Zadaci iz nacrtne za rad na casu i vezbu - Alas

Zadaci iz Nacrtne geometrijeSrdjan Vukmirović26. novembar 2009.1 Homologije1. Date su centar S, osa s i protivosa u homologije. Ako kvadrat seče i osui protivosu i ima dve ivice paralelne osi, konstruisati sliku tog kvadrata.2. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovarajućih tačaka A i A ′ .Konstuisati sliku trougla ABC.3. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovarajućih tačaka S i S ′ .Odrediti sliku kruga sa centrom S u toj homologiji.4. Konstruisati glavne ose elipse koja je zadata parom konjugovanih dijametaraAB i CD.5. Homologija je zadata osom s, centrom V i parom odgovarajućih tačaka Si S ′ . Odrediti sliku kruga sa centrom S u toj homologiji.2 Metoda odstojanja normalnog projektovanja2.1 Osnovni zadaci1. Data je prava p projekcijama svojih tačaka M(M ′ , OM 0 ) i N(N ′ , ON 0 ).Konstruisati: a) trag prave p; b) pravu veličinu duži MN; c) nagibni ugaoprave p.2. Date su tačke A(A ′ , OA 0 ), B(B ′ , OB 0 ) i C(C ′ , OC 0 ). Konstruisati a)trag a ravni α = (ABC) b) težiste T = (T ′ , OT 0 ) trougla ABC; c) centarS = (S ′ , OS 0 ) opisanog kruga trougla ABC.3. Data je ravan α(a, A ′ , OA 0 ), tačka S koja joj pripada i duž d. Nacrtatiprojekciju kruga k koji pripada ravni α, ima centar S, a poluprečnik muje podudaran duži d.4. Odrediti projekciju kruga čiji je centar data tačka S(S ′ , OS 0 ), a kojidodiruje datu pravu p(P, Q ′ , OQ 0 ).1

5. Data je ravan α(a, A ′ , OA 0 ). Konstruisati pravu p koja pripada ravni α,sadrži tačku A, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 4 .6. Data je prava p(P, A ′ , OA 0 ). Konstruisati ravan α koja sadrži pravu p, asa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 6. Konstruisati zatim projekcijukvadrata ABCD koji pripada ravni α i čija je ivica AB podudarna datojduži d.7. Odrediti presek ravni α(a, A ′ , OA 0 ) i β(b, B ′ , OB 0 ) ako važi:i) a ∩ b = {P }; ii) a ‖ b.8. Odrediti prodor prave p(P, A ′ , OA 0 ) kroz ravan τ(t, M ′ , OM 0 ).9. Date su ravan τ(t, K ′ , OK 0 ) i tačka M(M ′ , OM 0 ) koja joj ne pripada.a) Konstruisati normalu n iz tačke M na ravan τ. b) Odrediti tačku Nsimetričnu tački M u odnosu na τ.10. Date su prava n(N, S ′ , OS 0 ) i tačka K(K ′ , OK 0 ). a) Konstruisati ravanτ koja sadrži tačku K i normalna je na pravu n. b) Odrediti udaljenosttačke K od prave n.Uputstvo: a) radjeno na predavanjima.b) Ako je {M} = n ∩ τ tada je tražena udaljenost d(K, n) =KM = [K][M]. Primetimo da je prava KM normalaiz tačke K na pravu n.11. Data je ravan α(a, A ′ , OA 0 ) i tačka M(M ′ , OM 0 ) koja joj ne pripada.Konstruisati trag ravni β koja sadrži tačku M i paralelna je sa α.12. Date su ravni α(a, A ′ , OA 0 ) i β(b, B ′ , OB 0 ) koje se seku. Odrediti ugaoizmedju ravni α i β.Uputstvo: Neka je a ∩ b = {P }. Odrediti presečnu pravup(P, Q ′ , OQ 0 ) ravni α i β. Odrediti zatim trag c ravni γ kojasadrži Q i upravna je na pravu p. Ta ravan γ seče ravni α iβ po pravama redom k i l koje sadrže Q. Tragovi tih dvejupravih su tačke {K} = c ∩ a i {L} = c ∩ b. Oboriti ravan γ,tj. tačku Q ∈ γ. Ugao izmedju ravni α i β je ugao izmedjupravih k i l, tj. ugao izmedju pravih [k] = K[Q] i [l] = L[Q]u oborenom položaju ravni γ.Napomena: Ako je a ‖ b tada se zadatak svodi na Zadatak 7ii). Proveriti.13. Data je ravan α(a, M ′ , OM 0 ) i prava p(P, Q ′ , OQ 0 ). a) Odrediti ravan βkoja sadrži pravu p i normalna je na ravan α. b) Odrediti zatim presek αi β.2

