Tablice matematyczne

• Procent składanyJeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokatwynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy Knwyraża się wzorem:npKn= K⋅ ⎛ ⎜1+⎞⎟⎝ 100 ⎠• Granica ciąguJeżeli lim a n= g oraz lim b n= h, ton→∞n→∞( a + b ) = g+ h( a − b ) = g− h( )lim n nn→∞lim n nn→∞Jeżeli ponadto bn≠ 0 dla n ≥ 1 oraz h ≠ 0 , toa glim n =n→∞b hn_____* _____lim a n⋅ b n= g⋅hJeżeli ( an ), n ≥ 1, jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q < 1, to ciąg sumjego początkowych wyrazów S = a1+ a2 + ... + a ma granicę:lim Sn→∞na1=1 − qnnn→∞7. FUNKCJA KWADRATOWAPostać ogólna funkcji kwadratowej: ( )2f x = ax + bx + c , a ≠ 0 .Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:⎛ b ⎞ ∆f ( x)= a⋅ ⎜x+ ⎟ − , gdzie⎝ 2a⎠4apomocnej przy sporządzaniu wykresu.22∆= b −Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych⎛ b ∆ ⎞⎜−, − ⎟. Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy 0⎝ 2a4a⎠ a < .Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków równania2ax + bx + c = 02zależy od wyróżnika ∆= b − 4ac:− jeżeli ∆< 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie kwadratowe niema pierwiastków rzeczywistych),− jeżeli ∆= 0 , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie kwadratowe majeden podwójny pierwiastek):bx1 = x2=−2a− jeżeli ∆> 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (równanie kwadratowe madwa pierwiastki):−b− ∆− b + ∆x1= x2=2a2a4ac4

Jeśli ∆≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:f x = a x−x x−x( ) ( )( )1 2Wzory Viéte’a:−bcx1+ x2 = x1⋅ x2=aa8. LOGARYTMYNiech a > 0 i a ≠ 1. Logarytmem log ac liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnikb potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c:bb= logac⇔ a = cRównoważnie:log a ca = cDla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:rxloga( x⋅ y)= logax+ logay logax = r⋅ logax loga logax logayy = −Wzór na zamianę podstawy logarytmu:jeżeli a > 0 , a ≠ 1, b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , tologaclogbc =log ba9. POCHODNA FUNKCJI⎡c f ( x) ′⎣ ⋅ ⎤⎦ = c⋅f′( x)dla c∈R⎡f x g x′⎣ ⎦ f′ x g′x( ) + ( ) ⎤ = ( ) + ( )⎡f x g x′⎣ ⎦ f′ x g′x( ) − ( ) ⎤ = ( ) − ( )⎡f x g x′⎣ ⎦ f′ x g x f x g′x( ) ⋅ ( ) ⎤ = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )⎡ f ( x)⎤′f′ ( x) ⋅g( x) − f ( x) ⋅g′( x)⎢ ⎥ = , gdy g2( x)≠0⎣g( x)⎦ ⎡⎣g( x)⎤⎦Pochodne niektórych funkcji:f x = c ⇒ f′x =( ) ( ) 0( ) = + ⇒ ′( ) =( )2′( )f x ax b f x af x = ax + bx + c ⇒ f x = 2ax + ba−af ( x) = ⇒ f′( x) =2xxrrf x = x ⇒ f′x = rx −( ) ( )1gdzie r ≠ 0 , zaś a, b, c – dowolne liczby rzeczywiste.5

• Równanie stycznejJeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0, to równanie stycznej do wykresu funkcji fw punkcie ( 0,( 0))y− f ( x ) = f′( x ) ⋅( x−x )x f x dane jest wzorem:0 0 010. GEOMETRIA ANALITYCZNA• OdcinekDługość odcinka o końcach w punktachA x , y B= x , y dana jest wzorem:= ( ), ( )AABB( ) ( )2 2AB = x − x + y − yB A B Ay( , )B x y=B BWspółrzędne środka odcinka AB:⎛ xA+ xB yA+yB⎞⎜ , ⎟⎝ 2 2 ⎠• Wektory$$$%Współrzędne$$$%wektora AB , który przesuwa punkt A na punkt B:AB = [ xB −xA,yB − yA]% %Jeżeli u = [ u1,u2], v=[ v1,v2]są wektorami, zaś a jest liczbą, to% %%u+ v= u + v , u + vau ⋅ = au ⋅ , au ⋅• Prosta[ ]1 1 2 2Równanie ogólne prostej:Ax + By + C = 0 ,gdzieA2 2[ ]1 2+ B ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0).O( , )A x y=A AxJeżeli A = 0 , prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , prosta jest równoległa do osi Oy;jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma onarównanie kierunkowe:y = ax+bLiczba a to współczynnik kierunkowy prostej:a = tgαWspółczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którymdana prosta ją przecina.Równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkty A= ( xA,yA), B ( xB,yB)( y− y )( x −x ) −( y − y )( x− x ) = 0A B A B A AαbOy= :y = ax+bx6

