Zbirka rešenih nalog s kolokvijev in izpitov iz fizike ... - F9 - IJS

1Zbirka rešenih nalog s kolokvijev in izpitov iz fizikeNaravoslovnotehniška fakulteta, šolsko leto 2004/05 in 2005/06Avtorji: S. Fratina, A. Gomboc in J. KotarVerzija: 6. februar 2007Prosim, da kakršnekoli vsebinske ali pravopisne napake sporočite na elektronski naslovsasa.fratina@ijs.si. Za obvestila se vnaprej zahvaljujem.Težje naloge so označene z zvezdico (*).Zbirka je dostopna na: http://www-f9.ijs.si/∼fratina/fizikaNTF/

Contents1 Mehanika 52 Nihanje in Valovanje 173 Toplota 194 Elektrika in Magnetizem 275 Optika 336 Kombinirane naloge 373

4 CONTENTS

Chapter 1Mehanika1. Iz Ljubljane proti Jesenicam ob 10:08 odpelje brzi vlak, 5 minut za njim pa še tovornivlak. Brzi vlak pospešuje s pospeškom 0, 3 m/s 2 , dokler ne doseže hitrosti 80 km/h.Tovorni vlak pa na začetku svoje vožnje pospešuje s pospeškom 0, 2 m/s 2 , dokler nedoseže hitrosti 60 km/h.Kolikšna je razdalja med vlakoma po 4-ih, 6-ih in 10-ih minutah od začetka vožnjeprvega vlaka? Narišite graf odvisnosti razdalje med vlakoma od časa!RešitevRazdalja med vlakoma je enaka razliki prepotovanih poti obeh vlakov. Za vsakega odnjiju velja enačba s = at 2 /2 za t < t ′ = v/a (dokler pospešujeta) in s = at ′2 /2+v(t−t ′ ) za gibanje z enakomerno hitrostjo, če čas štejemo od začetka gibanja posameznegavlaka.t ′ 1 = 74 s in t′ 2 = 83 s.Po 4 minutah torej prvi vlak prepotuje 4510m, drugi še miruje na postaji, torej jerazdalja med njima ∆s(4min) = 4510 m.Po 6 minutah prvi vlak prepotuje 7180m, drugi se še pospešeno giblje, zato uporabimoprvo formulo in ugotovimo, da je ∆s(6min) = 7180m − 360m = 6820m.Po 10-ih minutah je razdalja med njima ∆s(6min) = 12510m − 4310m = 8200m.2. Na klancu, ki je nagnjen pod kotom 30 o glede na podlago, sta postavljeni dve kladi,ki sta med sabo povezani z vrvico. Spodnja klada ima maso 1 kg, koeficient trenjamed njo in podlago pa je 0, 1. Druga klada ima maso 2 kg in koeficient trenja 0, 4.S kolikšnim pospeškom se začneta gibati kladi, ko ju spustimo?RešitevRezultanta vseh zunanjih sil na sistem dveh klad je enakaF = m 1 g sin α − k t1 m 1 g cosα + m 2 g sin α − k t2 m 2 g cos α = (m 1 + m 2 )a. Pospešek sistemaje torej enaka = g sin α − g cos α( )kt1 m 1 + k t2 m 2= 2.35m/s 2m 1 + m 25

6 CHAPTER 1. MEHANIKA3. Pištolo na vzmet napnemo tako, da vzmet skrčimo za 5, 0 cm. Koliko dela pri temopravimo? S pištolo izstrelimo izstrelek z maso 50 g. Pri tem držimo pištolo 1,5 mnad tlemi pod kotom 30 stopinj glede na vodoravnico.S kolikšno hitrostjo izstrelek pade na tla?Koeficient vzmeti je 2, 0 N/cm. Zračni upor lahko zanemarite.RešitevA = ∆W pr = kx 2 /2 = 0, 25J.∆W pr + ∆W p + ∆W k = 0, kx 2 /2 + mgh = mv 2 /2, sledi v = 6.3 m/s.4. (*) V roki držimo 1 m dolgo vrvico, na koncu katere je privezan kamen z maso 0,1kg. Kamen vrtimo v navpični ravnini.Vsaj kolikšna mora biti obodna hitrost kamna v najvišji točki kroženja, da bo vrvicastalno napeta?Kolikšna je v tem primeru sila v vrvici, ko je kamen v najnižji točki kroženja, če semehanska energija ohranja?RešitevVrvica v najvišji točki kroženja bo napeta, dokler bo centripetalna sila večja od sileteže. Mejno hitrost dobimo, ko sta ravno enaki: mv 2 /R = mg, sledi v = √ gR = 3, 1m/s.V drugem delu naloge moramo najprej izračunati hitrost kamna v najnižji točki izohranitve kinetične in potencialne energije in nato zapisati enačbo za vsoto vseh silna kamen, iz katere izračunamo tudi silo vrvice.v 1 = √ √v 2 + 2gh = v 2 + 2g(2R) = √ 5gR = 7.0 m/s.F v − F g = F c , sledi F v = F g + F c = mg + mv 2 /R = 6mgR = 5, 9 N.5. Izstrelek z maso m = 3 kg in hitrostjo v 0 = 200 m/s v zraku razpade na dva enakakosa, od katerih odleti prvi pod kotom α = 30 ◦ glede na prvotno smer gibanja, drugipa pod kotom β = 40 ◦ glede na prvotno smer gibanja. Kolikšni sta velikosti hitrostiposameznih kosov?βαRešitevGibalna količina se ohranja, ker izstrelek razpade zaradi notranjih sil.⃗G z = ⃗ G k .

Če si izberemo kartezični koordinatni sistem in orientiramo os x v smeri začetnehitrosti ter os y pravokotno na začetno hitrost, lahko zapišemo ohranitev gibalnekoličine za x in y komponenti:x : mv 0 = m 2 v 1 cosα + m 2 v 2 cosβ ,7y : 0 = m 2 v 1 sin α − m 2 v 2 sin β ,kjer sta v 1 in v 2 hitrosti posameznih kosov potem ko izstrelek razpade. Enačbi rešimoza v 1 in v 2 ter dobimo:v 1 =v 2 =2v 0cos α + sin α ctg β = 274 m s ,2v 0cos β + sin β ctg α = 213 m s .6. Na valj mase 3 kg, ki je vrtljiv brez trenja okoli svoje osi, je navita 5 m dolga nitka,na kateri visi utež z maso 1,2 kg. Kolikšna je hitrost uteži, ko se vsa nitka odvije, čena začetku utež in valj mirujeta?RešitevV začetnem stanju imamo le potencialno energijo utežiW p = m u gl ,ko pa se nitka odvije, se ta energija pretvori v kinetično energijo utežiW k = 1 2 m uv 2 ,ter rotacijsko energijo valjaW r = 1 2 Jω2 .Če upoštevamo enačbo za vztrajnostni moment valja J = 1 2 m vr 2 ter povezavo medkotno in obodno hitrostijo (ki je enaka hitrosti uteži) v = ωr, lahko rotacijsko energijozapišemo kotW r = 1 4 m vv 2 .

8 CHAPTER 1. MEHANIKAKer se energija ohranja, velja:W p = W k + W r ,m u gl = 1 2 m uv 2 + 1 4 m vv 2 .Ko iz enačbe izračunamo hitrost, dobimo:√m u glv =m u /2 + m v /4 = 6.6 m s .7. Ribič na mirnem jezeru lovi ribe. V vodo vrže trnek, ki ima svinčeno utež z maso 12 gin valjast plovec iz stiroporja. Plovec je valjaste oblike s površino osnovne ploskve3 cm 2 in višino 4 cm. Koliko plovca je nad vodo? Privzemi, da lahko maso stiroporjazanemariš. Gostota svinca je 11 × 10 3 kg/m 3 .xRešitevPlovec in utež mirujeta, zato je vsota vseh zunanjih sil na sistem enaka nič.F gu = F vu + F vp .Navzdol deluje sila teže utežiF gu = mg ,navzgor pa delujeta sila vzgona utežiF vu = m ρ ρ vgin sila vzgona plovcaF vp = S(h − x)ρ v g ,kjer je ρ v gostota vode. Iz enačbe ravnovesja silmg = m ρ ρ vg + S(h − x)ρ v gizračunamo x ter dobimox = m S( 1ρ − 1 ρ v)+ h = 3.6 mm.

