MATEMATYKA

1 Elementy logikiPrzykład 1.Wykazać, że prawo podwójnego przeczenia jest tautologią rachunku zdańp ⇔ [∼ (∼ p)].Rozwiązanie:Układamy tablicę wartości logicznych zmiennej p i kolejnych zaprzeczeń.p ∼ p ∼ (∼ p) p ⇔ [∼ (∼ p)]0 1 0 11 0 1 1Wszystkie “jedynki” w ostatniej kolumnie oznaczają, że prawo podwójnego przeczenia jest tautologią.Przykład 2.Wykazać, że prawo de Morgana jest tautologią rachunku zadań∼ (p ∧ q) ⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)].Rozwiązanie:Układamy tablicę wszystkich możliwych podstawień wartości logicznych za zmienne zdaniowe p, qi obliczamy dla każdego podstawienia wartość logiczną całej formuły.p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q) ∼ (p ∧ q) ⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)]0 0 0 1 1 1 1 10 1 0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 1 1 11 1 1 0 0 0 0 1Wszystkie “jedynki” w ostatniej kolumnie oznaczają, że prawo de Morgana jest tautologią.Przykład 3.Zbadać, czy podana formuła jest tautologią, stosując tablicę wartości logicznych zdań składowych(p ⇒ q) ⇒ [(t ∨ p) ⇒ (t ∨ q)].Rozwiązanie:Układamy tablicę wszystkich możliwych podstawień wartości logicznych za zmienne zdaniowe p,q, t i obliczamy dla każdego podstawienia wartość logiczną całej formuły.p q t p ⇒ q t ∨ p t ∨ q (t ∨ p) ⇒ (t ∨ q) (p ⇒ q) ⇒ [(t ∨ p) ⇒ (t ∨ q)]0 0 0 1 0 0 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1Wszystkie “jedynki” w ostatniej kolumnie oznaczają, że formułajest tautologią rachunku zadań.(p ⇒ q) ⇒ [(t ∨ p) ⇒ (t ∨ q)]6