• Prosta i punktOdległość punktu P ( x , y )=0 0od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 dana jest wzorem:Ax0 + By0+ C2 2A + B• Para prostychDwie proste, o równaniach kierunkowychy = a1x+ b1y = a2x+b2spełniają jeden z następujących warunków:− są równoległe, gdy a1 = a2,− są prostopadłe, gdy aa1 2=− 1,&− tworzą kąt ϕ taki, że: 0 < ϕ < 90&a − a= . +1 2i tgϕ1 aa1 2Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej:Ax1+ By1+ C1 = 0 Ax2+ By2+ C2 = 0to odpowiednio:− są równoległe, gdy AB1 2− AB2 1= 0,− są prostopadłe, gdy AA1 2+ BB1 2= 0 ,&− tworzą kąt ϕ taki, że: 0 < ϕ < 90&ABAA− AB+ BB1 2 2 1i tgϕ =1 2 1 2.• TrójkątPole trójkąta ABC o wierzchołkach A= ( x , y ), B= ( x , y ), C ( x , y )AABB= , dane jestwzorem:1P∆ ABC= ( xB −xA )( yC − yA ) −( yB − yA )( xC − xA)2Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:⎛ xA+ xB + xC yA+ yB + yC⎞⎜,⎟⎝ 3 3 ⎠CC• Przekształcenia geometryczne%u = a,b− przesunięcie o wektor [ ]− symetria względem osi Oy przekształca punkt ( , )− symetria względem punktu ( , )przekształca punkt ( xy , ) na punkt ( x a,y b)+ + ;xy na punkt ( − xy , );ab przekształca punkt ( xy , ) na punkt ( 2 a−x,2b− y);s ≠ przekształca punkt ( xy , )− jednokładność o środku w punkcie ( 0,0 ) i skali 0na punkt ( sx,sy ).7

• Równanie okręguRównanie okręgu o środku w punkcie ( ab , ) i promieniu r:lub( ) ( )2 2 2x− a + y− b = r+ −2 − 2 + = 0 gdzie2 2x y ax by c2 2 2r a b c= + − > 011. PLANIMETRIA• OznaczeniaAα• Wzory na pole trójkąta1 1 1P∆ = ⋅a⋅ h = ⋅b⋅ h = ⋅c⋅h2 2 2ABC a b ca, b, c – długości boków, leżących odpowiednionaprzeciwko wierzchołków A, B, C;2 p = a+ b+ c – obwód trójkąta;α , β , γ – miary kątów przywierzchołkach A, B, C;ha, hb, hc– wysokości, opuszczonez wierzchołków A, B, C;R, r – promienie okręgów opisanegoi wpisanego.1 1 2 sinβ⋅sinγ2P∆ABC= a⋅b⋅ sinγ = a = 2R⋅sinα⋅sin β⋅sinγ2 2 sinαabcP∆ ABC= = rp = p p−a p−b p−c4R• Twierdzenie sinusówa b c= = = 2Rsinα sin β sinγ• Twierdzenie cosinusówbcCγ( )( )( )2 2 2a = b + c − 2bccosα2 2 2b = a + c − 2accosβ2 cos2 2 2c = a + b − ab γ• Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdyaβB2 2 2a + b = c .8

