MATEMATYKA

More documents

Recommendations

Info

Zaznaczamy w układzie współrzędnych zbiór A × B i B × A.A × BB × ARysunek 1: Interpretacja geometryczna zbiorów A × B i B × A.Przykład 16.Zaznaczyć na płaszczyźnie współrzędnych zbiórN × Z i Z × [−2, 2].Rozwiązanie:N × Z Z × [−2, 2]Rysunek 2: Interpretacja geometryczna zbiorów N × Z i Z × [−2, 2].14
ZADANIA:2.1. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B i C prawdziwe są równości:a) (A \ B) ∪ A = Ab) (A ∩ B) ∪ (A \ B) = Ac) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ Bd) (A ∪ C) \ B = (A \ B) ∪ (C \ B)e) (B ∩ C) ∪ (C \ A) = C \ (A \ B).2.2. NiechWyznaczyć (A \ B) ∩ C.2.3. NiechWyznaczyć:a) (A \ C) ∪ Bb) (C ∩ B) \ A.2.4. WyznaczyćA = (−2, 10), B = [4, 12), C = N.A = {−2, −1, 0, 1, 2, 10}, B = {−1, 1, 10}, C = {−2, 10}.A ∩ B, A ∪ B, A \ Bgdzie:a) A = {x ∈ R : √ x + 4 > 3}, B = {x ∈ R : x4x 8}b) A = {x ∈ R : x5 +12x> 0}, B = {x ∈ R : |x − 1| 5}c) A = {x ∈ Z : x 4 + 2x 3 − x 2 − 2x 0}, B = {x ∈ N : −x 2 + x + 2 0}.2.5. Dane są zbiory punktów płaszczyznyA = {(x, y) ∈ R 2 : y − 2 3 x + 4 ∧ y −2x + 8} i L m = {(x, y) ∈ R 2 : x + y = m}gdzie m jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla jakich m spełniony jest warunek A ∩ L m = ∅?2.6. NiechA = {x : x ∈ R ∧ ∃n ∈ N : x = (−1) n }, B = {x : x ∈ R ∧ ∃n ∈ N : x = (−1) 2n }.Sprawdzić prawdziwość zależności:a) A ∩ B ≠ ∅b) A ⊂ Bc) B ⊂ A.2.7. Dane są zbioryA = {x : x ∈ R ∧ |x| 2}, B = {x : x ∈ R ∧ |x| = 1} i C = {x : x ∈ R ∧ x < 3}.Sprawdzić prawdziwość zależności:a) A ∩ B ∩ C = Bb) (C \ A) ∩ B = ∅c) A ∪ B ∪ C = B.2.8. Niech nZ oznacza zbiór liczb całkowitych podzielnych przez n (n ∈ N). Wyznaczyć:a) 4Z ∩ 2Zb) 4Z ∪ 2Zc) 6Z \ 3Zd) 2Z ∩ 3Z15
Page 1: POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKAMagdalena
Page 5 and 6: WstępNiniejszy zbiór zadań zosta
Page 7 and 8: Przykład 4.Zbadać, czy podana for
Page 9 and 10: Przykład 8.Określić wartość lo
Page 11 and 12: 1.14. [(p ∨ q) ∧ r] ⇒ [(p ∧
Page 13: 43⇐⇒ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)]
Page 17 and 18: Rozwiązanie:Najpierw, korzystając
Page 19 and 20: Wyznaczymy teraz klasę abstrakcji
Page 21 and 22: czyli funkcja g jest suriekcją.ADc
Page 23 and 24: (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 3√ x 6 =
Page 25 and 26: Argument −6 znajdujemy po rozwią
Page 27 and 28: ⎧⎨4.59. A = (−1, 2), f(x) =
Page 29 and 30: 1 1 −2 −1 −3 W 1 := W 10 −1
Page 31 and 32: 1 0 11 −17 22 W 1 := W 10 0 1 −
Page 33 and 34: (6 · 2 + (−1) · 3 6 · (−2) +
Page 35 and 36: {X =13 ATY = − 1 3 AZatem⎧ ⎛
Page 37 and 38: 6.16. Wyznaczyć A n , gdzie n ∈
Page 39 and 40: 3 4 1 0 10 0 0 −4 0= 1 3 3 1 4 =2
Page 41 and 42: ZADANIA:Obliczyć wartość podanyc
Page 43 and 44: 8 Wzory CrameraPrzykład 45.Zbadać
Page 45 and 46: ZADANIA:Zbadać, czy układy równa
Page 47 and 48: ( 2 −1= 1 + rz−4 2)= 1 + 1 = 2.
Page 49 and 50: Łatwo obliczyć, żerzW = 2,natomi