8. Vsaj kolikšna mora biti varnostna razdalja tovornjaka, ki vozi v koloni s hitrostjo70 km/h? Predpostavi, da je reakcijski čas voznika 1 sekunda, največji pojemektovornjaka 0,6 m/s 2 , največji pojemek avtomobila pred njim pa 1,0 m/s 2 .RešitevOd trenutka, ko bo voznik tovornjaka zagledal rdeče zavorne luči na vozilu pred njim,pa do tedaj, ko bo ustavil tovornjak, bo najprej prevozil razdaljo v∆t = 19, 4 m (∆tje reakcijski čas voznika) z enakomerno hitrostjo, nato pa bo začel zavirati. Pot medzaviranjem izračunamo iz enačbe za enakomerno pospešeno gibanje, s = v 2 /(2a 1 ) =315 m. Celotna pot tovornjaka je torej s 1 = 334 m.Medtem se je avto prav tako ustavljal s pospeškom a 2 . Pot, ki jo je pri tem prevozilje s 2 = v 2 /(2a 2 ) = 189 m.Zavorna razdalja mora biti enaka vsaj toliko, kolikor daljšo pot potrebuje tovornjakzato, da se ustavi: ∆s = s 1 − s 2 = 145 m.9. Na vodoravno podlago s spremenljivim naklonom položimo leseno klado z maso 1, 0kg. Koeficient lepenja med klado in podlago je 0, 3; koeficient trenja pa 0, 2. Natozačnemo počasi povečevati naklon podlage. Pri katerem kotu (med smerjo podlagein vodoravnico) klada zdrsne? S kakšnim pospeškom se tedaj začne gibati? Kolikšnaje njena kinetična energija, ko prepotuje razdaljo 40 cm?RešitevLesena klada zdrsne, ko je dinamična komponenta sile teže mg sin α večja od maksimalnesile lepenja k l mg cosα. V mejnem primeru sta sili enaki, sledimg sin α = k l mg cosαα = atan k l = 16, 7 ◦ .Ko se klada začne gibati, deluje v smeri gibanja dinamična komponenta sile teže inv naprotni smeri sila trenja. Njuna rezultanta pospešuje gibanje klade s pospeškom9a = F d − F tr= mg sin α − k tr mg cosαmm= g (sin α − k tr cosα) = 0, 94 m/s 2 .=Kinetična energija klade je enaka delu, ki ga opravi rezultanta sil (lahko pa se joizračuna tudi iz hitrosti klade v = √ 2as):W k = A = Fs = mas = 0, 38 J .10. Gostoto neznane snovi izmerimo tako, da jo najprej obesimo na prožnostno vzmetin pri tem ugotovimo, da se je vzmet raztegnila za 5, 0 cm. Nato to snov v celotipotopimo v vodo in odčitamo raztezek vzmeti 3, 2 cm. Kolišna je gostota neznanesnovi?Gostota vode je 1000 kg/m 3 , gostoto zraka lahko zanemariš.

10 CHAPTER 1. MEHANIKARešitevKo snov neznane gostote obesimo na prožnostno vzmet, nanjo delujeta nasprotnoenaki sila teže in sila vzmeti, mg = kx 1 . Ko snov potopimo v vodo, deluje nanjo tudisila vzgona (v nasprotni smeri, kot sila teže): mg = kx 2 + F vzg . Upoštevamo, da jeF vzg = ρ o V g in ρ = m/V .ρV g = kx 1ρV g = kx 2 + ρ o V gρ oρ = = 2780 kg/m 3 .1 − x 2 /x 111. Letalo leti s hitostjo v = 150 km/h v vodoravni smeri. V trenutku, ko preleti nekohišo, odvrže bombo, ki pade na tla 700 m od hiše. S katere višine je letalo odvrglobombo? S kolikšno hitrostjo pade bomba na tla?RešitevBomba v času, ko preleti razdaljo v vodoravni smeripade na tla z višinel = vt ,h = gt22 .Če iz teh dveh enačb izrazimo višino, dobimoZ upoštevanjem energijskega zakonal 2h = g = 1383 m.2 v2 dobimo končno hitrostv k =mv 2 k2= mgh + mv22√2gh + v 2 = 170 m s .12. Z lokom streljamo v 30 m oddaljeno tarčo. Koliko centimetrov nad tarčo moramomeriti, da bo puščica zadela cilj? Puščico izstrelimo s hitrostjo 150 m/s.Puščico obravnavaj kot točkasto telo, zračni upor lahko zanemariš.RešitevMed letom puščice, ki traja t = s/v = 0, 2 s, le ta pade za h = gt 2 /2 = 0, 20 m. Torejmoramo meriti 20 cm nad središče tarče.

13. Drvarji v gozdu požagajo drevo tako, da med padanjem drevesa ostane spodnji deldebla na istem mestu. S kolikšno hitrostjo pade na tla vrh 20 metrov dolge smreke?Privzami, da je deblo enakomerno debelo.RešitevIz ohranitve energije sledi, da je kinetična energija drevesa ob padcu W k = Jω 2 /2, kjerje ω = v/h in h višina drevesa, enaka potencialni energiji na začetku W p = mgh/2.Vztrajnostni moment enakomerno debelega drevesa je enak vstrajnostnemu momentupalice, vpete v krajišču: J = mh 2 /3. Sledi v = √ 3gh = 24, 3 m/s.14. Vrtiljak se vrti s kotno hitrostijo 1 s −1 . Vrtiljak bi radi ustavili, zato začnemo zaviratis kotnim pojemkom 0.02 s −2 . Po koliko vrtljajih se vrtiljak ustavi?RešitevEnačbi za odvisnost kotne hitrosti in kota od časa staω = −αt + ω 0 ,ϕ = − αt22 + ω 0t .Vrtiljak se bo ustavil, ko bo kotna hitrost enaka nič0 = −αt + ω 0 .11Od tod izračunamo čast = ω 0α ,ter ga vstavimo v enačbo za kot ter dobimo:ϕ = ω2 02α = N2π ,N = ω2 04πα = 3.98 .15. Avto z maso 500 kg pripelje pred klanec s hitrostjo 10 km/h. Kolikšno hitrost boimel 30 m po koncu klanca, če je klanec dolg 20 m, nagib klanca pa je 30 ◦ ? Motor vavtu deluje s konstantno silo 3000 N v smeri vožnje.20m30m

12 CHAPTER 1. MEHANIKARešitevUporabimo energijski zakonA = ∆W k + ∆W p ,F(l + a) = mv22 − mv2 0+ mgl sin α ,2kjer je F sila motorja, l dolžina klanca, a dolžina ravnega odseka, m masa avtomobila,v 0 začetna hitrost avtomobila in α naklon klanca. Končna hitrost je enakav =√v 2 0 − 2gl sin α +2F(a + l)m= 20.3 m s = 73 km h .16. Lesen kvader s maso 2 kg visi na 1 m dolgi vrvici. Na kvader v pravokotni smeribrizgamo z curkom vode, ki se odbije nazaj z enako hitrostijo. Hitrost curka je10 m/s, premer pa 2 cm. Pod kolikšnim kotom visi klada?RešitevRavnovesje sil na da enačbiOd tod izračunamokar da kotF c = F v sin αF g = F v cosα.tg α = F c= ρπr2 2v 2F g mgα = 72.7 ◦ .= 3.2 ,17. S sneženo kepo bi radi zadeli ledeno svečo, ki visi pod streho hiše na višini 5 m. Odhiše smo oddaljeni 7 m. S kolikšno hitrostijo moramo vreči kepo, če jo vržemo podkotom 50 ◦ glede na horizontalo? Privzemi, da je višina roke, s katero vržemo kepo,2 m nad tlemi.RešitevKepa se giblje v ravnini, tako da veljax = v 0 t cosαy = v 0 t sin α − gt22 .Svečo na razdalji l bomo zadeli, ko bo koordinata y enaka razliki med višino sveče inroke h − al = v 0 t cosαh − a = v 0 t sin α − gt22 .