• Związki miarowe w trójkącie prostokątnymAαbcγh c.CDZałóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:2hc= AD ⋅ DBabhc=ca = c⋅ sinα= c⋅cos βa = b⋅ tgα= b⋅ctgβ1R=c2• Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)aβBABCProste AA′ , BB′ , CC′ są parami równoległewtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:AB BC=AB ′ ′ BC ′ ′′ A′ B ′ C• CzworokątyADbaEChBTrapezCzworokąt, który ma co najmniej jedną paręboków równoległych.Wzór na pole trapezu:a+bP= ⋅ h2AαDhaϕBbCRównoległobokCzworokąt, który ma dwie pary bokówrównoległych.Wzory na pole równoległoboku:1P= ah= a⋅b⋅ sinα= ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sinϕ2AαDhaBCRombCzworokąt, który ma dwie pary bokówrównoległych jednakowej długości.Wzory na pole rombu:P = ah = a ⋅ sinα= ⋅ AC ⋅ BD22 19

ADBCDeltoidCzworokąt, który ma oś symetrii, zawierającąjedną z przekątnych.Wzór na pole deltoidu:1P= ⋅ AC ⋅ BD2• KołoOrWzór na pole koła o promieniu r:2P=π rObwód koła o promieniu r:Ob = 2πr• Wycinek kołaOrαABWzór na pole wycinka koła o promieniu ri kącie środkowym α & :&2 αP= π r ⋅&360Długość łuku wycinka koła o promieniu ri kącie środkowym α & :&αl = 2πr⋅&360• Kąty w okręguααAO2ααBMiara kąta wpisanego w okrąg jest równapołowie miary kąta środkowego, opartego natym samym łuku.Miary kątów wpisanych w okrąg, opartychna tych samych łukach, są równe.10

• Okrąg opisany na czworokącieCγβBNa czworokącie można opisać okrąg wtedyi tylko wtedy, gdy sumy miar jegoprzeciwległych kątów wewnętrznychsą równe 180°:Dδα + γ = β + δ = 180&• Okrąg wpisany w czworokątαADdAcrCabBW czworokąt wypukły można wpisać okrągwtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jegoprzeciwległych boków są równe:a+ c= b+d12. STEREOMETRIA• OznaczeniaP – pole powierzchni całkowitejP – pole powierzchni podstawypPb– pole powierzchni bocznejV – objętość• ProstopadłościanHGEADaFBbcCP= 2( ab+ bc+ac )V = abcgdzie a, b, c są długościami krawędziprostopadłościanu.11

• Graniastosłup prostyFJEDIGHhCPb= 2 p⋅hV = Pp⋅ hgdzie 2 p jest obwodem podstawygraniastosłupa.AB• OstrosłupSEhDC1V = P ⋅ h3 pgdzie h jest wysokością ostrosłupa.AB• WalecOrhPb= 2πrh( )P= 2πr r+h2V = π r hgdzie r jest promieniem podstawy,h wysokością walca.12

• StożekOShrlPb= π rl( )P= π r r+l1 2V = π r h3gdzie r jest promieniem podstawy,h – wysokością, l –długością tworzącejstożka.• KulaOr2P= 4πr4 3V = π r3gdzie r jest promieniem kuli.13. TRYGONOMETRIA• Definicje funkcji trygonometrycznychyrM=(x, y)yysinα=rcosα=ytgα= x( x ≠ 0)xctgα= y( y ≠ 0 )xrOαxM’xgdzie2 2r = x + y• Wykresy funkcji trygonometrycznychy = sin xy = cos x13

y = tgxy = ctgx• Związki między funkcjami tego samego kąta2 2sin α + cos α = 1sinαπtgα= dla α ≠ + kπk – całkowitecosα2cosαctgα= dla α ≠ kπk – całkowitesinα1ctgα= tgαdla kπα≠ k – całkowite2• Niektóre wartości funkcji trygonometrycznychπ6α 0( 0 & &) ( 30 )sinα 0cosα 1tgα 0ctgαnieistnieje123233π4&( 45 )22223 1π3&( 60 )32121 333π2&( 90 )10nieistnieje• Wzory redukcyjneϕ = −απ π 3π 3π α π −α π + α − α + α −α+ α 2π −α2 2 2 2sinϕ – sinα sinα sinα – sinα cosα cosα –cosα − cosα − sinαcosϕ cosα cosα − cosα − cosα sinα – sinα –sinα sinα cosαtgϕ – tgα tgα – tgα tgα ctgα – ctgα ctgα – ctgα − tgαctgϕ – ctgα ctgα – ctgα ctgα tgα – tgα tgα – tgα − ctgα014

