Probleemid matemaatika ajaloo lülitamisega õppetöösseMatemaatikat seostatakse vaimusilmas sageli aksioomide, teoreemide jatõestuste kogumina. Avalikult koosneb see lihvitud produktidest, millesvõib suhelda, mida võib kritiseerida ja mis võivad olla mõne uue töö aluseks.Siiski on kasvamas arusaam, et tegu on ainult ühe aspektiga matemaatilisestteadmisest. Matemaatika loomeprotsess on sama tähtis kui tulem,eriti didaktilisest vaatevinklist. See protsess hõlmab endas vigade tegemist,kahtluste ja arusaamatuste omamist ja isegi tagasipöördumist matemaatikaaluste juurde. Matemaatika õppimine ei seisne pelgalt sümbolitega manipuleerimaõppimises ja teooriate loogilise ülesehitusega tutvumises. Lisakseelnevale lisandub siia kindlate probleemide ja küsimuste tausta mõistmine.Matemaatika õpetamisest kujuneb seeläbi palju keerulisem ettevõtmine, kuilihtsalt hästi struktureeritud matemaatika arengu eksponeerimine õpilastele.(Fauvel jt, 2000, lk 201)Teisest küljest on tõstetud esile mitmeid raskusi, mida ajaloo lisaminetundidesse võib põhjustada. Kõige levinumaks arvamuseks on, et ajalugu ei15

ole siiski matemaatika. Õpilastel võib olla korrapäratu arusaam üldajaloost,mis teeb matemaatika ajaloo õpetamise võimatuks ja muudab kogu ainehoopis piinavamaks, keerulisemaks ja segadust tekitavamaks. Lisades siiaveel ajanappuse ning vastavate vahendite puuduse, oleme saanud üsnaveenvad argumendid ajaloo mittekasutamiseks matemaatikatunnis. (Fauveljt, 2000, lk 203)Vaatleme nüüd mõningaid pooldavaid argumente matemaatika ajalookasutamiseks õppetöös. ICMI uuring tõi välja viis peamist valdkonda, kusmatemaatika õpetamise protsessi saaks toetada, rikastada ja arendada läbiajaloo juurutamise. (sealsamas, lk 203–207)Esimeseks valdkonnaks on uuringu põhjal üldine lähenemine matemaatikaõppimisele ja õpetamisele. Ajalooline areng näitab, et vähe on neid matemaatilisiideid, mis on avaldatud sel kujul nagu need avastati. Matemaatilisteideede organiseerimine nende säilitamiseks on vajalik, et vähendadaerinevate õppematerjalide mahtu, samas jäävad seetõttu varju needpeamised motiveerivad küsimused, tänu millele antud ideeni jõuti.Teise valdkonnana toodi uuringus välja matemaatilise tegevuse ja vaadeteolemuse avamine. Käsitledes ajalooliselt tähtsaid küsimusi, võime andapalju selgema ülevaate matemaatikast ja matemaatilisest tegevusest. Õpilasedvõivad õppida, et vead, kahtlused, vastuväited ja alternatiivsed lähenemisedei ole matemaatikas keelatud või pelgalt matemaatikaga tegelemiselkaasnev nähtus, vaid üks matemaatika osa.Kolmandaks valdkonnaks oli õpetajate didaktiline taust ja pedagoogilinerepertuaar. See tähendab, et ajalugu uurides ja erinevate teemade ajaloolistarengut didaktiliselt sobilikult rekonstrueerides õpivad õpetajad tundmauue matemaatilise idee tekkimise tausta.Neljandaks räägiti uuringus matemaatika ajaloost kui eelarvamustekujundajast. Ajalooga võib selgitada, et matemaatika on pigem arenev jainimlik aine kui ainuõigete tõdede süsteem. Ajaloo abil saame suunata õpilasimitte heituma ebaõnnestumistest, vigadest, kahtlustest või arusaamatustest,sest need on olnud ehituskivideks paljudele suurtele matemaatikuteleoma teooriate loomisel.Viimase valdkonnana toodi uuringus välja matemaatika kui multikultuursesaavutuse tajumise vajalikkus. Matemaatikat käsitletakse hetkel teatudlääne kultuuride saavutusena. Läbi ajaloo õpingute tekib nii õpilastel kui kaõpetajatel võimalus saada osa vähemtuntumatest lähenemistest, mis ilmnesidteistes kultuurides. Seda saame rakendada, näidates ajaloost inspireerituidfilme või lavastades erinevaid matemaatilise sisuga näidendeid.16