13Iz teh dveh enač nato izračunamo hitrostv 0 = √ gl 22 cos 2 α(l tg α − h + a) = 10.4 m s .18. Drsalka na ledu dela pirueto, pri čemer se v eni sekundi 3-krat zavrti okoli svoje osi.Po nesreči pri tem zadane v soplesalca, ki ravno takrat dela pirueto v nasprotni smeris frekvenco 1/s. Ob trku se drsalca primeta en drugega. S kakšno frekvenco in vkateri smeri se vrtita tik po trku, če je vztrajnostni moment drsalca 1,2-krat večji odvztrajnostnega momenta drsalke?RešitevIz ohranitve vrtilne količine sledi, da je skupna vrtilna količina pred trkom Γ =J 1 ω 1 − J 2 ω 2 enaka skupni vrtilni količini po trku: Γ = (J 1 + J 2 ) ω. UpoštevamoJ 2 = 1, 2 J 1 in ω = 2πν, slediν = ν 1 − 1, 2 ν 21 + 1, 2= 0, 82 /s.Po trku se drsalca vrtita s frekvenco 0, 82 /s v isti smeri, kot se je pred trkom vrteladrsalka.19. V Severnem morju plava ledena plošča mase 5 ton. Nanjo spleza polarni medvedmase 300 kg. Kolikšen del plošče gleda iz vode?Gostota morske vode je 1,024 kg/dm 3 , gostota ledu pa 0,917 kg/dm 3 .RešitevNa ledeno ploščo deluje sila vzgona F vzg = ρ o V o g navpično navzgor in nasprotno enakasila teže ledene gore in medveda F g = (m + m 1 ) g. Delež potopljene prostornine jeV o /V , iz vode je gledax = 1 − V oV = 1 − (m 1 + m)ρmρ o= 5, 1 %.20. V katerih točkah na zveznici Zemlje in Lune je gravitacijski privlak Zemlje petkratvečji od privlaka Lune? Masa Zemlje je 80-krat večja od mase Lune, razdalja medLuno in Zemljo pa je 3,3 10 8 m.RešitevGravitacijska sila med dvema telesoma je enaka κmM/r 2 . Zanima nas, kdaj jeκ mM z(l − x) 2 = 5 κ mM lx 2 ,kjer je x razdalja med iskano točko in Luno merjeno v smeri proti Zemlji. UpoštevamoM z = 80 M l , sledi kvadratna enačba 16 x 2 = (l − x) 2 z dvema rešitvama: x 1 = l/5 =0, 66 10 8 m (med Zemljo in Luno) in x 2 = −l/3 = −1, 1 10 8 m (točka v oddaljenosti4, 4 10 8 m od Zemlje).

16 CHAPTER 1. MEHANIKAFigure 1.1: Omara.

Chapter 2Nihanje in Valovanje1. Matematično nihalo niha z nihajnim časom 1 s. Kolikšna je dolžina vrvice? Za kolikoodstotkov se spremeni nihanji čas nihala, če ga dvignemo 20 km nad površje Zemlje?Polmer Zemlje je 6400 km.RešitevKotno frekvenco matematičnega nihala izračunamo po enačbiKer je ω = 2π/t 0 , dobimo dolžino vrviceω =√ gl .l = gt2 04π 2 = 0.25 m .Ko se dvignemo nad zemeljsko površino, se gravitacijski pospešek izračuna po enačbig(r) = g 0r 2 0r 2 ,kjer je g 0 težnostni pospešek na površini Zemlje, r 0 polmer Zemlje ter r oddaljenostod središča Zemlje, v našem primeru 6420 km. Če s tem pospeškom izračunamonihajni čas, vidimo, da je za 0.3% večji kot na zemeljski površini.dt 0= drt 0 r=20 km6400 km = 0.3% .2. (*) Nihalo na starinski uri je sestavljeno iz palice mase 100 gramov, na koncu katereje pritrjena utež mase 300 g. Kolikšna mora biti dolžina palice, da bo čas eneganihaja ustrezal eni sekundi?Rešitev17

18 CHAPTER 2. NIHANJE IN VALOVANJEUporabimo (ali izpeljemo) formulo za nihajni čas fizikalnega nihala. Oddaljenosttežišča od osi je (m 1 l/2 + m 2 l)/(m 1 + m 2 ), vztrajnostni moment tako sestavljeneganihala pa m 1 l 2 /3 + m 2 l 2 . Sledi2πt 0= ω =√ (m 1l/2 + m 2 l)gm 1 l 2 /3 + m 2 l 2l = (m 1/2 + m 2 )gm 1 /3 + m 2( ) 2 t0= 26, 1 cm.2π3. Netopir se približuje sedeči muhi s hitrostjo v=5 m/s. Ko je na oddaljenosti d od nje,prične oddajati ultrazvok frekvence ν 0 = 50 kHz in moči P = 0.1 mW enakomerno vvse smeri; hitrost ultrazvoka v zraku je c=340 m/s. Muho zazna na podlagi odbitegavalovanja. Kolikšna je razdalja d, če netopir prejme odbito valovanje z zakasnitvijo0.1 s? Kolikšna je jakost ultrazvoka na mestu, kjer sedi muha? Kolikšna je frekvencaodbitega valovanja, ki jo zazna netopir?RešitevZvočno valovanje se vrne do netopira po času t, v katerem netopir prepotuje razdaljov · t, zvok pa razdaljo c · t, ki je enaka d + (d − v · t). Sledi, da je razdalja d =(c + v) · t/2 = 17.25 m. Jakost zvoka na tej razdalji dobimo po enači j = P/4πd 2 =2.6 · 10 −8 W. Pri računanju frekvence odbitega valovanja upoštevamo najprej, da seizvor (netopir) približuje in poslušalec (muha) miruje, po odboju pa izvor (muha)miruje in se poslušalec (netopir) približuje:(1 + vν = ν ) c 0(1 − v = 51.49 kHz. (2.1))c

Chapter 3Toplota1. (*) Aluminijasta palica s presekom 10 cm 2 in dolžino 20 cm ima na enem koncu pritrjenelektrični grelec, na drugem koncu pa jo obliva tekoča voda s stalno temperaturo15 ◦ C. Moč grelca je 30 W. Kolikšna je temperatura palice pri grelcu? Za koliko sespremeni ta temperatura, če povečamo moč grelca na 60 W? (λ = 209 W/mK)RešitevPo palici teče toplotni tokP = λS ∆T ,lkjer je S presek, l dolžina palice in ∆T temperaturna razlika med koncema palice.Pri moči gretja P 1 = 30 W je tako temperaturna razlika∆T 1 = P 1lλS = 28.7 K ,iz česar sledi temperatura palice pri grelcuT 1 = T 0 + ∆T 1 = 43.7 ◦ C.Pri moči gretja P 1 = 60 W je temperaturna razlika med koncema palice dvakrat večja,torej se palica dodatno segreje za∆T = ∆T 2 − ∆T 1 = 2∆T 1 − ∆T 1 = ∆T 1 = 28.7 K .2. 2 kg ledu pri temperaturi −10 ◦ C vržemo v 3 kg vrele vode. Kolikšna bo temperaturazmesi? (c voda = 4200 J/kgK, c led = 2100 J/kgK, q t = 336000 J/kg)RešitevČe bi vso tekočo vodo ohladili na 0 ◦ C bi morali odvesti toplotoQ v = m voda c voda ∆T 1 = 1260 kJ,19