• Funkcje sumy i różnicy kątówDla dowolnych kątów α , β zachodzą równości:( )( )( )( )sin α + β = sinαcos β + cosαsinβsin α − β = sinαcos β −cosαsinβcos α + β = cosαcos β −sinαsinβcos α − β = cosαcos β + sinαsinβPonadto mamy równości:tgαtgβtg ( α + β)= +1 − tgα⋅ tgβtgαtgβtg ( α − β)= −1 + tgα⋅ tgβctgα⋅ctgβ−1ctg ( α + β)=ctgα+ ctgβctgα⋅ ctgβ+ 1ctg ( α − β)=ctgβ− ctgαktóre zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.• Funkcje podwojonego kątasin 2α = 2sinαcosαcos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin2 2 2 2α = α − α = α − = − αPonadto, dla tych kątów, dla których prawe strony są określone, mamy równości:2tgαsin 2α=21 + tg α21−tg αcos 2α=21 + tg α2tgαtg2α=21 − tg α• Funkcje potrojonego kąta2 2 2( ) ( )2 2 2( ) ( )sin 3α = sinα 3cos α − sin α = sinα 3−4sinαcos3α = cosα cos α − 3sin α = cosα 4cos α −3• Sumy i różnice funkcji trygonometrycznychα + β α −βsinα+ sin β = 2sin cos2 2α − β α + βsinα− sin β = 2sin cos2 2α + β α −βcosα+ cos β = 2cos cos2 2α + β α −βcosα− cos β =− 2sin sin2 215

14. KOMBINATORYKA• PermutacjeLiczba sposobów, w jaki n ≥ 1 elementów można ustawić w ciąg, jest równa n !• Wariacje bez powtórzeńLiczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1≤k ≤ n)różnych wyrazów, jest równan!n⋅( n−1 ) ⋅... ⋅( n− k+ 1)=n−k !• Wariacje z powtórzeniami( )Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający sięz k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa n k .• KombinacjeLiczba sposobów, w jaki spośród n elementów można wybrać k (0≤k ≤ n) elementów,⎛n⎞jest równa ⎜ ⎟⎝k⎠ .15. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA• Klasyczna definicja prawdopodobieństwaNiech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajściekażdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwozajścia zdarzenia A ⊂Ω jest równeAP( A ) = Ωgdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω .• Własności prawdopodobieństwa( )P ( Ω ) = 10≤P A ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ΩΩ – zdarzenie pewneP ( ∅ ) = 0 ∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )P( A) ≤ P( B)gdy A⊂B⊂ΩP( A∪ B) = P( A) + P( B) −P( A∩ B), dla dowolnych zdarzeń AB⊂Ω, ,zatem P( A∪B) ≤ P( A) + P( B), dla dowolnych zdarzeń AB⊂Ω. ,• Zdarzenia niezależneZdarzenia A ⊂Ω i B ⊂Ω są niezależne, gdyP A∩ B = P A ⋅P B( ) ( ) ( )16

• Prawdopodobieństwo warunkoweNiech AB⊂Ω , będą zdarzeniami, przy czym P( B ) > 0 .Prawdopodobieństwem warunkowym P( A|B ) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszłozdarzenie B, nazywamy liczbę:( ∩ )P( A|B)= P A BP B( )• Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitymJeżeli zdarzenia B1, B2, ..., Bn⊂Ωspełniają warunki:1. B ∩ B =∅ dla 1 ≤i≤n, 1 ≤ j ≤n, i ≠ j,ij2. B1∪B2 ∪...∪ B =Ω,3. ( ) 0 dla 1P B > ≤i≤ninto dla każdego zdarzenia A ⊂Ω zachodzi równość:P A = P A| B ⋅ P B + P A| B ⋅ P B + ... + P A|B ⋅P B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )• Schemat Bernoulliego1 1 2 2Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliegowyraża się wzorem:⎛n⎞ k n−k⎜ ⎟ ⋅ p ⋅ q p+ q = 1⎝k⎠gdzie:p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,q – prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.16. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH• Średnia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna n liczb a1, a2,..., anjest równa:a1+ a2 + ... + ann• Średnia ważonaŚrednia ważona n liczb a1, a2,..., anktórym przypisano odpowiednio dodatnie wagiw1, w2,..., wnjest równa:w1⋅ a1+ w2⋅ a2+ ... + wn⋅anw + w + ... + w1 2• Średnia geometrycznanŚrednia geometryczna n nieujemnych liczb a1, a2,..., anjest równa:na ...1⋅a2 ⋅ ⋅ a nnn17

