okręgi-przykładowe zadania.pdf - Zsg.wroclaw.pl

Zadanie 1. Ile punktów wspólnych ma okrąg?Rozwiązanie - 1 sposóbPunkty wspólne należą jednocześnie dookręgu i do prostej, spełniają więcjednocześnie ich wzory. Rozwiązujemy układz prostą o równaniu:Rozwiązanie - 2 sposóbOznaczmy:- promieo okręgu - środek okręgu- odległośd środka okręgu od prostejprosta leży poza okręgiemprosta jest styczna do okręgu (ma znim jeden punkt wspólny)prosta przecina okrąg w dwóchpunktach, toKorzystam ze wzoru na odległośd punktuod prostejkbrak rozwiązaoOdp. Prosta i okrąg o podanych wzorach niemają punktów wspólnychwięc prosta leży poza okręgiem, czylinie ma z nim punktów wspólnychZadanie 2. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o koocachRozwiązanie:Środek okręgu jest środkiem odcinka PR:Promieo okręgu to długośd odcinka SP lub SRwspółrzędne środka okręguPodstawiam do wzoru na równanie okręgupromieo okręguOdp. Równanie okręgu ma postad:

Zadanie 3. Znajdź współrzędne punktów przecięcia okręguz osiami układu współrzędnychAby obliczyd punkty przecięcia z osią OX Aby obliczyd punkty przecięcia z osią OYpodstawiam do równania okręgu (bo podstawiam do równania okręgu (bopunkty leżące na osi OX mają drugąwspółrzędną =0)punkty leżące na osi OY mają pierwsząwspółrzędną =0)luWspółrzędne punktów przecięcia z osią OXto:Zadanie 4. Napisz równanie prostej stycznej do okręgu.luWspółrzędne punktów przecięcia z osią OYto:Rozwiązanie:Wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia i że punkt P leży na stycznej.Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej:Prosta zawierająca promieo przechodzi przez punkty S i P,Obliczam współczynnik kierunkowy prostej zawierającej promieo okręgu:w punkcieto środek okręguKorzystając z warunku prostopadłości prostych: mamy: iPodstawiam do wzoru stycznej współrzędne punktu P i wyliczony współczynnik kierunkowy, stądOdp. Prosta styczna do okręgu w punkcie P ma postad:Zadanie 5.Okrąg o środku jest styczny do prostej o równaniu . Obliczwspółrzędne punktu styczności.Wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia. Jeżeli oznaczę punkt styczności przezP, to prosta zawierająca punkty S i P jest prostopadła do stycznej . Współczynnikkierunkowy stycznejAby napisad równanie prostej zawierającej punkty S i P korzystam ze wzoru na równanieprostej przechodzącej przez jeden punkt o danym współczynniku kierunkowym.Z warunku prostopadłości prostych: mamy: iPodstawiam do wzoru współrzędne punktu S i wyliczony współczynnik kierunkowy:. stąd i ostatecznieZatem równanie prostej zawierającej punkty S i P ma postad:

Zadanie 7. t zną o ok ęgujest p ost o ówn niuA. B. C. D.Przekształcam równanie okręgu, następnie odczytuję współrzędne środka i długośdpromienia: Środek , promieoOdp. B (można naszkicowad, jeżeli tego nie widzimy )Zadanie 8. Ś o ek ok ęgu p ze ho zą ego p zez punkt i n leżdo prostej . Zn j ź ówn nie tego ok ęgu.ozwiąz nieKorzystam z równania okręgu gdzie środek, promieo1.Ponieważ środek leży na prostej , więc współrzędne środka spełniają jejrównanie. Stąd . Wobec tego środek ma współrzędne więcrównanie okręgu ma postad:2.Punkty A i B należą do okręgu, więc ich współrzędne spełniają równanie okręgu3.Podstawiam współrzędne punktów A, B do równania okręgu z punktu 1.porównuję:Z punktu 1 mamy więc . Zatem środek okręguOdp. Równanie okręgu ma postad:promieo