2. Loogikafunktsioonid ja loogikalülitused - of / [www.ene.ttu.ee]

Tabeli 2.1 järg1 2 3 4 5 66. Ekvi-Väljundis onyx1 x2valent-sus siis, kuisignaal 1 ainultx1y= x1⋅ x2+ x1⋅x2x1 x2x2sisenditel onühesugusedyväärtused7. VälistavVÕIVäljundis onsignaal 1 ainultsiis, kui sisenditeolek on erinevx1x1x2x2yy = x1⋅ x2+ x1⋅x2y = x1⊕x2x1x2M2yyy8. ImplikatsioonVäljundis onsignaal 0 ainultsiis, kui x2 = 1 jax1 = 0.Loogilinejäreldusx1x2yyy = x1+x2x1x21y9. Keeld Väljund võrdubsisendiga x, kuisignaal u on 0.Sinaali u = 1korral on väljundissignaal 0sõltumatasisendist xxyyy = x⋅uuxu&y10. Mälu Sisendiga x1lülitatakseväljund olekusse1 ning see oleksäilib, kuni sedaei muudetasisendiga x2x1y'yx2yy= ( x1+ y')⋅ x2SRTQQMäluelemendi reaktsioon sisendsignaalile sõltub sellest, milline on tema sisemine olek ehkmälu. Mälu saavutatakse tänu tagasisidele Tagasiside moodustub seal, kus signaal antaksesüsteemi väljundist tagasi sisendisse. Joonisel näidatud kontaktaseskeemi puhulmoodustatakse tagasiside relee y abikontaktiga y'.17

Võrdluseks võib esitada kahendarvude aritmeetikatehted:0 ⋅ 0 = 0; 0 ⋅ 1 = 0;1 ⋅ 0 = 0;1 ⋅ 1 = 1;(2.8)0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1;1 + 0 = 1;1 + 1 = 10.Kahendarvude loogika- ja aritmeetikatehted langevad enamuses kokku, välja arvatud loogilineja aritmeetiline liitmistehe 1 ∨ 1 = 1 ning 1 + 1 = 10 , mille tulem on erinev. Seepärast tulebloogika- ja aritmeetikatehteid kindlalt eristada ja loogikatehete tähistamiseks võib kasutadaaritmeetikatehete märke vaid juhul kui pole ohtu neid tehteid segi ajada.Loogikaaksioomide põhjal tuletatakse peamised loogikaseadused:1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null (tühihulk), kuikas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga0 ∧ a ∧ b ∧ c ∧!= 0.(2.9)2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks(universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega1 ∨ a ∨ b ∨ c ∨ ! = 1.(2.10)3. Idempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta).Argumendi loogiline korrutamine või liitmine iseendaga ei muuda tulemi väärtusta⋅ a = a; a+ a = a. (2.11)4. Eituse eitamise seadus. Argumendi väärtus tema kahekordsel eitamisel ei muutua= a. (2.12)5. Komplementaarsus- ehk täiendiseadus. Argumendi ja tema eituse ehk täiendiloogiline korrutis on null, loogiline summa üksa ⋅a = 0; a + a = 1.(2.13)6. Kommutatiivsusseadus. Argumentide järjekorda loogikatehetes võib muutaa ⋅ b = b ⋅ a; a + b = b+a.(2.14)7. Assotsiatiivsusseadus. Mitme argumendi loogilist korrutamist ja loogilist liitmist võibsooritada suvalises järjekorras või samaaegselt( b ⋅ c) = ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ c;( b + c) = ( a + b) + c = a + b c.a ⋅a + +(2.15)8. Distributiivsusseadus (sulgude avamise seadus). Argumentide loogilist summat võibloogiliselt korrutada argumendiga a või korrutada esmalt kõiki argumente a-ga ningseejärel need korrutised loogiliselt liita. Argumentide loogilisele korrutisele võib liitaargumendi a või esmalt liita loogiliselt kõikidele argumentidele a ning seejärel need19