Matemaatika ajaloo võimalikud kasutusviisid matemaatikatunnisICMI raportis toodi ühe suurima puudusena välja riiklikes õppekavadesliiga vähene tähelepanu sellele, kuidas peaks mõningate õppetulemustenijõudma. Sama kehtib ajaloo kasutamise kohta õppetöös. Erinevate uurimisrühmadetoel töötati välja meetod ajaloo kasutamiseks.Tegu on kombineeritud lähenemisega õpetamisest ja õppimisest. See ei olerangelt deduktiivne ega ka rangelt ajalooline. Põhiseisukohaks on, et teematõpitakse alles siis, kui ollakse piisavalt motiveeritud. Õpilastele selgitatakse,et teatud matemaatilist probleemi ei ole enne võimalik lahendada, kuinad pole uut teooriat või käsitlust õppinud. Vajaduse tunnetamine moodustabkikogu lähenemise selgroo. Esitatud vaatevinklist pakub ajalooline tausthuvitavaid võimalusi aine mõistmiseks sügavuti. Programmi täideviimiseksoleks vaja, et õpetaja omaks baasteadmisi käsitletava teema ajaloolisestarengust. Ta peaks suutma identifitseerida kriitilised sammud (võtmeideedja küsimused, mis viisid läbimurdeni). Edasi muudetakse kogu materjalsobilikuks klassis kasutamiseks. Rekonstrueeritud sammud esitatakse ajalooliseltmotiveerivate probleemidena nii, et raskusaste oleks järjest kasvavja iga järgnev toetuks eelmisele probleemile. Nende ülesannete vorm võibvarieeruda lihtsatest harjutustest kuni avatud küsimusteni. Avatud küsimusteuurimine võiks jääda mõne uurimistöö või rühmatöö sisuks.Ajaloo juurutamine matemaatilisse haridusse hõlmab endas selgelt teaduslikumaterjali kasutamist. Need materjalid võib laias laastus jagada kolmekategooriasse (vt joon. 1):a) algallikad (koopiad originaaldokumentidest);b) sekundaarsed allikad (õpikud või teatmikud, milles on sees ajaloolistkäsitlust ja konstrueeritud probleeme);c) didaktiline materjal (üldised matemaatika õpetamisega seotudsoovitused). (Fauvel jt, 2000, lk 212–213)AlgallikadSekundaarsedallikadAjaloostinspireeritudesitusDidaktilinematerjalÕppetööklassisJoon. 1. Ajaloo lisamine õppetundiMatemaatikaajaloolased on peamiselt huvitatud algallikatest. Õpetajatelevõiks rohkem sobida ajaloolaste kokku pandud sekundaarsed allikad,millest valmib ajaloost inspireeritud esitus. Kombineerides eelnevat didaktilisematerjaliga, saame sobilikud õppematerjalid tunnis kasutamiseks.17

Kogumikus (Fauvel jt, 2000, lk 213–232) on toodud koos näidetega mitmeiderinevaid viise antud meetodi kasutamiseks klassisiseses õppetöös.Käesoleva artikli autorid valisid neist välja neli, mida nende arvates on võimalikhetkel valitsevates oludes õppetöös rakendada. Väljavalitud ideedeksoleksid järgnevad:1. Ajaloost inspireeritud sissejuhatus teemasseMatemaatikapädevus hõlmab ka huvi matemaatika vastu, matemaatikasotsiaalse, kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist (Gümnaasiumiriiklik õppekava, 2011). Selle saavutamiseks peame artikli autorite arvatesesmalt tagama, et õpilane märkaks matemaatika olulisust teda ümbritsevalesotsiaalsele ja kultuurilisele keskkonnale. Väga hästi saame seda demonstreeridanäiteks trigonomeetria teema juures, kasutades ajaloolist sissejuhatust.Ka tõenäosusteoorial ja statistikal on põnev arengulugu. Logaritmideloomise tagamaid aitab valgustada tuntud kohtumise kirjeldus, mis leidisaset John Napieri ja Henry Briggsi vahel. Erinevate teemade sissejuhatusekskasutatavad tekstid on toodud magistritöös (Kariste, 2011, lk 29–37),mis on kättesaadav internetist matemaatika didaktika kodulehelt (Matdid,2011).2. Õpitulemuse saavutamine läbi ajaloolise käsitluseMatemaatika ajaloo kasutamine tunnis ei tähenda ajaloo enda õppimist,vaid ajaloost inspireeritud probleemide kasutamist. Kahjuks ei ole kehtivkooliprogramm jälginud matemaatika ajaloolist arengut ja seetõttu onsobilike ülesannete leidmine ning nende loogiliseks tervikuks siduminetöömahukas ja keeruline ülesanne. Raskusest hoolimata ei peaks me sedateed hülgama. Magistritöös (Kariste, 2011, lk 38–43) on toodud näitena,kuidas saaks ajalugu kasutada aritmeetilise ja geomeetrilise jada ning liitprotsendilisekasvamise ning kahanemise õpetamisel.3. Ajaloolised probleemidMatemaatika ajalugu pakub hulgaliselt probleeme, mis võivad olla stimuleerivadja produktiivsed nii õpilasele kui õpetajale. Autorite arvates sobiksidsiinkohal esile tõsta kolm vanaaja lahendamatut probleemi. Esimeneneist on ülesanne ringi kvadratuurist ehk teiste sõnadega ülesanne konstrueeridaantud ringiga pindvõrdne ruut. Teiseks vanaaja lahendamatuksprobleemiks on kuubi duplikatsiooni e Delose ülesanne. Kolmas ülesanne,mille vana maailma matemaatikud järeltulijatele lahendamatuna pärandasid,on ülesanne jaotada nurk ainult sirkli ja joonlaua abil kolmeks võrdseksosaks e nurga trisektsioon.18