20 CHAPTER 3. TOPLOTAkjer je ∆T 1 = 100 K. Za segrevanje ledu do tališča potrebujemo toplotokjer je ∆T 2 = 10 K. za taljenje ledu paQ l = m led c led ∆T 2 = 42 kJ ,Q t = m led q t = 672 kJ.Ker za segrevanje ledu in njegovo taljenje potrebujemo manj toplote, kot jo lahkoodda ohlajanje vode, bo končno stanje tekoča voda pri temperatuti T k . Energijskabilanca nam da enačbom voda c voda (T v − T k ) = m led c led (T 0 − T l ) + m led q t + m led c voda (T k − T 0 ) ,kjer je T v temperatura vrelišča, T 0 temperatura ledišča in T l temperatura ledu.Končna temperatura je torejT k =1c voda (m voda + m led ) [m vodac voda T v + m led c voda T 0 − m led q t − m led c led (T 0 − T k )]T k = 299 K = 26 ◦ C.3. (*) Maso 7 g zraka, ki na začetku zavzema prostornino 10 l in ima tlak 2 bara stisnemonajprej pri konstantnem tlaku na polovično prostornino in ga nato adiabatno stisnemona prostornino 2 l. Koliko dela smo pri tem procesu opravili? Koliko toplote jeoddal plin? Kolikšna je sprememba notranje energije? (M = 29 kg, c v = 720 J/kgK,κ = 1.4)RešitevV začetnem stanju ima zrak tlak p 1 , prostornino V 1 in temperaturoT 1 = p 1V 1 MmR = 998 K .Ker zrak izobarno stisnemo ima v vmesnem stanju tlak p 1 , prostornino V 1 /2 in temperaturoT 2 = V 2V 1T 1 = T 12 = 499 K .Po adiabatnem stiskanu ima prostornino V 3 , tlakp 3 =( V2V 3) κp 2 = 7.2 barin temperaturoT 3 =( V2V 3) κ−1T 2 = 720 K .

Sedaj lahko izračunamo spremembo notranje energije, delo in toploto za posameznospremembo. Pri prvi spremembi je to velja∆W n1 = A 1 + Q 1A 1 = −p 1 (V 2 − V 1 ) = p 1V 12= 1000 J ,Q 1 = mc p (T 2 − T 1 ) = mκc v (T 2 − T 1 ) = −mκc vT 12 = −3500 J ,∆W n1 = mc v (T 2 − T 1 ) = −mc vT 12 = −2515 J .Pri drugi spremembi pa veljaPlin je torej oddal toplotoopravili smo delo∆W n2 = A 2 = mc v (T 3 − T 2 ) = 1114 J .Q = −3500 J ,A = 2114 J ,sprememba njegove notranje energije pa je bila∆W n = −1401 J .4. (*) Idealni plin segrejemo pri konstantni prostornini. Pri tem se mu tlak povečana dvakratno vrednost. Nato ga adiabatno razpnemo tako, da se mu tlak zniža nazačetno vrednost. Nazadnje ga pri konstantnem tlaku stisnemo na začetno prostornino.Kolikšen je toplotni izkoristek takega stroja? Specifična toplota idealnegaplina pri konstantnem volumnu je c v = 3R , pri konstantnem tlaku pa c 2M p = 5R . 2MRešitevZa plin v vsakem trenutku velja plinska enačba:pV= mRTMPri adiabatni spremembi velja tudi pV κ = konst, kjer je κ = c p /c v = 5/3.Naj ima na začetku plin temperaturo T 1 , volumen V 1 in tlak p 1 . Nato ga pri konstantniprostornini segrejemo na dvakratno temperaturo, torej je T 2 = 2T 1 in V 2 = V 1 .Iz plinske enačbe p 1 V 1 /T 1 = p 2 V 2 /T 2 sledi p 2 = 2p 1 . Pri adiabatnem segrevanjuuporabimo enačbo p 2 V2 κ = p 3V3 κ.Ker je p 3 = p 1 sledi V 3 = 2 1/κ V 2 in nato iz plinskeanačbe T 3 = 2 1/κ−1 T 2 .Pri adiabatnem razpenjanju plin opravi delo, ki je po velikosti enako spremembinotranje energijeA 1= mc v (T 3 − T 2 ) = m 3R2M (21/κ−1 − 1)2T 1 = mRT 1M 3(21/κ−1 − 1)21

22 CHAPTER 3. TOPLOTAPri izobarnem stiskanju moramo opraviti deloA 2 = −p∆V = p 1 (V 3 − V 1 ) = p 1 (2 1/κ − 1)V 1 = mRT 1M (21/κ − 1)V zadnjem koraku smo spet uporabili plinsko enačbo.Pri prvi spremembi plinu dovedemo toplotoIzkoristek je definiran kotFaktor mRT 1MQ = mc v (T 2 − T 1 ) = mc v T 1 = m 3R2M T 1 = mRT 1Mη = |A 1| − A 2Q= 8 − 5 · 21/κ3= 3(1 − 21/κ−1 ) − (2 1/κ − 1)3/2= 0, 14je enak v vseh treh členih in se pokrajša.5. (*) Idealni plin segrejemo pri konstantni prostornini. Pri tem se mu tlak povečana trikratno vrednost. Nato ga izotermno razpenjamo, dokler ni njegov tlak enakzačetnemu. Nazadnje ga pri konstantnem tlaku stisnemo na začetno prostornino.Kolikšen je toplotni izkoristek takega stroja? Specifična toplota idealnega plina prikonstantnem volumnu je c v = 3R , pri konstantnem tlaku pa c 2M p = 5R . 2MRešitevZa plin v vsakem trenutku velja plinska enačba:pV= mRTM .Naj ima na začetku plin temperaturo T 1 , volumen V 1 in tlak p 1 . Nato ga pri konstantniprostornini segrejemo tako, da se mu tlak poveča na trikratno vrednost, torejje p 2 = 3p 1 in V 2 = V 1 . Iz plinske enačbe p 1 V 1 /T 1 = p 2 V 2 /T 2 sledi T 2 = 3T 1 . Priizotermnem razpenjanju ostane temperatura konstantna, torej je T 3 = T 2 = 3T 1 . Izpodatkov in plinske enačbe sledi p 3 = p 1 in V 3 = 3V 1 .Pri prvi spremembi plinu dovedemo toplotoQ = mc v (T 2 − T 1 ) = mc v 2T 1 = m 3R2M 2T 1 = 3p 1 V 1Pri izotermnem razpenjanju plin opravi delo, ki je po velikosti enako dovedeni toplotipri tej spremembiA 1 = −p 2 V 2 ln(V 3 /V 2 ) = −3p 1 V 1 ln 332