summad loogiliselt korrutada. Kui esimene teisendus vastab sulgude avamisele arvudealgebras, siis teine on rakendatav üksnes loogikaalgebras( b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c;b ⋅c= ( a + b) ⋅( a c).a ⋅a + +(2.16)9. Absorbtsiooni- ehk neelduvusseadused. Kui kahe argumendi loogilist summat, kusüheks argumendiks on a, korrutada sama argumendiga a, siis teine argument neeldubning tulemiks on samuti a. Sama kehtib ka siis, kui korrutatavaid summasid on rohkemning kui kõigis neis sisaldub ühe argumendina a. Seadus on rakendatav nii summadekorrutiste kui ka korrutiste summade kohta. Kui osasummas või osakorrutises sisaldubargumendi a eitus (inversioon), on tulemiks a ja teise argumendi korrutis ab või summaa+b( a + b) a;( a + b) ⋅( a + c) ( a + w ) a;a ⋅ =a ⋅ ! =a+ a⋅ b= a;a + a ⋅ b + a ⋅ c + ! + a ⋅w= a;(2.17)( a + b) = a ⋅ b;a ⋅a+ a⋅ b= a+ b.10. Kleepimisseadus. Kui üks loogiline korrutis sisaldab argumenti b ja teine selle eitust, siisnende korrutiste loogilisel summeerimisel argument koondub. Kui üks loogiline summasisaldab argumenti b ja teine selle eitust, siis nende summade loogilisel korrutamiselargument koondubab ⋅ + ab ⋅ = a;a + b ⋅ a + b = a(2.18)( ) ( ) ;Üldised kleepimisseadused:ab ⋅ + ac ⋅ + bc ⋅ = ab ⋅ + ac ⋅ ;( a b) ⋅( a + c) ⋅( b + c) = ( a + b) ⋅( a + c);( a + b) ⋅( a + c) = a ⋅c+ a ⋅ b.+ (2.19)11. De Morgani seadused. Argumentide loogilise korrutise eitus võrdub nende argumentideeituste loogilise summaga. Argumentide loogilise summa eitus võrdub nendeargumentide eituste loogilise korrutisega. De Morgani seadusi rakendades saab asendadaloogilise liitmistehte loogilise korrutamisega ning vastupidi loogilise korrutamise tehteloogilise liitmisegaab ⋅ = a+ b;a+ b= a⋅ b;abc ⋅ ⋅ ! w= a+ b+ c+ ! + w; (2.20)a+ b+ c+ ! + w= a⋅b ⋅c! w.20

Tabel 2.3a b f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15"0" &aba b ⊕ ∨ ~ bbabaa"1"&ab0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1Boole'i funktsiooni standardesituseks on tema normaalkuju. Loogikafunktsiooni normaalkujukoosneb elementaarkonjunktsioonidest (konjunktsioonitehte abil seotud otsestest võiinverteeritud muutujatest, kus iga muutuja esineb vaid üks kord). Kui loogikafunktsioon onesitatud elementaarkonjunktsioonide disjunktsioonina, nimetatakse esitusviisi funktsioonidisjunktiivseks normaalkujuks (DNK). Vähem kasutatakse loogikafunktsioonikonjunktiivset normaalkuju (KNK), mil funktsioon esitatakse elementaardisjunktsioonidekonjunktsioonina. Kui funktsiooni disjunktiivse normaalkuju iga elementaarkonjunktsioonsisaldab kõiki muutujaid, nimetatakse funktsiooni esitusviisi tema täielikuks disjunktiivseksnormaalkujuks (TDNK). Täielikku disjunktiivset normaalkuju on hõlpus leidaloogikafunktsiooni oleku- ehk tõeväärtustabelist.2.4. Loogikalülituste süntees ja minimeerimineLoogikalülituste konstrueerimisel on oluline lülitust võimalikult lihtsustada, mis vähendablülituse hinda ja koostamise töömahtu. Seepärast tuleb juba loogikalülituste sünteesilfunktsioone kindlate kriteeriumide järgi minimeerida. Kõige enam on läbi töötatudloogikafunktsioonide täielike disjunktiivsete normaalkujude minimeerimismeetodid.Tavaliselt on eesmärgiks leida minimaalse pikkusega loogikafunktsiooni algebraline avaldis,milles on minimaalne arv sisendmuutujate tähiseid, näiteks minimaalne disjunktiivnenormaalkuju ehk MDNK. Loogikafunktsioonide minimeerimiseks kasutatakse 1) vahetutlihtsustamist, 2) lihtsustamist Karnaugh kaardi abil, 3) Quine - Mc Cluskey meetodit,4) Blake' i meetodit jms.Karnaugh kaart on loogikafunktsiooni tõeväärtustabeli ehk olekutabeli erikuju, midakasutatakse funktsiooni minimeerimiseks. Karnaugh kaart on ruudu- või ristkülikukujulinelahterdatud tabel. Lahtrite arv sõltub funktsiooni sisendmuutujate (argumentide) arvust n ningvastab muutujate kombinatsioonide arvule 2 n . Kahe, kolme ja nelja muutuja funktsiooniKarnaugh kaardid on joonisel 1.5. Muutujad ja funktsiooni väärtsused paigutatakse tabelissenii, et võimalik oleks esitada kõiki muutujate kombinatsioone. See eeldab muutujate erilistpaigutust, nagu on näidatud joonisel. Klambriga hõivatud alas on muutujal otsene, väljaspool22

