Shkarko publikim ne PDF - Media Print

Llukan PUKA, Dituri MALAJ, Afërdita HYSA, Petrit OSMANIMatematika(Me zgjedhje të detyruar)

Miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës, qershor 2010Titulli:Autorë:Matematika 11, me zgjedhje të detyruarProf. Llukan PUKA – Kreu 3,7,8Dituri MALAJ – Kreu 1,5Afërdita HYSA, (SINANI) – Kreu 4,6Petrit Osmani – Kreu 2Drejtuese botimi:Redaktor shkencor:Recensentë:Redaktore letrare:Redaktore teknike:Design:Shtypi:Anila BISHAProf. Fatmir HoxhaProf. Thoma MitreBardhyl SelimiElona QoseMirela NdritaElzana AgolliMedia-printISBN: 978-99956-93-08-4Botimi i parë: 2010Të gjitha të drejtat janë të rezervuara©S H T Ë P I Ainfo.mediaprint@gmail.comB O T U E S ETë gjitha të drejtat e autorit lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara/rezervuara nga Shtëpia Botuese“Mediaprint” sh.p.k..Ndalohet çdo prodhim, riprodhim, shitje, rishitje, shpërndarje, kopjim, fotokopjim, përkthim, përshtatje,huapërdorje, shfrytëzim dhe/ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar, si dhe çdo veprim cënues me çfarëdo llojmjeti apo forme, pjesërisht dhe/ose tërësisht, pa miratimin paraprak me shkrim nga shtëpia botuese“Mediaprint” sh.p.k..Ky botim, në tërësi dhe/ose në pjesë të tij, ndalohet të transmetohet dhe/ose përhapet në çdo lloj forme dhe/osemjet elektronik, mekanik, regjistrues dhe/ose tjetër, të ruhet, depozitohet ose përdoret në sisteme ku mund tëcënohen të drejtat e autorit, pa miratimin paraprak me shkrim nga shtëpia botuese “Mediaprint” sh.p.k..Çdo cënim i të drejtave të autorit passjell përgjegjësi sipas legjislacionit në fuqi.Kontaktet:Shtëpia Botuese Sektori i Shpërndarjes dhe Marketingut: Shtypshkronja:Kutia Postare 7465 - Tiranë Tel.: 042 272 698 Cel.: 069 40 44 442Tel.: 042 258 156 Cel.: 069 40 44 441 Cel.: 069 40 20 201Cel.: 069 40 44 443info.mediaprint @gmail.comKomente dhe sugjerime janë të mirëpritura në email: info.mediaprint@gmail.com

Përmbajtja e lëndësKREU 1. TRIGONOMETRIA5M.10 Punë e drejtuar. Grafe dhe matrica70M.1. Disa zbatime të teoremës së sinusit dhetë kosinusitM.2. Identitete të këndit të dyfishtë dheidentitete të gjysmës së këndit68Test: Provo veten.Ushtrime dhe problema7172M.3. Relacione trigonometrikeM. 4. Ekuacione trigonometrikeTest: Provo veten111315KREU 4. GJEOMETRIA NË HAPËSIRË:VEKTORË DHE DREJTËZAM.1 Vektori, vektorë të barabartë, të kundërt.Shuma, diferenca, prodhimi i vektorit menumër7475KREU 2. NJOHURI TË PËRGJITHSHMEPËR FUNKSIONETM.1-2 Funksioni injektiv, syrjektivM.3-4 Funksioni bijektiv (bijeksioni)M.5-6 Relacioni i anasjellë. Funksioni i anasjellëM.7-8 Përbërja e funksioneve numerikeM. 9-13 Të thellojmë njohuritë për funksionin171822242730M.2 Punë e drejtuar. Vetia e vijës së mesmetë trekëndëshit dhe e pikëprerjes sëmesoreve të tijM.3 Koordinatat e pikës, vektorit, në bosht,plan. Koordinatat trigonometrike tëvektoritM.4 Koordinatat e pikës, vektorit në hapësirëM.5 Ndarja e vektorit në një raport të dhënë;kosinuset drejtuese të vektorit77788386M.14 Funksionet trigonometrike të anasjellëTest: Provo veten3942M.6 Prodhimi numerik i dy vektorëve nëhapësirë. Këndi ndërmjet dy vektorëve.Kushti i pingultisë88Ushtrime dhe problema44M.7-8 Prodhimi vektorial i dy vektorëve.Treshe vektorësh në hapësirë90KREU 3. MATRICA. PËRCAKTORËM.1 Matrica. PërkufizimeM.2 Mbledhja. Shumëzimi me një konstante kM.3 Prodhimi i një matrice me një matricështyllëM.4 Prodhimi i dy matricaveM.5 Matrica e anasjellëM.6 Matrica dhe sisteme ekuacionesh lineare46475053555860M.9. Shprehja e prodhimit vektorial në koordinataM.10 Punë e drejtuar. Syprina e paralelogramitqë ka si brinjë diagonalet e njëparalelogrami të dhënëM.11 Prodhimi i përzier i vektorëveM.12 Punë e drejtuar. Vëllimi i paralelepipedittë ndërtuar mbi diagonalet e faqeve tëparalelepipedit të dala nga i njëjti kulmTest: Provo veten!949798101103M.7 PërcaktorëtM.8 Metoda e Kramerit për zgjidhjen esistemit të dy ekuacioneve lineare medy të panjohuraM.9 Punë e drejtuar: metoda e Gausit626468KREU 5. SHUMËFAQËSHA DHE TRUPATË RRUMBULLAKËTM.1 Ndërtime dhe vetiM.2 Syprina dhe vëllimi i piramidës1041051073