23Pri izobarnem stiskanju moramo opraviti deloIzkoristek je definiran kotA 2 = −p∆V = p 1 (V 3 − V 1 ) = 2p 1 V 1η = |A 1| − A 2= 3 ln3 − 2 = 0, 21Q do 3(ln 3 + 1)Do enakega rezultata pridemo, če namesto dela izračunamo dovedeno oz. odvedenotoploto pri vseh treh spremembah in uporabimo energijski zakon: |A| = Q do − Q od .6. Led pri temperaturi T z = 0 ◦ C začnemo segrevati z električnim grelcem moči P =1 kW. V času desetih minut se led stali in nastala voda se segreje do temperatureT k = 5 ◦ C. Kolikšna je bila masa ledu na začetku? Specifična talilna toplota ledu jeq t = 336 kJ/kg, specifična toplota vode pa c p = 4200 J/kgK.RešitevDelo električnega grelca se porabi za taljenje ledu in segrevanje vodePt = mq t + mc p ∆T ,kjer je ∆T = 5 K in m masa ledu. Od tod izračunamo maso ledum =Ptq t + c p ∆T= 1.68 kg .7. V čajniku bi radi pripravili liter zelenega čaja. Na razpolago imamo le vrelo vodo invodo iz pipe pri temperaturi 12 ◦ C. Koliko ene in druge moramo zliti v čajnik, da bonjena končna temperatura 70 ◦ C?Čajnik je na sobni temperaturi (20 ◦ C), njegova toplotna kapaciteta pa je 300 J/K.Specifična toplota vode je 4200 J/kgK.Rešitevm 1 vrele vode pri T 1 = 100 ◦ C bo oddalo toploto Q = m 1 c p (T 1 −T) preostalemu delusistema, ki se bo zato ogrel na isto končno temperaturo T = 70 ◦ C in pri tem porabilQ = m 2 c p (T − T 2 ) + C(T − T 3 ) toplote, kjer je T 2 = 12 ◦ C, T 3 = 20 ◦ C in C toplotnakapaciteta čajnika. Skupna masa vode v čajniku mora biti enaka masi enega litra,m 1 + m 2 = m = 1 kg. Sledim 1 = m(T − T 2)T 1 − T 2+ C(T − T 3)c p (T 1 − T 2 )V čajnik moramo naliti 7 dl vrele vode in 3 dl vode iz pipe.= 0, 70 kg.

24 CHAPTER 3. TOPLOTA8. Za koliko bi se dvignila morska gladina zaradi temperaturnega raztezanja vode, če bise vsi oceani na Zemlji segreli v povprečju za 1 ◦ C?Povprečna globina oceanov na Zemlji je 3,79 km, njihova skupna površina pa 361 10 6 km 2 .Prostorninski koeficient temperaturnega raztezka vode (pri temperaturi približno6 ◦ C) je 2 10 −5 /K.RešitevProstornina oceanov bi se povečala za ∆V = βV ∆T, zaradi česar bi se morskagladina dvignila za∆h = ∆VS= βSh∆TS=βV ∆TS== βh∆T = 7, 6 cm.9. V posodi toplotne kapacitete 500 J/K je 1 liter vode pri temperaturi 60 ◦ C. V vodododamo 0, 3 kg ledu pri temperaturi 0 ◦ C. Kolikšna je ravnovesna temperatura?Posoda je toplotno izolirana od okolice. Specifična toplota vode je 4200 J/kgK, talilnatoplota ledu pa 336 kJ/kg.RešitevOznačimo C = 500 J/K, m 1 = 1 kg, T 1 = 60 ◦ C, m 2 = 0, 3 kg in T 2 = 0 ◦ C. Končnatemperatura zmesi naj bo T. Sistem je toplotno izoliran od okolice, zato led prejmetoliko toplote, kolikor je posoda vode odda.m 1 c p (T 1 − T) + C(T 1 − T) = m 2 q t + m 2 c p (T − T 2 )T = (m 1c p + C)T 1 + m 2 c p T 2 − m 2 q tm 2 c p + m 1 c p + C= 30, 4 ◦ C10. (*) Idealni plin segrejemo pri konstantni prostornini. Pri tem se mu tlak povečana dvakratno vrednost. Nato ga adiabatno razpnemo tako, da se mu tlak zniža nazačetno vrednost. Nazadnje ga pri konstantnem tlaku stisnemo na začetno prostornino.Kolikšen je toplotni izkoristek takega stroja? Specifična toplota idealnegaplina pri konstantnem volumnu je c v = 3R , pri konstantnem tlaku pa c 2M p = 5R . 2MRešitevZa plin v vsakem trenutku velja plinska enačba:pV= mRTMPri adiabatni spremembi velja tudi pV κ = konst, kjer je κ = c p /c v = 5/3.Naj ima na začetku plin temperaturo T 1 , volumen V 1 in tlak p 1 . Nato ga pri konstantniprostornini segrejemo na dvakratno temperaturo, torej je T 2 = 2T 1 in V 2 = V 1 .

Iz plinske enačbe p 1 V 1 /T 1 = p 2 V 2 /T 2 sledi p 2 = 2p 1 . Pri adiabatnem segrevanjuuporabimo enačbo p 2 V2 κ = p 3 V3 κ . Ker je p 3 = p 1 sledi V 3 = 2 1/κ V 2 in nato iz plinskeanačbe T 3 = 2 1/κ−1 T 2 .Pri adiabatnem razpenjanju plin opravi delo, ki je po velikosti enako spremembinotranje energijeA 1= mc v (T 3 − T 2 ) = m 3R2M (21/κ−1 − 1)2T 1 = mRT 1M 3(21/κ−1 − 1)Pri izobarnem stiskanju moramo opraviti deloA 2 = −p∆V = p 1 (V 3 − V 1 ) = p 1 (2 1/κ − 1)V 1 = mRT 1M (21/κ − 1)V zadnjem koraku smo spet uporabili plinsko enačbo.Pri prvi spremembi plinu dovedemo toplotoIzkoristek je definiran kotFaktor mRT 1MQ = mc v (T 2 − T 1 ) = mc v T 1 = m 3R2M T 1 = mRT 1Mη = |A 1| − A 2Q= 8 − 5 · 21/κ3= 3(1 − 21/κ−1 ) − (2 1/κ − 1)3/2= 0, 14je enak v vseh treh členih in se pokrajša.11. Zmrzovalnik ima površino sten enako 1 m 2 , obložene pa so s 4 cm debelo plastjotoplotne izolacije s toplotno prevodnsotjo 0.05 W/mK. V zmrzovalniku imamo 15kg zamrznjenih živil, v trenutku našega odhoda na krajši dopust pa se pokvari.Vrnemo se čez dva dni (48 ur). Kolikšen del živil bo ostal zamrznjen do trenutkanaše vrnitve? V kolikšnem času se odtalijo vsa živila? Zamrznjena živila obravnajkot led pri temperaturi 0 ◦ C s talilno toploto 336 kJ/kg. V zmrzovalniku naj bo vesčas odtajanja živil temperatura 0 ◦ C, v okolici pa 20 ◦ C.RešitevZaradi temperaturne razlike teče skozi stene zamrzovalnika toplotni tok. Iz okolicev zamrzovalnik se izmenja toplota Q = ∆TSλ t, ki se porabi za odtaljevanje živil,lQ = mC t . V času t = 48 ur se odtali m 1 = ∆TSλtlC t= 12, 9 kg živil. Delež zamrznjenihživil je x = 1 − m 1 /m = 14, 3%.Vsa živila se bodo odtalila v času t 1 = mCtl = 56 ur.∆TSλ12. Na tleh stoji pokončna posoda, ki je do višine 1 m napolnjena z vodo. Na višini 0.6m od tal v stranski steni izvrtamo majhno luknjico. Kolikšen je domet iztekajočegacurka?3225

26 CHAPTER 3. TOPLOTAI40 o B naloga 313. Vodo mase 4 kg in temperature 60 ◦ C vlijemo na led mase 1 kg in temperature -15 ◦ C. Kaj dobimo in kolikšna je končna temperatura, če toplotno izmenjavo z okolicozanemarimo? Specifična toplota vode je 4200 J/kgK, specifična toplota ledu je 2100J/kgK, talilna toplota ledu pa 336 kJ/kg.RešitevČe se m 1 = 4 kg vode ohladi na 0 ◦ C, le-ta pri tem odda Q 1 = m 1 c p ∆T 1 = 1, 008 MJenergije. Za to, da led segrejemo do temperature 0 ◦ C in stalimo, potrebujemo Q 2 =m 2 c p,led ∆T 2 +m 2 q t = 0, 368 MJ energije. Ker je Q 2 < Q 1 , potrebujemo za segrevanjeledu manj toplote, kot jo lahko odda voda. Zato bo končna temperatura zmesi Tvišja od 0 ◦ C, imeli bomo pa samo vodo. Označimo T 1 = 60 ◦ C, T 2 = −15 ◦ C, T 0 = 0 ◦ Cin zapišimo energijsko enačbo za sistem.m 1 c p (T − T 1 ) + m 2 c p,led (T 0 − T 2 ) + m 2 q t + m 2 c p (T − T 0 ) = 0 ,slediT = T 0 + m 1c p (T 1 − T 0 ) − m 2 c p,led (T 0 − T 2 ) − m 2 q t=(m 1 + m 2 )c pQ 1 − Q 2== 30 ◦ C .(m 1 + m 2 )c p