Uputstvo: a) Odrediti trag N, prave n, koja sadrži tačku Qi upravna je na α. Usput odrediti i prodor S prave n krozα. Pošto tražena ravan β sadrži prave p i n, njen trag jeb = P N. Dakle β(b, Q ′ , OQ 0 ).b) Označimo sa c presek ravni α i β. Trag te prave je {C} =a ∩ b, a jedna tačka je tačka S dobijena pod a). Daklec(C, S ′ , OS 0 ).14. Date su prava m(M, N ′ , ON 0 ) i tačka S(S ′ , OS 0 ). Odrediti ravan α kojasadrži pravu m, a od tačke S je udaljena za dato rastojanje d.Uputstvo: Neka je α tražena ravan i T podnožje normale iztačke S na ravan α. Važi ST = d. Označimo sa β ravankoja sadrži tačku S i upravna je na pravu m. Ravan β sadržitačku T i seče pravu m u nekoj tački L. Dakle prave k =LT = α∩β i m pripadaju ravni α čime je ravan α odredjena.Odredimo sada pravu k = LT, tj. sada tek počinje crtanje.Konstruišemo trag b ravni β koja sadrži tačku S i upravna jena pravu m i usput dobijemo {L} = β ∩ m. Oborimo ravanβ, tj. dobijemo [S] i [L]. Tačku [T ] dobijamo kao dodirnutačku tangente iz [L] na krug k([S], d). Dakle dobili smopravu [k] = [L][T ]. Njen trag je K = [k] ∩ b. Pošto traženaravan α sadrži prave m i k njen trag je a = MK. Dakleα(a, N ′ , ON 0 ).15. Date su tri paralelne prave a(A, P ′ , OP 0 ), b(B) i c(C). Konstruisati pravus jednako udaljenu od ovih pravih.Uputstvo: Primetimo prvo da su druge dve prave zadate samotragom, jer važi a ′ ‖ b ′ ‖ c ′ . Kako je tražena prave s paralelnadatim pravama, dovoljno je odrediti samo jednu njenutačku, jer važi s ′ ‖ a ′ . Neka je τ ravan koja sadrži tačku Pi upravna je pravu a (pa dakle i na b i c). Označimo saQ i R presečne tačke pravih b i c sa τ, redom. Centar Topisanog kruga trougla P QR pripada pravoj s i u nastavkunjega konstruisemo, tj. sad počinje crtanje.Odredimo prvo trag t ravni γ. Za nagibnice m 1 , m 2 i m 3 ravni τkroz tačke P, Q, R, redom, važi: m ′ 1 = a ′ , m ′ 2 = b ′ , m ′ 3 = c ′ .Njihovi tragovi M 1 , M 2 , M 3 su preseci a ′ , b ′ , c ′ sa t. Obaramoprojektujuće ravni pravih a, b, c (na istu stranu) i dobijamoQ ′ ∈ b ′ i R ′ ∈ c ′ koristeći da važi: [a] = A[P ] ‖)b(= B)Q(‖{c} = C{R} i [a] ⊥ [m 1 ] = M 1 [P ] ‖)m 2 (= M 2 )Q(‖ {m 3 } =M 3 {R}.Obaramo ravan τ i dobijamo tačke (P ), (Q), (R). U oborenompoložaju ravni τ nalazimo centar opisanog kruga (T ) togtrougla, a zatim i T ′ . Prava s ′ ∋ T ′ je odredjena sa s ′ ‖ a ′ .3