• Średnia harmonicznaŚrednia harmoniczna n dodatnich liczb a1, a2,..., anjest równa:n1 1 1+ + ... +a a a1 2• MediananMedianą uporządkowanego rosnąco ciągu n danych liczbowych a1 ≤a2 ≤a3 ≤... ≤ anjest:− dla n nieparzystych: an + 1(środkowy wyraz ciągu),21 ⎛ ⎞− dla n parzystych: ⎜an+ an⎟ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu).2+ 1⎝ 2 2 ⎠• Wariancja i odchylenie standardoweWariancją n danych liczbowych a1, a2,..., ano średniej arytmetycznej a jest liczba:( a − a) + ( a − a) + ( a − a) + + ( a −a)2 2 2 21 2 32...nσ =n2Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji: σ = σ .18

17. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCHα []&sinαcos βtgαctgββ []& α []&sinαcos βtgαctgβ0 0,0000 0,0000 90 46 0,7193 1,0355 441 0,0175 0,0175 89 47 0,7314 1,0724 432 0,0349 0,0349 88 48 0,7431 1,1106 423 0,0523 0,0524 87 49 0,7547 1,1504 414 0,0698 0,0699 86 50 0,7660 1,1918 405 0,0872 0,0875 85 51 0,7771 1,2349 396 0,1045 0,1051 84 52 0,7880 1,2799 387 0,1219 0,1228 83 53 0,7986 1,3270 378 0,1392 0,1405 82 54 0,8090 1,3764 369 0,1564 0,1584 81 55 0,8192 1,4281 3510 0,1736 0,1763 80 56 0,8290 1,4826 3411 0,1908 0,1944 79 57 0,8387 1,5399 3312 0,2079 0,2126 78 58 0,8480 1,6003 3213 0,2250 0,2309 77 59 0,8572 1,6643 3114 0,2419 0,2493 76 60 0,8660 1,7321 3015 0,2588 0,2679 75 61 0,8746 1,8040 2916 0,2756 0,2867 74 62 0,8829 1,8807 2817 0,2924 0,3057 73 63 0,8910 1,9626 2718 0,3090 0,3249 72 64 0,8988 2,0503 2619 0,3256 0,3443 71 65 0,9063 2,1445 2520 0,3420 0,3640 70 66 0,9135 2,2460 2421 0,3584 0,3839 69 67 0,9205 2,3559 2322 0,3746 0,4040 68 68 0,9272 2,4751 2223 0,3907 0,4245 67 69 0,9336 2,6051 2124 0,4067 0,4452 66 70 0,9397 2,7475 2025 0,4226 0,4663 65 71 0,9455 2,9042 1926 0,4384 0,4877 64 72 0,9511 3,0777 1827 0,4540 0,5095 63 73 0,9563 3,2709 1728 0,4695 0,5317 62 74 0,9613 3,4874 1629 0,4848 0,5543 61 75 0,9659 3,7321 1530 0,5000 0,5774 60 76 0,9703 4,0108 1431 0,5150 0,6009 59 77 0,9744 4,3315 1332 0,5299 0,6249 58 78 0,9781 4,7046 1233 0,5446 0,6494 57 79 0,9816 5,1446 1134 0,5592 0,6745 56 80 0,9848 5,6713 1035 0,5736 0,7002 55 81 0,9877 6,3138 936 0,5878 0,7265 54 82 0,9903 7,1154 837 0,6018 0,7536 53 83 0,9925 8,1443 738 0,6157 0,7813 52 84 0,9945 9,5144 639 0,6293 0,8098 51 85 0,9962 11,4301 540 0,6428 0,8391 50 86 0,9976 14,3007 441 0,6561 0,8693 49 87 0,9986 19,0811 342 0,6691 0,9004 48 88 0,9994 28,6363 243 0,6820 0,9325 47 89 0,9998 57,2900 144 0,6947 0,9657 46 90 1,0000 – 045 0,7071 1,0000 45β []&19