klambrit aga inverteeritud väärtus. Karnaugh kaarti saab koostada loogikafunktsioonitõeväärtustabeli või algebralise võrrandi järgi.Karnaugh kaardi iseloomulikuks omaduseks on, et funktsiooni väärtused erinevad kõrvutiasuvates lahtrites vaid ühe muutuja poolest, s. t naaberlahtrisse minekul muudab (inverteerib)oma olekut vaid üks sisendmuutuja. Seejuures loetakse naabriteks ka kaardi äärmisedvasakpoolsed ja äärmised parempoolsed ning ülemised ja alumised lahtrid. Naaberlahtreid,mis erinevad vaid ühe muutuja poolest, kasutatakse loogikafunktsiooni minimeerimiseks.a) b) c)cbbcdaaabJoonis 2.1. Karnaugh kaardid kahe (a), kolme (b) ja nelja muutuja (c)loogikafunktsiooni jaoksSeejärel kirjutatakse loogikafunktsiooni avaldis disjunktiivsel normaalkujul, milles igalekontuurile vastab elementaarkonjunktsioon muutujatest, mis terve kontuuri jaoks on kasinverteerimata või inverteeritud.Vaadelgem näidet, mille puhul on loogikafunktsiooni z = f(a, b, c) täielik disjunktiivnenormaalkujuz= abc + abc+ abc+ abc + abc. (2.22)Funktsiooni 2.22 olekutabel 2.4a b c z0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1Avaldist saab lihtsustada, kui tuua muutujad sulgudeette, kuid see ei kindlusta soodsaima lahenduse saamist.Loogikalülituse minimeerimiseks on otstarbekaskasutada Karnaugh kaarti (joonis 2.2), millele vastabolekutabel 2.4, kus on toodud kõigile võimalikelesisendsignaalide kombinatsioonidele vastavadväljundsignaali(de) väärtused. Karnaugh kaardilmoodustatakse ühtedega täidetud ruutudestristkülikukujulised lahtrid suurusega 1, 2, 4, 8, ... ruutu,taotledes et ruudud oleksid nii suured kui võimalik.Kontuurid võivad üksteisega ka kattuda.Vaadeldava kaardi tarvis saab kirjutadaloogikafunktsiooni järgmisel kujul:23

z = ab+ ac+ bc+ abc. (2.23)Kui tuua muutujad sulgude ette, saab avaldise tähtede arvu veelgi vähendada( b + c) + bc a b c.z = a+(2.24)Sellele avaldisele vastab loogikalülitus joonisel 2.3.bca b c1 0 1 01b+c&a(b+c)a0 1 1 11a&bc1Joonis 2.2. Funktsiooni Karnaughkaart1b&a b c1cJoonis 2.3. Funktsioonile vastav loogikalülitusVaadelgem minimeerimise näitena summaatori ülekande loogikafunktsiooni minimeerimist.Loogikafunktsiooni saab esitada Karnaugh kaardiga (joonis 2.4). Kaardil saab eristada kolmenaaberlahtrite paari, mille puhul funktsiooni väärtus võrdub ühega.y= a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c ∨ a ⋅ b ⋅ c.(2.25)bcKolme lahtrite paar kohta saab kirjutadaloogikafunktsiooni lihtsustatud kujul (2.26).0 0 1 0y= a ⋅ b ∨ a ⋅ c ∨ b ⋅c.(2.26)a0 1 1 1Joonis 2.4Quine - Mc Cluskey meetodi kohaselt määratakse kõigepealt esmased ehk lihtimplikandidning seejärel eraldatakse neist olulised lihtimplikandid. Minimeerimise tulemusena saadaksefunktsiooni minimaalne disjunktiivne või konjunktiivne normaalkuju. Quine - Mc Cluskeymeetodi töötas 1952. aastal välja W. Quine ning seda arendas 1956. aastal edasi E.McCluskey. Samuti nagu ka Karnaugh kaardid, põhineb Quine - Mc Cluskey meetodalljärgneval lihtsustamisreeglil.24