Trag S prave s dobiti obaranjem projektujuće ravni prave s,tj. |s| = S|T | ⊥ M|T |, gde je M = s ′ ∩ t trag nagibnice mravni τ kroz tačku T (važi s ′ = m ′ ).2.2 Složeniji zadaciNapomena: Rešenja (DWF fajlovi) prva četiri zadatka možete naći na adresihttp://alas.matf.bg.ac.yu/ vsrdjan/files/nacrtna.htmTo su zadaci: piramida, oktaedar, valjak i tetraedar.1. Metodom odstojanja date je ravan τ(t, S ′ , OS 0 ). Konstruisati projekcijupravilne četvorostrane piramide ABCDV, čija osnova ABCD ima središteS i pripada ravni τ. Visina piramide je podudarna datoj duži h.2. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, L ′ , OL 0 ) i tačka E(E ′ , OE 0 ) kojajoj ne pripada. Konstruisati projekciju pravilnog oktaedra ABCDEF ,čije je teme data tačka E, dijagonalni presek ABCD pripada ravni τ , aivica AB gradi ugao od π 6sa ravni slike.3. Metodom odstojanja data je prava s(S, R ′ , OR 0 ) i tačka A(A ′ , OA 0 ) kojajoj ne pripada. Konstruisati projekciju valjka kome je osa prava s, tačka Apripada kružnici jedne osnove, a visina valjka je jednaka prečniku osnove.Odrediti zatim presek valjka i ravni β koja je paralelelna ravni slike, avisinu valjka deli u odnosu 1 : 3.4. Metodom odstojanja data je prava p(P, A ′ , OA 0 ). Konstruisati projekcijutetraedra ABCD čija ivica AB pripada datoj pravoj p i podudarna jedatoj duži d, a pljosan ABC tetraedra gradi ugao od π 3sa ravni slike.Konstruisati zatim prodor prave a i tetraedra, ako prava a sadrži središtetetraedra i paralelna je ivici BD.5. Date su mimoilazne prave p(P, A ′ , OA 0 ) i q(Q ′ , B, OB 0 ). Odrediti zajedničkunormalu n i rastojanje izmedju pravih p i q.6. a) Da je ravan τ(t, S ′ OS 0 ). Konstruisati projekciju prave četvorostranepiramide ABCDV , čija je osnova ABCD paralelogram sa središtem S kojipripada ravni τ, a visina je jednaka datoj duži d. b) Konstruisati presekpiramide i ravni α koja sadrži pravu t i središte visine piramide.Uputstvo: Kako osnova, tj. paralelogram ničim nije zadat,mozete krenuti od proizvoljnog paralelograma A ′ B ′ C ′ D ′ sasredištem S ′ . Dakle, obaranje ravni τ nije neophodno.7. Data je tačka A(A ′ , OA 0 ) i prava p(P, N ′ , ON 0 ) koja ne sadrži tačku A.Konstruisati projekciju pravilnog oktadera ABCDEF ako je teme A datatačka, a ivica BC pripada pravoj p.4

8. Data je ravan τ(t, M ′ , OM 0 ) i tačka S(S ′ , OS 0 ) van ravni τ. Predstavitinormalnu projekciju pravog valjka ako je tačka S središte osnove, τ tangentnaravan valjka i izvodnice valjka grade ugao od π 6sa ravni slike π.Visina valjka je jednaka 3r, gde je r poluprečnik osnove.9. (novembar 2005.) Metodom odstojanja normalnog projektovanja data jetačka A(A ′ , OA 0 ) i ravan τ(t, M ′ , OM 0 ). Konstruisati projekciju kockeABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ako je teme A data tačka, dijagonalni presek BDD 1 B 1pripada ravni τ, a prava BD sadrži M.10. Data je tačka A(A ′ , OA 0 ) i ravan τ(t, M ′ , OM 0 ). Konstruisati projekcijutetraedra ABCD kome je teme A data tačka, pljosan BCD pripada ravniτ, a ivica BC zaklapa ugao od π 6sa ravni π.11. Data je tačka S(S ′ , OS 0 ) i prava p(P, A ′ , OA 0 ). Konstruisati projekcijuprave kupe kojoj je središte osnove tačka S, jedna izvodnica kupe pripadapravoj p, a ugao izmedju visine kupe i izvodnice jednak π 6 . Konstruisatizatim prodorne tačke prave r koja sadrži središte visine kupe i tačku P ikupe.5

3 Metoda tragova i nedogleda centralnog projektovanja3.1 Osnovni zadaci1. Date su tačka M na nosiocu p(P, P c ∞) i tačka N na nosiocu q(Q, Q c ∞).Konstruisati trag i nedogled prave l = MN.2. Date su ravni α(a, a c ∞) i β(b, b c ∞). Konstruisati trag i nedogled pravep = α ∩ β ako važi:i) a ∩ b = {P } ii) a ‖ b.3. Odrediti projekciju prodora prave p(P, P c ∞) kroz ravan α(a, a c ∞).4. Data je prava m(M, M c ∞) i tačka T na nosiocu q(Q, Q c ∞). Konstuisatitrag i nedogled ravni koja sadrži tačku T i pravu m.5. Data je tačka B na nosiocu q(Q, Q c ∞) i ravan α(a, a c ∞). Konstruisati projekcijuprave p = α ∩ β, ako ravan β sadrži tačku B i paralelna je projekcijskojravni π.6. Data je ravan α(a, a c ∞) i tačka B koja joj pripada svojom projekcijom B c .Konstruisati trag i nedogled prave q koja pripada ravni α, sadrži tačku A,a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 4 .7. Data je prava p(P, P c ∞). Konstruisati trag i nedoglednicu ravni α kojasadrži pravu p, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 6 .8. Data je ravan α(a, a c ∞) i tačka M na nosiocu p(P, P c ∞). Konstruisati tragi nedogled ravni β koja sadrži tačku M i paralelna je sa α.9. Data je tačka A na nosiocu p(P, P c ∞) i ravan τ(t, t c ∞). Konstruisati trag inedogled prave n koja sadrži A i upravna je na ravan τ.10. Data je tačka A na nosiocu p(P, P c ∞) i prava n(N, N c ∞). Konstuisati tragi nedoglednicu ravni τ koja sadrži A i upravna je na pravu n.11. Konstruisati trag i nedoglednicu ravni α koja sadrži datu pravu a(A, A c ∞)i normalna je na datu ravan τ(t, t c ∞).12. Data je ravan α(a, a c ∞) i u njoj tačka A. Konstruisati centralnu projekcijukvadrata ABCD koji pripada ravni α, ivica mu je podudarna datoj dužid, a ivica AB gradi ugao od π 6sa ravni π.13. Data je tačka S u ravni α(a, a c ∞). Odrediti centralnu projekciju krugakoji pripada ravni α, centar mu je data tačka S, a poluprečnik kruga jepodudaran datoj duži d.14. Date su tačke M i N na pravoj p(P, P c ∞). Odrediti rastojanje tačaka M iN.6

