MATEMATYKA

Rozwiązanie:Sprawdzamy, czy układ równań jest cramerowski, licząc wartość wyznacznika głównego WW =1 2 −3 04 8 −7 11 2 −1 1−1 1 4 6= 9.Wyznacznik główny W = 9 ≠ 0, czyli dany układ równań jest układem cramerowskim.Obliczamy pozostałe wyznaczniki W x , W y , W z , W tW x =0 2 −3 01 8 −7 11 2 −1 10 1 4 6= 36, W y =1 0 −3 04 1 −7 11 1 −1 1−1 0 4 6= −18,W z =1 2 0 04 8 1 11 2 1 1−1 1 0 6= 0, W t =1 2 −3 04 8 −7 11 2 −1 1−1 1 4 0= 9.Wyznaczamy niewiadome x, y, z, tx = W xW = 36 9 = 4,Rozwiązanie układu jest następującey = W yW = −18 = −2, z = W z9W = 0 9 = 0,⎧x = 4 ⎪⎨y = −2⎪ z = 0 ⎩t = 1.t = W tW = 9 9 = 1.Przykład 48.Zbadać, ile rozwiązań ma układ równań⎧⎨ x + 2y − 3z = 0−2x + y + 2z = 0⎩x + 7y − 7z = 0.Rozwiązanie:Układ ten jest układem jednorodnym (wszystkie wyrazy wolne są równe zero), zatem ma dokładniejedno rozwiązanie (x = y = z = 0), gdy W ≠ 0. W przeciwnym wypadku (W = 0) ma nieskończeniewiele rozwiązań. Układ jednorodny nigdy nie jest układem sprzecznym.Obliczmy wartość wyznacznika głównego WW =1 2 −3−2 1 21 7 −7= 0.Wyznacznik główny układu W = 0, czyli dany układ ma nieskończnie wiele rozwiązań.44