Page 51 and 52: 9.13.9.15.⎧⎨⎩⎧⎨⎩ax + 3y
Page 53 and 54: Przykład 60.Wyznaczyć macierz odw
Page 55 and 56: 1 0 0 0 8 −2 1 3 1 0 W 1 := W 1 +
Page 57 and 58: Zatem det(A −2 ) = det(−3A T )
Page 59 and 60: ) Wyznaczamy wektor ¯x spełniają
Page 61 and 62: Przykład 68.Niech A będzie macier
Page 63 and 64: a) Wyznaczyć rozkład ludności po
Page 65 and 66:
⎛123ax + by + cz = 0 ⇐⇒ a ⎝
Page 67 and 68:
Więc wektory x, y, z są liniowo n
Page 69 and 70:
jest odwzorowaniem liniowym.Rozwią
Page 71 and 72:
13 Wybrane zastosowania funkcji jed
Page 73 and 74:
Przykład 85.Kwotę 500zł wkładam
Page 75 and 76:
Przykład 90.Franek umówił się z
Page 77 and 78:
gdzie c− cena. Znaleźć i zinter
Page 79 and 80:
Przykład 93.Obliczyć pochodną fu
Page 81 and 82:
Przykład 105.Obliczyć pochodną f
Page 83 and 84:
14.27. f(x) = 2e √x ( √ x − 1
Page 85 and 86:
)f ′ 1(x) < 0 ⇐⇒ 2x ln x + x
Page 87 and 88:
(przedziale − √ 33 ; √ )33.11
Page 89 and 90:
N oznacza, że funkcja jest nieokre
Page 91 and 92:
Rysunek 12: Wykres funkcji f(x) = x
Page 93 and 94:
Przykład 121.Całkowity koszt prod
Page 95 and 96:
Tworzymy funkcję wyrażającą zal
Page 97 and 98:
Jaki staż pracy pracowników minim
Page 99 and 100:
Po podniesieniu obu stron do kwadra
Page 101 and 102:
ZADANIA:Wyznaczyć i narysować dzi
Page 103 and 104:
Rozwiązanie:∂f∂x = √ 4x 4=
Page 105 and 106:
∂f∂x = 5x4 + 3x 2 y 2 + 3y 4 +
Page 107 and 108:
19.43. f(x, y) = x sin xe −y , x
Page 109 and 110:
8. Wyznaczamy wartość hesjanu w p
Page 111 and 112:
osiąga w punkcie (√ 5, − √ 5
Page 113 and 114:
otrzymujemy punkt( 13 , 1 3),w któ
Page 115 and 116:
Rozwiązanie:Rysunek 18: Wykres ko
Page 117 and 118:
otrzymujemy punkt(1, 1),w którym f
Page 119 and 120:
2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe f
Page 121 and 122:
2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe f
Page 123 and 124:
Zatem dla a = 4∨a = −4 warstwic
Page 125 and 126:
gdzieg(x, y) = x + y − 4czyliL(λ
Page 127 and 128:
Obliczamy wyznaczniki △ iwięc ot
Page 129 and 130:
Wyznaczyć taką wielkość produkc
Page 131 and 132:
Rozwiązanie:∫ ( 12 x3 + 2x − 1
Page 133 and 134:
∫e x cos xdx3 = e x cos x + ∫ e
Page 135 and 136:
Przykład 171.Obliczyć całkę∫
Page 137 and 138:
Przykład 174.Obliczyć całkę∫x
Page 139 and 140:
25 Całka oznaczona. Zastosowania c
Page 141 and 142:
Przykład 183.Obliczyć całkę∫
Page 143 and 144:
Przykład 187.Wydajność pracownik
Page 145 and 146:
25.35.25.37.25.39.25.41.25.43.25.45
Page 147 and 148:
)2.13.2.14.Relacje. Relacje równow
Page 149 and 150:
x = 7921 , y = − 5 3 , z = − 1
Page 151 and 152:
ADII:⎛P =⎜ ⎜⎝0 1 0 1 11 0 1
Page 153 and 154:
+1) sin 2x (2 cos 2x ln(x 2 + 1) +
Page 155 and 156:
18.1. D = {(x, y) ∈ R 2 : y x
Page 157 and 158:
( )f maxw (−3, −4) = 50; 22.9.
Page 159:
Spis Literatury[BMP] Z. Bartosiewic
show all

MATEMATYKA

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?