15. Date su ravni α(a, a c ∞) i β(b, b c ∞) koje se seku. Odrediti ugao izmedjuravni α i β.16. Date su prava m(M, M c ∞) i tačka S na nosiocu p(P, P c ∞). Odrediti trag inedogled ravni α koja sadrži pravu m, a od tačke S je udaljena za datorastojanje d.17. Date su tri paralelne prave a(A, A c ∞), b(B) i c(C). Konstruisati trag inedogled prave s jednako udaljenu od ovih pravih.3.2 Složeniji zadaciNapomena: Rešenja (DWF fajlovi) prva četiri zadatka možete naći na adresihttp://alas.matf.bg.ac.yu/ vsrdjan/files/nacrtna.htm1. Metodom tragova i nedogleda centralnog projektovanja date su dve mimoilazneprave p(P, P c ∞) i q(Q, Q c ∞). Konstruisati projekciju njihove zajedničkenormale i odrediti rastojanje izmedju pravih p i q.2. Metodom tragova i nedogleda centralnog projektovanja date su dve paralelneravni α(a, a c ∞) i β(b) i tačka A koja pripada ravni α. Konstruisatiprojekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 čije osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 pripadajuredom ravnima α i β, teme A je data tačka, a ivica AB gradi ugaood π 6sa ravni slike.3. Metodom tragova i nedogleda centralnog projektovanja data je tačka Vna nosiocu q(Q, Q c ∞) i prava t(T, T c ∞). Predstaviti projekciju prave kupečiji je vrh data tačka V , prava t je tangenta osnove, a ravan osnove gradisa ravni slike ugao od π 3 .4. Metodom tragova i nedogleda centralnog projektovanja date su tačke S 1 nanosiocu p(P, P c ∞) i S 2 na nosiocu q(Q, Q c ∞). Predstaviti projekciju pravogkružnog valjka kome su tačke S 1 i S 2 središta osnova, a prečnik osnove jejednak visini valjka.5. Date su tačka M na nosiocu p(P, P∞) c i tačka N na nosiocu q(Q, Q c ∞).Odrediti projekciju tetraedra ABCD takvog da je tačka M središte dužiAB, tačka N središte duži CD, a ivica CD gradi ugao od π 6sa projekcijskomravni π.6. Data je ravan τ(t, t c ∞) koja gradi ugao od π 3sa projekcijskom ravni itačka A 1 na nosiocu p(P, P∞), c A 1 ∉ τ. Konstruisati projekciju kockeABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kojoj osnova ABCD pripada ravni τ, ivica AB je paralelnaprojekcijskoj ravni, a teme A 1 je data tačka.7. (decembar 2005.) Metodom tragova i nedogleda data je ravan α(a, a C ∞)koja gradi ugao od 60 o sa projekcijskom ravni π. Konstruisati projekcijuprave kupe čija osnova pripada ravni α i dodiruje ravan π, prečnik osnovejednak je poluprečniku kruga odstojanja i vrh V pripada ravni π.7

8. Date su paralelne ravni α(a, a c ∞) i β(b). Odrediti projekciju valjka čijeosnove pripadaju ravnima α i β, jedan krug osnove dodiruje projekcijskuravan π, a prečnik osnove je jednak visini valjka.9. Date je metodom tragova i nedogleda duž AB na pravoj p(P, P c ∞) kojazaklapa ugao od 60 stepeni sa projekcijskom ravni π. Konstruisati projekcijupravilnog oktaedra ABCDEF čija je jedna dijagonala da ta dužAB, a dijagonala CE je paralelna projekcijskoj ravni π.8