MATEMATYKA

czyli relacja R jest symetryczna.3) przechodniość∀ a,b,c∈R :⇐⇒ |b − a| 5 ⇐⇒ bRa,aRb ⇐⇒ |a − b| 5bRc ⇐⇒ |b − c| 5}≠⇒ |a − c| 5 ⇐⇒ aRc,czyli relacja R nie jest przechodnia. Aby to uzasadnić, podamy kontrprzykład.Niech a = 9, b = 4, c = 0. Wówczas}|9 − 4| = 5 5, ale |9 − 0| = 9 ̸ 5.|4 − 0| = 4 5Ponieważ nie jest spełniony warunek przechodniości, relacja R nie jest relacją równoważności.Przykład 19.Sprawdzić, czy relacja R określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacją równoważnościJeśli tak, wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji.Rozwiązanie:1) zwrotnośćaRb ⇐⇒ a − b ∈ Z.∀ a∈R : aRa ⇐⇒ a − a ∈ Z.Ponieważ a − a = 0 i 0 ∈ Z, to relacja ta jest zwrotna.2) symetria∀ a,b∈R : aRb ⇐⇒ a − b ∈ Z.Niech a − b = k, czyli b − a = −k. Jeżeli k jest liczbą całkowitą, to −k też jest liczbą całkowitą.Zatem b − a ∈ Z, co implikuje bRa, czyli relacja jest symetryczna.3) przechodniość∀ a,b,c∈R : aRb =⇒ a − b ∈ Z ∧ bRc =⇒ b − c ∈ Z.Niech a − b = k i b − c = s, k, s ∈ Z. Zatem}a = k + b=⇒ a − c = k + b − b + s = k + s.c = b − sPonieważ k i s są liczbami całkowitymi, to k + s też jest liczbą całkowitą. Zatem a − c ∈ Z, coimplikuje aRc, czyli relacja jest przechodnia.Ostatecznie rozpatrywana przez nas relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, czyli jestrelacją równoważności.Możemy zatem wyznaczyć klasy abstrakcji. Najpierw wyznaczymy klasę abstrakcji reprezentowanąprzez element 2, 45 ∈ R, więc musimy znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste s, które są w relacji zelementem 2,45, czyli takie, że (2, 45 − s) ∈ Z. Zauważmy, że s może być równeZatem−3, 55; −1, 55; 0, 45; 5, 45; itd.[2, 45] = { ... − 2, 55; −1, 55; −0, 55; 0, 45; 1, 45; 2, 45; 3, 45; 4, 45; ... }.18