4. Ühised jooned ajaloo ja õppimise vahelMatemaatika ajaloos puutume kokku mitmete valdkondadega, mille arengja tulemuste omaksvõtt matemaatikute seas olid väga vaevalised ningaeglased. Isegi siis ei tahetud neid veel päris hästi aktsepteerida, kui sel alaloli saavutatud mitmeid tähtsaid läbimurdeid. Võib õigustatult oletada, etõpilased võivad kogeda antud teemade õppimisel samu raskusi, midakogesid matemaatikud läbi ajaloo. (Fauvel jt, 2000, lk 152) Probleemiillustreerimiseks võib tuua näite negatiivsetest arvudest. Mitmed uuringudon näidanud, et õpilased kogevad tõsiseid raskusi nende käsitlemisel.Heites pilgu ajalukku, on see täiesti mõistetav. Alles 19. sajandil tunnustatinegatiivseid arve ühe osana arvusüsteemist, kuigi ka siis leidus veelmatemaatikuid, kes negatiivseid arve ei tahtnud aktsepteerida. Üks nendestoli kuulus inglise matemaatik Augustus de Morgan (1806–1871), kes pidasnegatiivseid arve täiesti käsitlematuteks (Swetz jt, 1995, lk 4).KokkuvõteViimastel kümnenditel läbiviidud uuringutes on selgunud, et ajaloolistmaterjali ei peaks käsitletama õppetöös isoleerituna muust materjalist, vaidseda peaks õpitava teema paremaks näitlikustamiseks siduma käsitletavateooria ja ülesannetega. Lisaks on toodud välja, et ajaloo kasutamine tunnisei tähenda ajaloo enda õpetamist, vaid läbimurdele viinud ideede esitamistning nende analüüsimist. Selle läbiviimiseks on pakutud välja kombineeritudlähenemine õpetamisest ja õppimisest. Põhiseisukohaks on, et teatudteemat õpitakse alles siis, kui ollakse piisavalt motiveeritud. Motiveeriminetoimub ajaloolise sissejuhatuse abil või läbi rekonstrueeritud ajaloolisteprobleemide. Kombineerides neid materjale didaktiliste materjalidega, saadakseajaloost inspireeritud õppetund.Matemaatika ajaloo edukaks kasutamiseks tunnis vajame rohkem metoodilisija didaktilisi juhendeid, mis lähtuksid kehtivast ainekavast. Matemaatikaajaloo kasutamise eesmärgiks peab jääma siiski õpitava teemaselgitamine ja sidumine olemasolevate teadmistega, mitte selle muutmineveel segasemaks ja raskemaks.Kirjandus1. Fauvel, J., van Maanen, J. (2000). History in Mathematics Education.Vol. 6. Dordrecht : Kluwert Academic Publishers.2. Gümnaasiumi riiklik õppekava. (2011). Riigi Teataja I, 14.01.2011, 2.3. Kariste, K. (2011). Ajalugu matemaatilises hariduses. Magistriõppelõputöö. Tartu Ülikool, Tartu.19

4. Matemaatika didaktika koduleht Matdid (s.a). URL http://matdid.edu.ee/(02.08.2011).5. Swetz, F., Fauvel, J., Katz, V. (1995). Learn from the Masters.Washington: The Mathematical Association.Historism in Mathematics EducationKaido Kariste, Tartu Descartes LyceumElts Abel, University of TartuSummaryPeople have studied, learned and used mathematics for over 4,000 years yetthe movement to integrate mathematics history into mathematics teachingand learning raised international concern over much of the last century. Theuse of the history of mathematics in teaching and learning mathematicsrequires didactical reflections. The article gives an overview of some ideasfor integrating the history of mathematics in the classroom based on anICMI study carried out in 1997–1998. It provides several reasons why thehistory of mathematics may be relevant to the teaching and learningprocess, both for the teacher and the student.20