Chapter 4Elektrika in Magnetizem1. Tri kroglice z naboji po 0, 6 × 10 −6 As in maso po 2 g so pritrjene v ogliščih enakostraničnegatrikotnika s stranico 2 cm. S kolikšnim pospeškom in v kateri smeri se bopričela gibati ena izmed kroglic, ko jo sprostimo?RešitevElektrično polje dveh kroglic na mestu tretje kroglice je enakoE =2e4πε 0 l 2cos αkjer je e naboj posamezne kroglice, l razdalja med dvema kroglicama in α = 30 ◦ .Smer polja je vzporedna s simetralo med kroglicama, ki povzročata polje. Sila natretjo kroglico v takem polju je odbojna in enakaF = Ee = ma ,kjer je m masa posamezne kroglice in a njen pospešek, ko kroglico sprostimo, ki jeenaka = 2e2 cosα4πε 0 l 2 m = 6969 m s 2 .2. Tri 60 W žarnice so vezane v električno napeljavo tako, kot kaže skica. S kolikšnomočjo sveti vsaka od njih?Nazivna moč žarnice (60 W) je moč, s katero sveti žarnica, če je (sama) priklopljenana vir napetosti.RešitevČe bi bila le ena od žarnic vezana v napeljavo, bi svetila z nazivno močjoP 0 = UI = U2Rkjer je R upor žarnice in U napetost v vezju.27= 60 W,

28 CHAPTER 4. ELEKTRIKA IN MAGNETIZEMPri vezavi treh žarnic je skupni upor dveh vzporedno vezanih enak1R 2= 1 R + 1 R ,sledi R 2 = R/2. Tretja žarnica je vezana zaporedno, torej je skupni upor vseh trehenakR 3 = R + R 2 = 3R/2 .Moč, s katero sveti vsaka od treh žarnic je različna od P 0 , ker je napetost na vsakiod njih različna od U:Tok skozi vezje je enakP i = U i I i = U2 iR = I2 i RI = U R 3= 2U3RTok skozi tretjo, zaporedno vezano žarnico je enak I 3 = I, tok skozi vsako od dvehvzporedno vezanih žarnic pa je I 1 = I 2 = I/2, ker so upori enaki. SlediP 3 = I3 2 R = 4 U 29P 1 = P 2 = I 2 2R = 1 9R = 4 9 P 0 = 26, 7 WU 2R = 1 9 P 0 = 6, 7 W.3. Magnetna igla se nahaja na sredini 0, 5 m dolge tuljave s 300 ovoji, po kateri tečeenosmerni električni tok 0, 01 A v smeri, ki je označena na skici. Os tuljave leži v smerivzhod-zahod. V katero smer je zasukana magnetnica, če je vodoravna komponentagostote zemeljskega magnetnega polja 2 · 10 −5 T in kaže proti severu?RešitevMagnetno polje tuljave jeB t = µ 0NIl= 0, 754 10 −5 Tin kaže v smeri proti zahodu. Magnetna igla se bo postavila v smer vsote magnetnegapolja zemlje in tuljave, kot med severom in smerjo magnetne igle jetan ϕ = B t= 0, 754 10−5 TB z 2 10 −5 T= 0, 377 ;sledi ϕ = 20, 7 ◦ . Magnetna igla je obrnjena v smeri S-SZ.4. Ploščati kondenzator, ki ga sestavljata dve kovinski plošči s površino 100 cm 2 namedsebojni razdalji 2 mm, nabijemo na napetost 100 V in odklopimo vir napetosti.Nato kondenzatorju vzporedno vežemo drug kondenzator s pol manjšo površino plošč.

Kolikšen je naboj na vsakem od kondenzatorjev? Kolikšna je sprememba energijevsakega od njih?Enaki vprašanji, če vira napetosti ne odklopimo.RešitevKapaciteta ploščatega kondenzatorja je29C 1 = ǫ 0Sd= 44, 3 pF.Drugi kondenzator ima pol manjšo površino, torej je C 2 = C 1 /2. Naboj, ki senabere na prvem kondenzatorju, ko je ta priklopljen na napetost 100 V, je e =C 1 U = 4, 43 10 −9 As. Ko vir napetosti odklopimo in k prvemu kondenzatorju vežemodrugega, se ta naboj razdeli na oba, pri čemer upoštevamo, da je napetost na obehkondenzatorjih enaka. U 1 = U 2 , sledi e 1 /C 1 = e 2 /C 2 = e 2 /(C 1 /2) in e 1 = 2e 2 . Ker seskupni naboj ohranja je e 1 +e 2 = e, e 1 = 2e/3 = 2, 95 10 −9 As in e 2 = e/3 = 1, 48 10 −9As.Začetna električna energija prvega kondenzatorja jeW e = 1 2 C 1U 2 = e22C 1= 2, 2 10 −7 J,sledi( (2 ) 2∆W 1 = e2 1− e2= e2− 1)= − 5 2C 1 2C 1 2C 1 3 9 W e = −1, 23 10 −7 J in∆W 2 = e2 22C 2− 0 = 2 9 W e = 0, 49 10 −7 J.Sprememba energije prvega kondenzatorja je negativna, ker je njegova končna energijamanjša od začetne.V drugem delu naloge, kjer vira napetosti ne odklopimo, je napetost na vsakem odkondenzatorjev enaka U. Napetost na prvem je torej enaka, kot je bila preden smozraven vezali drugi kondenzator, zato ostaneta naboj in njegova energija nespremenjeni:e ′ 1 = e = 4, 43 10−9 As in ∆W 1 ′ = 0. Na drugem kondenzatorju se naberenaboj e ′ 2 = C 2 U = e/2 = 2, 2 10 −9 As, sprememba njegove električne energije pa je∆W 2 ′ = C 2U 2 /2 − 0 = 1, 1 10 −7 J.5. Na ploščati kondenzator, ki ima plošči s površino S = 5 cm 2 razmaknjeni za d =1 mm, ter med njima dielektrik z dielektrično konstanto ε = 10, priklopimo napetostniizvir z napetostjo U = 25 V. Kondenzator se nabije, nakar izvir odklopimo. Kolikšnodelo opravimo, ko izvlečemo dielektrik? Izračunaj električno polje med ploščamakondenzatorja na začetku in na koncu.Rešitev