M.3 Punë e drejtuarM.4 Punë e drejtuarTest për vetëkontrollKREU 6. GJEOMETRIA NË HAPËSIRË.PLANI DHE DREJTËZA NË HAPËSIRËM.1 Ekuacioni i planit që kalon nga një pikë edhënë pingul me një vektor të dhënëM.2 Kushtet e paralelizmit dhe pingultisë së dyplaneveM.3 Ekuacioni i planit që kalon nga një pikëe dhënë paralel me dy vektorë (jobashkëvijorë ndërmjet tyre)M.4 Punë e drejtuar. Ekuacioni i planit që kalonnga tri pika jo në vijë të drejtëM.5 Largesa e pikës nga planiM.6 Ekuacioni i drejtëzës në hapësirëM.7 Gjendja e ndërsjellë e drejtëzës me planin.Kushtet e paralelizmit dhe pingultisë sëdrejtëzës me planinM.8 Punë e drejtuar. Ekuacionet e përgjithshmetë drejtëzësM.9 Punë e drejtuar. Gjendja e ndërsjellë e dydrejtëzave në hapësirëTest: Provo veten!109111113115116118119121122123125127128131KREU 7. STATISTIKË. MATEMATIKA NËJETËN E PËRDITSHMEM.1-2 Tabela me dy hyrjeM.3-4 Punë e drejtuar. Përcaktimi grafik ikuartileveM.5 Punë e drejtuar. Grafiku-kutiM. 6-7 Punë praktike e drejtuar. Reja e pikave.Drejtëza e regresitM.8 KorrelacioniM.9 Punë e drejtuar. Llogaritje në ExcelM.10 Mbledhja e dy përqindjeve. Krahasimi idy përqindjeveM.11-12 Punë e drejtuar. Përafrimi linear ipërqindjeve të vogla.M.13 Punë e drejtuar. Përqindje në ExcelTest. Provo veten!Ushtrime dhe problemaKREU 8. MATEMATIKË DISKRETE:INDUKSIONI MATEMATIK. NUMËRIMIM.1 Induksioni matematik. ProblemiM.2 Parimi i induksionit matematikM.3-4 Punë e drejtuar. Zbatime të parimit tëinduksionitM.5 Trekëndëshi i Paskalit. Formula e binomitM.6 Punë e drejtuar. Shembuj numërimi1321331361381391421441461471491511521551561581601621644

kreu1TrigonometriaMë 1831-shin Michael Faraday zbuloi se kur një telkalon afër një magneti, një rrymë e vogël korrentiprodhohej në tel. Në ditët e sotme ne gjenerojmë masatë mëdha elektriciteti duke rrotulluar në mënyrë tëvazhdueshme mijëra tela afër magneteve të mëdhenj.Për shkak se rryma ndryshon drejtimin e saj në telatelektrikë, është modeluar me saktësi ose nga funksionisinus ose nga funksioni kosinus.Michael FaradayEnigma 1Lavjerrësi sustëyLargesa ose zhvendosja e y nga vendosja e një peshe nëlavjerrës nga pozicioni natyral i tij jepet me formulën:( πt)y = 4 cos 2 , ku t është koha në sekonda.Energjia potenciale është energjia e pozicionit që jepet2me formulën: P = k ⋅ y , ku k është konstante. Pesha kaenergjinë potenciale më të madhe kur lavjerrësi sustëështë i tërhequr në maksimum.a) Shkruaj një shprehje të P në varësi të funksionit kosinus.xb) Përdor identitetin kryesor për të shkruar P me terma të sin ( 2π t).5

M.1 Disa zbatime të teoremës së sinusit dhe të kosinusitKujto: Teorema e sinusita b c= = = 2R, ku R është rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit ∆ ABC .sinα sin β sin γATeorema e kosinusit2 2 2αa = b + c − 2bc cosαcb2 2 2b = a + c − 2ac cos β2 2 2c = b + a − 2ab cosγβγBaCShembull 1Supozojmë që A, B, C, D janë pika çfarëdo në një rreth me rreze R, të vendosura sipas renditalfabetik.a) Duke përdorur teoremën e sinusit trego që sin ABC = sinCDA .b) Çfarë përfundimi merr për shumën e këndeve ABC + CDA ?NëZgjidhjea) Në ∆ ABC zbatojmë teoremën e sinusit:AC2Rsin ABC =∆ ADC zbatojmë teoremën e sinusit:AC2Rsin ADC = . Pra, sin ABC = sin ADC b) Nga përfundimi që morëm në pikën a) del se ABC = ADC ose 0ABC = 180 − ADC . Pra,nëse një katërkëndëshi i jashtëshkruhet një rreth, atëherë këndet e përkundrejta janë të barabartaose shtuese.DABCShembull 2Një ∆ ABC i çfarëdoshëm e ka diametrin e rrethit të jashtëshkruar tij 1njësi.a) Shpreh gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit me anë të funksionevetrigonometrike të këndeve të tij.b) Zbato teoremën e kosinusit në këtë trekëndësh.BAαcβabγCZgjidhjea) Në ∆ ABC zbatojmë teoremën e sinusit:a b c= = = 2R= 1 , që nga a = sinα, b = sin β dhe c = sin γsinα sin β sin γb) Zbatojmë teoremën e kosinusit në ∆ABC2 2 2a = b + c − 2bc cosα. Zëvendësojmë në këtë barazim përfundimet që morëm nga6

Matematika(Me zgjedhje të detyruar)ISBN: 978-99956-93-08-4Çmimi: 250 lekë