Matematika 1 - Prvi Kolokvijum odrzan 6.12.2003

Matematika 1 - Prvi kolokvijumRešenja zadataka - Grupa 1.√1. [5] Izračunati lim log n sin 1 · sin 1n→+∞ 2 · ...· sin 1 n .√lim log n sin 1 · sin 1n→+∞ 2 · ...· sin 1 n = lim log sin 1 + log sin 1 + ...+ log sin 1 2 nn→+∞⎛n1) niz y n = n je monotono rastući nizDirektnom primenom Štolcove teoreme ⎜ 2) lim y n = ∞n→∞dobijamo da je traženi limes −∞.⎜⎝3) lim = x n+1 − x n= limn→∞ y n+1 − y n n→∞logsin 1n+11= −∞06.12.2003.⎞⎟⎠2. [5] Ispitati ograničenost i monotonost niza čiji je opšti člana n = 33+1 + 33 2 +2 + ...+ 33 n + n .3Kako je a n+1 − a n => 0 niz je monotono rastući.3 n+1 + n +1Takodje, za svako n važi: 0

ude difer-{x5. [5] Odrediti realne brojeve a i b tako da funkcija f(x) =2 , x ≤ 1ax + b, x > 1encijabilna u tački x =1.Kako jef ′ −(1) = limh→0−(1 + h) 2 − 1h= lim (2 + h) =2 i f ′ a(1 + h)+b − 1+(1) = lim= limh→0− h→0+ h(a + a + b − 1h→0+ h)mora biti a =2 i a + b − 1=0 tj. a =2,b= −1.6. [5] Odrediti parametar n tako da prava y = x + n bude tangenta krive y = xx +4 .Iz jednačine date prave i jednačine tangente y −y 0 = 4(x 0(x−x+4) 2 0 ) date krive u tački (x 0 ,y 0 )zaključujemo da je f ′ 4(x 0 )=1 i(x 0=1.+4) 2Iz poslednje jednakosti dobijamo x 0 = −6 ili x 0 = −2.Za x 0 = −6 imamo y 0 =3 i n =9.Za x 0 = −2 imamo y 0 = −1 i n =1.7. [10] Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) = √ −arcsin(log 1 |x|).2.x ≠0 ∧ |log 1 |x|| ≤ 1 ∧ arcsin(log 1 |x|) ≤ 022⇔ x ≠0 ∧ −1 ≤ log 1 |x| ≤1 ∧ log 1 |x| ≤0}2{{2}⇔ x ≠0 ∧ −1 ≤ log 1 |x| ≤02⇔ x ≠0 ∧ log 1 2 ≤ log 1 |x| ≤log 1 1222⇔ x ≠0 ∧ 1 ≤|x| ≤2⇔ x ∈ [−2, −1] ∩ [1, 2]8. [10] Odrediti asimptote funkcije f(x) =xln 2xx +1 .Dom(f) ={x|x ∈ R ∧ > 0} =(−∞, −1) ∪ (0, +∞).2xx+12xKako je lim f(x) = lim xlnx→0+ x→0+ x +1 = limx→0+nema vertikalnu asimptotu s desna u tački x =0.Pošto jeKako jeIz jednakosti2xlim f(x) = lim xlnx→−1−0 x→0+ x +1limx→ + −∞ln 2xx+11x(teorema Lopitala)= limx→0+1x(x+1)− 1 x 2= −∞ prava x = −1 jevertikalnaasimtota.f(x) = + −∞, funkcija nema horizontalnu asimptotu.f(x)a = limx→ −∞+ x= lim ln 2xx→ −∞+ x +1 = ln2= 0 funkcija

..b =limx→ + −∞f(x) − xln2 =limx→ + −∞x ln2x2(x +1) = limlnx→ −∞+2x2(x+1)1x(teorema Lopitala)= limnalazimo da je prava y = xln2 − 1 je obostrana kosa asimptota funkcije.x→ + −∞1x(x+1)− 1 x 2= −19. [10] Odrediti intervale monotonosti, lokalne ekstremne vrednosti, konveksnost,|x − 1|konkavnost i prevojne tačke funkcije f(x) =(x +1) . 3Dom(f) =R\{−1}.⎧⎪⎨Kako je f(x) =⎪⎩x−1, x ≤ 1(x+1) 31−x, x > 1(x+1) 3(f ′ (1) ne postoji, jer je f ′ + (1) = lim f ′ (x) =x⇒1+0⎧⎪⎨imamo f ′ (x) =⎪⎩limx⇒1+02(2−x)(x+1) 4 , x > 12(x−2)(x+1) 4 , x < 12(2 − x)(x +1) 4 = 1 8 , dok je f ′ − (1) = limf ′ (x) = limx⇒1−0 x⇒1+02(x − 2)(x +1) 4 = − 1 8 . )f ′ (x) < 0zax ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (2, +∞). Tada f(x) monotono opada.f ′ (x) ≥ 0zax ∈ (1, 2]. Tada f(x) monotono raste.Zbog toga je tacka (1,f(1)) tačka lokalnog minimuma funkcije, a tačka (2,f(2)) je tačka lokalnogmaksimuma. ⎧6(x−3)⎪⎨ , x > 1(x+1) 5f ′′ (x) =⎪⎩ 6(3−x), x < 1(x+1) 5f ′′ (x) ≥ 0zax ∈ (1, 3].f ′′ (x) < 0zax ∈ (−∞, −1) ∩ (−1, 1) ∩ (3, +∞).Prevojne tačke su tačke (1, 0) i (3, 1 ). 32