30 CHAPTER 4. ELEKTRIKA IN MAGNETIZEMNaboj na kondenzatorju se ohranjae = C 1 U 1 = C 2 U 2 .Delo je enako spremembi električne potencialne energijeA = C 2U 2 22− C 1U 2 12Z upoštevanjem enačbe za kapaciteto kondenzatorja tako dobimoElektrično polje na začetku jena koncu paA = εε 0SU 2 12d(ε − 1) = 1.3 × 10 −7 J .E 1 = U 1d = 25 × 103 V m ,E 2 = U 2d = U 1εd = 2.5 × 103 V m .6. Električno napravo z notranjim uporom 10 Ω in nazivno napetostjo 4, 0 V želimopriključiti na napetost 12 V. Kolikšen predupor moramo vezati v skupni električnikrog? Kolikšen električni tok bo tekel skozi napravo in kolikšna bo njena moč?RešitevNapetost na napravi U n je enakaU n = IR = U R sR = 4V ,kjer je R s skupni upor vezja, I tok skozi vezje in U = 12V . Sledi R s = 30Ω, torejmoramo v vezje vezati predupor velikosti R s − R = 20Ω. Tok, ki teče skoze vezje, jeI = U/R s = U n /R = 0, 4 A, moč, ki se troši na napravi pa je P = I 2 R = 1, 6 W.7. 70 cm dolga kovinska prečka visi na dveh kovinskih vzmeteh s koeficientom vzmeti200 N/m. Prečka se nahaja v magnetnem polju z gostoto 0.3 T, ki je usmerjenopravokotno na njeno smer. Kolikšna je masa prečke, če sta vzmeti neraztegnjeni, kopo prečki teče električni tok 10 A? Kolikšen je raztezek vzmeti, če obrnemo smertoka?RešitevTežo kovinske prečke F g = mg uravnoveša nasprotno enaka magnetna sila F m = IlB,sledi m = IlB/g = 0, 21 kg.Ko obrnemo smer električnega toka, kažeta teža in magnetna sila v isto smer, uravnovešatapa ju sili zaradi raztezka obeh vzmeti: 2 kx = F g + F m = 2F m . Sledi x = IlB/k =1, 05 cm..

8. V dveh ogljiščih enakostraničnega trikotnika s stranico 10 cm sta elektrčna nabojavelikosti e 1 = 3, 0 10 −9 As in e 2 = −1, 0 10 −9 As. Kolikšna sila deluje na naboje 3 = 2, 0 10 −9 As, ki ga postavimo v tretje ogljišče trikotnika?Naboj e 3 spustimo, da se začne prosto gibati. Kolikšna bo njegova kinetična energijapo dolgem času?RešitevElektrična sila na tretji naboj je F = e 3 E, kjer je E skupno električno polje prvihdveh nabojev, ki ju je treba sešteti vektorsko. Koti v enakostraničnem trikotniku soα = 60 ◦ .E 1(2) = |e 1(2)|4πǫ 0 a= E 1 cosα + E 2 cos αE xE y = E 1 sin α − E 2 sin α(E 2 = Ex 2 + Ey 2 = E1 2 + E2 2 + 2E 1 E 2 cos 2 α − sin 2 α )Izračunamo E 1 = 2, 7 kV/m in E 2 = 0, 90 kV/m. Sledi E = 2, 4 kV/m in F = e 3 E =4, 8 10 −6 N.V drugem delu naloge upoštevamo, da se skupna energija tretjega naboja ohranja,torej je vsota spremembe kinetične in elektrčne potencialne razlike enaka ∆W k +∆W e = 0. Na začetku naboj miruje in je zato njegova kinetična energija enaka 0.Električna potencialna energija naboja e 3 v električnem polju nabojev e 1 in e 2 jeenaka( e1W e = e 3 (U 1 + U 2 ) = e 3 + e )2,4πǫ 0 r 13 4πǫ 0 r 23kjer sta r 12 in r 13 ustrezni razdalji med naboji. Po dolgem času je r 13(23) → ∞ inzato električna potencialna energija enaka 0. Sledi, da je kinetična energija na koncuenaka potencialni energiji na začetku.( e1W k = W e = e 3 (U 1 + U 2 ) = e 34πǫ 0 a + e )24πǫ 0 a= e 3 (e 1 + e 2 )= 0, 36 10 −6 J4πǫ 0 a9. Prazen ploščni kondenzator, ki ga sestavljata dve kovinski plošči s površino 3 dm 2v razmiku d=4 mm, nabijemo z napetostjo 500 V in odklopimo vir napetosti. Kolikšenje naboj na kondenzatorju? Nato prostor med ploščama zapolnimo z dvemad 1 = d 2 = 2 mm debelima dielektrikoma: prvi ima dielektričnost ǫ 1 =2, drugi padielektričnost ǫ 2 =4. Kolikšna je nova kapaciteta kondenzatorja in kolikšna je napetostna njem?(ǫ 0 = 8, 85 · 10 −12 As/Vm)31

32 CHAPTER 4. ELEKTRIKA IN MAGNETIZEMRešitevNaboj na kondenzatorju je:e = c · U = ǫ 0Sd · U = 3.3 · 10−8 As. (4.1)Zapolnjen kondenzator obravnavamo kot dva zaporedno vezana kondenzatorja:1C ′ = 1 C 1+ 1 C 2(4.2)pri čemer je C 1 = ǫ 1ǫ 0 Sd 1= 2.65 · 10 −10 F in C 2 = ǫ 2ǫ 0 Sd 2= 5.31 · 10 −10 F. SlediC ′ = 1.77 · 10 −10 F. Kondenzator je odklopljen, torej se naboj na njem ohranja:e = CU = C ′ U ′ ⇒ U ′ = e = 186V .C ′10. Upori z upornostmi R 1 = 30 Ω, R 2 = 20 Ω R 3 = 10 Ω so priključeni na napetostU = 12 V tako, kot kaže slika. Kolikšen je nadomestni upor upornikov na sliki?Kolikšen tok teče skozi upor, ki je označen z zvezdico, in kolikšen je padec napetostina tem uporu?RRR1 1*1RR22R3UNaloga 4RešitevNadomestni upor prve skupine treh uporov je enakR a = (2R 1) R1(2R 1 ) + R 1= 2 3 R 1 = 20 Ω .Nadomestni upor para uporov R 2 je enak R b = R 2 /2 = 10 Ω. Nadomestni uporcelotnega vezja je enak R = R a + R b + R 3 = 40 Ω. Padec napetosti na uporu,oznacenem z zvezdico, je enak U ∗ = R 1R 1 +R 1U a = U a /2, kjer je U a = RaU = 6 V padecRnapetosti na prvi skupini uporov. Sledi U ∗ = 3 V. Tok, ki teče skozi ta upor, je enakI ∗ = U ∗ /R 1 = 0, 10 A.

Chapter 5Optika1. Ribji orel kroži nad jezerom in ugleda ribo, ki plava v globini 30 cm. Z namenom,da bi jo ujel, se začne spuščati v smeri 30 ◦ glede na navpičnico. Kolikšno napako(v vodoravni smeri) naredi pri oceni mesta ribe, če ne upošteva loma svetlobe napovršini jezera? Lomni količnik vode je 1, 33.RešitevSvetlobni žarek, ki potuje od ribe do orljega očesa, se na meji voda-zrak lomi polomnem zakonu:sin β = sin α/n ,kjer je α = 30 ◦ kot, pod katerim se orel spušča in β = 22 ◦ smer žarka glede nanavpičnico v vodi. Napaka, ki jo naredi orel, je horizontalna razdalja med mestom,kjer je riba, in mestom, skozi katerega bi potoval žarek, če se na vodni gladini ne bilomil.x = d 1 − d 2 = h(tan α − tanβ) = 5, 1 cm2. Na uklonsko mrežico z 200 režami na milimeter posvetimo v pravokotni smeri z modroin rumeno svetilko. Koliko sta razmaknjena uklonska maksimuma prvega reda na 2m oddaljenem zaslonu? Valovna dolžina modre svetlobe je 450 nm, rumene pa 620nm.RešitevPri uklonu svetlobe na uklonski mrežici izmerimo prvi maksimum pri kotusin ϕ = λ d ,kjer je d razdalja med dvema režama uklonske mrežice: d = 1 mm/200 = 5µm. Mestomaksimuma na zaslonu pa je pri x = l tan(ϕ), kjer je l oddaljenost zaslona. Pri danihpodatkih je x 1 = 18, 1 cm za modro in x 2 = 25, 0 za rdečo svetlobo. Maksimuma stamed sabo razmaknjena za ∆x = x 2 − x 1 = 6, 9 cm.33

