MATEMATYKA

Przykład 11.Napisać zaprzeczenie zdania i określić wartość logiczną zaprzeczenia∃ x∈R ∀ y∈R : x + y ≠ 1.Rozwiązanie:Do wyznaczenia zaprzeczenia tego zdania użyjemy prawa de Morgana dla kwantyfikatorówZdanie∼ [∃ x∈R ∀ y∈R : x + y ≠ 1] ⇔ ∀ x∈R ∃ y∈R :∼ [x + y ̸= 1] ⇔ ∀ x∈R ∃ y∈R : x + y = 1.∀ x∈R ∃ y∈R : x + y = 1jest zdaniem prawdziwym. Dla każdej liczby rzeczywistej x możemy wskazać liczbę rzeczywistąy = 1 − x. Suma tych dwóch liczb będzie równa 1.Przykład 12.Napisać zaprzeczenie zdania i określić wartość logiczną zaprzeczenia∀ x∈N : (x = 1 ⇒ x 2 = 1).Rozwiązanie:Do wyznaczenia zaprzeczenia tego zdania użyjemy następującego prawa de Morgana dla kwantyfikatorów∼ ∀ x∈X : f(x) ⇔ ∃ x∈X :∼ f(x).∼ [∀ x∈N : (x = 1 ⇒ x 2 = 1)] ⇔ ∃ x∈N :∼ [x = 1 ⇒ x 2 = 1] ⇔⇔ ∃ x∈N :∼ [x ̸= 1 ∨ x 2 = 1] ⇔ ∃ x∈N : x = 1 ∧ x 2 ≠ 1.Zdanie∃ x∈N : x = 1 ∧ x 2 ≠ 1jest zdaniem fałszywym. Nie istnieje liczba rzeczywista x taka, że x = 1 i x 2 ̸= 1.ZADANIA:Zbadać, dla jakich wartości logicznych zmiennych p, q i r formuły są prawdziwe:1.1. (p ⇒ q) ⇔ [(∼ p) ∨ q]1.2. (p ⇔ q) ⇔ [(∼ p) ∧ (∼ q)]1.3. (p ∧ q) ⇔ (p ∨ q)1.4. (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)1.5. [p ⇒ (∼ q)] ⇒ [(∼ q) ⇒ p]1.6. [(∼ p ∧ q) ∨ r] ∧ [∼ r ∨ q]1.7. [(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ r)] ⇒ rZbadać, czy następujące formuły są tautologiami:1.8. [p ⇒ (∼ p)] ⇒ (∼ p)1.9. p ⇒ [q ⇒ (p ∧ q)]1.10. (p ⇒ q) ⇔ [p ∨ (∼ q)]1.11. (p ∨ q) ⇒ (p ∧ q)1.12. [(∼ p) ∧ (p ∨ q)] ⇒ q1.13. [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [q ⇔ (p ⇔ r)]10