Wykład 4 - cd. Postulaty, Matematyka MK - Uniwersytet ŚlÄ ski

Mechanika Kwantowa,Relatywistyczna Mechanika KwantowaWykład dla doktorantów(2004 –2005)Wykład 4„Człowiek zajmujący się nauką nigdy niezrozumie, dlaczego miałby wierzyć w pewneopinie tylko dlatego, że znajdują się one wjakiejś książce. (...) Nigdy również nie uznaswych własnych wyników za prawdęostateczną”.A.Einstein w liście do J.Lee,1945Marek ZrałekZakład Teorii Pola i Cząstek ElementarnychInstytut FizykiUniwersytet ŚląskiKatowice, 2004PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Postulat VI: Ewolucja w czasie układu kwantowegoKlasycznie:Znając siły działające na układfizyczny i warunki początkowemożemy wyznaczyć stanukłady w dowolnej późniejszejchwili czasu. Służą do tegorównania ruchu. Znamy kilkawersji r.ruchu: np. r. Newtona,r. Lagrange’a, r. Hamiltona albor.Hamiltona–Jacobiego.Np. r. Hamiltona:dqdti=∂∂pi,dpdti∂H= −∂qiKwantowo:Mechanika kwantowa daje takżemożliwość wyznaczenia stanu wdowolnej późniejszej chwili czasugdy znamy stan początkowy.Gdy nie wykonujemy pomiaru naukładzie i znamy jego stanpoczątkowy (t 0 ) to istniejetakioperator H zwany operatoremHamiltona (Hamiltonian), żedρ( t )dtH ih = [ H, ρ (t) ](równanie Liuville’a)PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator Hjest operatorem energii układu.Dla układu nieizolowanego istnieje też odpowiedni operator H = h(t),który nie jest operatorem energii.Równanie Liuville’adla stanu czystego jest równoważne równaniuSchrödingera.Obrazy Schrödingera, Heisenbergai DiracaRównanie HeisenbergaStany stacjonarne,stałe ruchuPDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Postulat VII: Układy z wieloma stopniami swobodyKlasycznie:Każdy następny stopieńswobody opisany jestprzez nową paręzmiennych kanoniczniesprzężonych.{ q i (t), p i (t),i = 1,2,3,..... }Kwantowo:Każdy stopień swobody ma swojąwłasną liniową przestrzeń stanów i . Przestrzeń stanów układu zwieloma stopniami swobody jestiloczynem prostym przestrzeni i :Φ = Φ1⊗ Φ2⊗ Φ3⊗Stan czysty układu jest kombinacjąiloczynów prostych stanów:.......ψ= ψ ψ1⊗ ψ2⊗3⊗.......PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Definicja iloczynu prostego przestrzeni,definicja iloczynu skalarnego, bazaStany niezależne, dowolne stany –stany splątaneObserwabledla wielu stopni swobodyPrzykładyPDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Unormowane stany całkowicie symetryczne iantysymetryczneObserwabledla cząstek identycznychZasada PauliegoParastatystykiPDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Wektory uogólnione mają wymiar ( [|x›]= cm -1/2 )Definicja naszej przestrzeni stanów Realizacja – przestrzeń SchwartzaCzęsto x ψ = ψ (x) - - - - -ψIzomorfizm przestrzeni oraz(z)CC∞∞(E n ) (a i )Elementy teorii reprezentacji, przejście pomiędzy bazamiZagadnienie własne w bazie dyskretnejPrzykłady przestrzeni SchwartzaK(a): (x) = 0 dla |x|a, Szereg FourieraK(): - < x < , Wielomiany Hermite’aK(-1,1): -1< x < 1, Wielomiany Legendre’aK(0, ): 0 < x < , Wielomiany Laguerre’aPDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Przejście pomiędzy bazami widma ciągłegoCiągłe funkcjonałyZbiór antyliniowych funkcjonałów na przestrzeniliniowej tworzy przestrzeń liniową.Przestrzeńta nosi nazwę przestrzeni sprzężonej lub dualnejdo . Przestrzeń tą oznaczamy jako * .Dla przestrzeni skończenie wymiarowych , dualne doniej przestrzenie * są tożsame z . * = , przestrzenie samodualneDla przestrzeni nieskończenie wymiarowych: *PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Topologia –zbieżność nieskończonego ciągu (wystarczy dla naszychcelów.Co to znaczy i ? ---- przestrzeń liniowa bez żadnej topologiiH ----- zawiera wszystkie granice || i - || 0; H ----- zawiera granice ciągów ||A p ( i - )|| 0;HZawiera p. graniczne wedługostrzejszego warunkuZawiera p. graniczne wedługmniej ostrego warunkuDla przestrzeni dualnych będzie odwrotnie * * H *(H=H * * ) *Tryplet Gelfanda(Rigged Hilbert Space)PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com