34 CHAPTER 5. OPTIKA3. Uklonska mrežica je zgrajena iz vzporednih rež, ki so razmaknjene za a = 2 µm.Mrežico v pravokotni smeri osvetljujemo z svetlobo valovne dolžine λ = 650 nm. Vkaterih smereh opazimo uklonske maksimume? Koliko maksimumov dobimo?RešitevUklonski maksimumi se bodo pojavili pri kotihsin β = Nλa ;β 0 = 0 ◦ , β ±1 = ±19 ◦ , β ±2 = ±41 ◦ , β ±3 = ±77 ◦ . Vseh maksimumov je torej 7.4. Deček se pri kosilu igra s kovinsko žlico, ki deluje na eni strani kot izbočeno zrcaloin na drugi kot vbočeno zrcalo. Približuje jo obrazu in opazuje sliko svojega nosu.Ko je njegov nos oddaljen 10 cm od žlice (temena zrcala), vidi njegovo obrnjeno indvakrat povečano sliko. S katere strani žlice se deček ogleduje? Kolikšen je krivinskiradij žlice? Žlico obravnavaj kot idealno krogelno zrcalo.RešitevKer je nastala slika obrnjena, lahko sklepamo, da se deček ogleduje v vbočenem(konkavnem) delu žlice. Iz M = S = b = 2 sledi b = 20 cm. Po enači:P a1f = 1 a + 1 b ⇒ f =aba + b= 6.6 cm. (5.1)Za zrcala velja f = R oz. R = 2f = 13.3 cm. Komentar: ker je a = 10 cm in b =220 cm pomeni, da slika nosu nastane ZA glavo, torej je deček ne more videti! Boljšebi bilo vzeti, da vidi dvakrat POMANJŠANO sliko: rezultati so potem b = 5 cm,f = 3.3 cm in R = 6.6 cm.5. V prazen akvarij višine 20 cm in širine 40 cm gledamo pod takšnim kotom, da ravnoše vidimo nasprotni spodnji rob. Akvarij nato do vrha napolnimo z neko tekočinoin takrat ravno še vidimo majhen kovanec, ki leži na sredi dna akvarija. Kolikšen jelomni količnik tekočine?RešitevLomni zakon nam pravi, da je lomni količnik neznane tekočine enak n = sin α/ sinβ,kjer je α vpadni kot žarka v zraku, tanα = 20 cm/(40 cm) in β kot med smerjo žarkav neznani tekočini in navpičnico, tanα = 20 cm/(20 cm). Sledi α = 27 ◦ , β = 45 ◦ inn = 1, 58.6. Ob Blejskem jezeru raste 5 m visoka vrba. Kolikšna je dolžina sence drevesa najezerskem dnu, če padajo sončni žarki pod kotom 60 ◦ glede na navpičnico? Globinajezera ob obali je 3 m. Lomni količnik vode je 1.33.Rešitev

Označimo H = 5 m in h = 3 m. Kot, pod katerim se lomijo žarki na površini jezera,izračunamo po lomnem zakonusin αsin β = n , slediβ = 41◦ .Dolžina sence je enaka vsoti poti, ki jo žarek naredi v horizontalni smeri v zraku inv vodi.x = H tan α + h tan β = 11, 2 m.35

36 CHAPTER 5. OPTIKA

Chapter 6Kombinirane naloge1. V električni grelec za vodo natočimo 1 liter vode iz pipe, ki ima temperaturo 12 ◦ C.Grelec segreje vodo do vrelišča v treh minutah. Kolikšna je njegova moč? Kolikšenje upor grelne plošče, če je notranji upor vtičnice 0,5 Ω?Privzameš lahko, da je izkoristek takega grelca 100%. Efektivna napetost na vtičnicije 220V. Iz varnostnih razlogov je v grelcu vgrajena 30 A varovalka. Specifična toplotavode je 4200 J/kgK.RešitevZato, da segrejemo 1l vode do vrelišča, moramo vodi dovestitoplote. Moč grelca je torejQ = mc p ∆T = 1kg 4200J/kgK 88K = 370kJP = Q t = 370kJ180s= 2, 05kWP mora biti enaka električni moči, ki se troši na grelcu, P = UI = I 2 R, kjer jeI = U/(R + R n ) tok, ki teče skozi grelec in R n notranji upor vtičnice, ki je vezanzaporedno s priključenim grelcem. Dobimo kvadratno enačboR 2 + (2R n − U 2 /P)R + R 2 n = 0 ,ki ima rešitvi R 1 = 22, 6Ω in R 2 = 0, 011Ω. Tok, ki teče skozi grelec, je enakI = U/(R + R n ) in v drugem primeru presega dovoljeno vrednost 30 A, zato jerešitev naloge R = 22, 6Ω.2. (*) Krajišči 1 m dolge kovinske prečke z maso 100 g sta z dvema lahkima 0.5 mdolgima žicama privezani na strop (glej sliko). Prečka se nahaja v močnem magnetnempolju, ki ima navpično smer in gostoto 0.1 T. Kolikšen tok moramo spustitipo žicah skozi prečko, da se bo ta odkolonila za kot 10 ◦ ? Električni tok nenadomaizklopimo (prekinemo stik). Kolikšna napetost se inducira med krajiščema prečke,37

38 CHAPTER 6. KOMBINIRANE NALOGEB 10°Ivko ta zaniha skozi mirovno lego? Namig: približek za matematično nihalo pri takoveliki amplitudi ne velja; pri računanju hitrosti skozi mirovno lego uporabi energijskizakon.RešitevMagnetni sili na žici, na katerih visi prečka, se odštejeta, zato upoštevamo samomagnetno silo na prečko, ki kaže v vodoravni smeri, pravokotno na prečko in silnicemagnetnega polja, torej F m = BIl. Na prečko deluje tudi sila teže F g = mg navpičnonavzdol. Njuna vsota določa odklon:tgϕ = F m= BIlF g mg⇒ I =mg · tgϕBl= 1.73 A. (6.1)V drugem delu naloge upoštevamo, da je stik prekinjen in zato električni tok ne moreteči. Prečka pada kot nitno nihalo, nanjo delujeta le sila vrvice in teže. Na začetku jeprečka dvignjena za h = b(1−cosϕ) = 0.76 cm nad mirovno lego (pri tem je b dolžinažic na katerih visi prečka). Ko gre skozi mirovno lego, se je vsa potencialna energijaprečke W p = mgh pretvori v kinetično W k = mv2.Dobimo v = √ 2gh = 0.386 m/s.2Prečka seka silnice pravokotno, torej velja U i = lBv = 0.0386 V .3. Kovinska prečka z dolžino 80 cm in maso 100 g visi na dveh plastičnih vzmeteh skoeficientom vzmeti 100 N/m. Prečka se nahaja v magnetnem polju z gostoto 0.5T, ki ima smer vodoravno in pod kotom 40 ◦ glede na prečko. Skozi prečko teče tok5 A, kot kaže slika. Kolikšen je raztezek vzmeti? Nato tok skozi prečko izklopimo.Kolikšna je frekvenca s katero zaniha nihalo?

3920 cm20 cm40 cmRešitevSila na prečko zaradi magnetnega polja je po velikosti enaka F m = IlB ⊥ , kjer jeB ⊥ = B sin α komponenta magnetnega polja, ki je pravokotna na smer toka. SilaF m kaže navpično navzdol (vektorski produkt, pravilo desne roke). V ravnovesju jevsota vseh sil enaka nič, F m + F g = F v , kjer je F g = mg teža palice in F v = 2kx silaobeh vzmeti. Sledi x = (IlB sin α + mg)/(2k) = 1.1 cm.√Ko tok skozi prečko izklopimo, le-ta zaniha s kotno frekvenco ω = 2k/m = 4, 5 /s.Faktor 2 v enačbi je zaradi dveh vzmeti.