8 Д. В. Аносоввые многообразия гиперболических 2 положений равновесия и периодическихтраекторий, а также неподвижных и периодическихточек отображений. Были рассмотрены и неавтономные аналогиэтих объектов. Но, повидимому, до Н. Н. Боголюбова никто нерассматривал сразу целого семейства таких многообразий 3 . Конечно,у него это было сделано применительно к интересующейего задаче об инвариантном торе, причем не совсем явно, так чтостоит остановиться на этом чуть подробнее.В [1] фигурируют инвариантные многообразия различных типов.Во-первых, инвариантный тор (не обязательно двумерный);его построение и исследование свойств лежащих на нем траекторийявляется основной целью исследования. Во-вторых, устойчивоеи неустойчивое многообразия W s , W u этого тора. В-третьих,“сильно” устойчивые и “сильно” неустойчивые многообразия (вовсем фазовом пространстве) различных траекторий, лежащих наторе; “сила” здесь состоит в том, что скорость сближения илиразбегания траекторий на этом многообразии намного больше,чем скорость изменения расстояния между траекториями на торе.Изложение ведется в аналитическом стиле, вообще свойственномН. Н. Боголюбову, однако я опишу, как можно геометрическипонимать основные этапы построения тора. (Формально при этомя нарушу порядок изложения в [1]). Сперва строятся W s и W u , атор получается как их пересечение. (Здесь не исключается случайасимптотически устойчивого тора; в этом случае, в современныхтерминах, тор совпадает с W u ). Построение же W s и W u – это, посуществу, построение некоторых семейств многообразий, которыепозднее оказываются “сильно” устойчивыми и “сильно” неустойчивымимногообразиями траекторий, лежащих на торе; W s и W u2 Это слово употребляется здесь в том же общем смысле, как это сталообычным в теории гладких динамических систем (но как это отнюдь непрактиковалось в то время, когда впервые появились инвариантные многообразия)– гиперболичность включает экспоненциальную устойчивость какчастный случай.3 Задним числом можно сказать, что некоторое исключение представляютработы Г. А. Хедлунда и Э. Хопфа о геодезических потоках на многообразияхотрицательной кривизны (30-е гг.). Но в то время эти авторы исходилииз геометрической специфики своей задачи и, насколько мне известно, незадумывались над связью с локальной теорией дифференциальных уравнений.Так что эта линия развития, имея более старинное происхождение –об орициклах и орисферах знали создатели неевклидовой геометрии – долгооставалась в стороне от интересующей нас темы.
О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 9являются просто объединениями соответствующих семейств. Наконец,если бы речь шла не о семействах многообразий, а простоо “сильно” устойчивом (неустойчивом) многообразии для однойтраектории, то это был бы уже изученный к тому времени вопрослокальной теории 4 . Во избежание недоразумения повторяю, чтоформально в [1] все это изложено на другом языке и в ином порядке:вначале выписываются и исследуются интегральные уравнения,определяющие тор, а W s и W u появляются позднее. Ноэти интегральные уравнения распадаются на две группы, и однуиз них (после тривиальных изменений) можно интерпретироватькак определяющую W s , а другую – W u . Такая перефразировка,будучи по существу эквивалентной построению [1], является болеенаглядной.Н. Н. Боголюбов подчеркивал “прагматическое” значение инвариантныхмногообразий – они позволяют как бы разделить движенияразличных типов и тем самым снизить размерность задачи;кроме того, по сравнению с индивидуальными решениями инвариантноемногообразие “является образованием, более стабильнымпо отношению к малым изменениям правых частей уравнений”.Этим и вызвано обращение к инвариантным многообразиямв [1]. Позднее та же мысль была отчетливо высказана в докладеН. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского на Киевском международномсимпозиуме по нелинейным колебаниям в 1961 г. [3].(Оттуда и взята приведенная цитата. Словосочетания “разделениедвижений” там нет, но по существу говорится о нем). Под “инвариантнымимногообразиями” тогда понимались в первую очередь4 В доказательстве в [1] применяется метод, ранее использовавшийся в локальнойтеории О. Перроном (отчасти еще А. М. Ляпуновым). По-видимому,Н. Н. Боголюбов придумал его самостоятельно – у него нет упоминания, чтов иной (и более простой) ситуации нечто подобное уже встречалось, а ведьобычно он отмечал подобные случаи. Впрочем, ведь и И. Г. Петровский, которыйнесколькими годами ранее занимался локальной теорией, не знал, чточасть его результатов уже была получена тем же О. Перроном. Что же удивительного,что от внимания Н. Н. Боголюбова ускользнули работы, связьс которыми была не столь заметной. Одному человеку невозможно за всемуследить, а во время написания [1] Н. Н. Боголюбов был одинок в идейномотношении. (Что, кстати, относится и к И. Г. Петровскому на протяжениизначительной части его научной деятельности). Научного коллектива вокругнего тогда еще не сложилось; с другой стороны, если вначале Н. Н. Боголюбовработал вместе со своим учителем Н. М. Крыловым и кроме того тогдаеще бывали контакты с зарубежными коллегами, то [1] уже выходила за кругдеятельности Н. М. Крылова, а контакты прекратились.
- Page 1 and 2: Воспоминанияоб ака
- Page 4 and 5: 4 СодержаниеИ. Н. Ме
- Page 6 and 7: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 10 and 11: 10 Д. В. Аносовинвари
- Page 12 and 13: 12 Д. В. Аносовследую
- Page 14 and 15: 14 Д. В. Аносовконечн
- Page 16 and 17: 16 Д. В. Аносовкислым
- Page 18 and 19: 18 Д. В. Аносовдейств
- Page 20 and 21: 20 Д. В. АносовТочка,
- Page 23 and 24: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 25 and 26: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 27 and 28: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 29 and 30: Физический терминД
- Page 31 and 32: Воспоминания о Ник
- Page 33 and 34: Воспоминания о Ник
- Page 35 and 36: Воспоминания о Ник
- Page 37 and 38: Воспоминания о Ник
- Page 39 and 40: Воспоминания о Ник
- Page 41 and 42: Воспоминания о Ник
- Page 43 and 44: Воспоминания о Ник
- Page 45 and 46: Математик или есте
- Page 47 and 48: Математик или есте
- Page 49 and 50: Математик или есте
- Page 51 and 52: Математик или есте
- Page 53 and 54: Проблемы квантовой
- Page 55 and 56: Проблемы квантовой
- Page 57 and 58: Проблемы квантовой
- Page 59 and 60:
Проблемы квантовой
- Page 61 and 62:
Проблемы квантовой
- Page 63 and 64:
Проблемы квантовой
- Page 65 and 66:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 67 and 68:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 69 and 70:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 71 and 72:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 73 and 74:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 75 and 76:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 77 and 78:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 79 and 80:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 81 and 82:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 83 and 84:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 85 and 86:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 87 and 88:
Отдельные эпизоды
- Page 89 and 90:
Воспоминания о Н. Н.
- Page 91 and 92:
Слово об УчителеВ.
- Page 93 and 94:
Перевернутый маятн
- Page 95 and 96:
Перевернутый маятн
- Page 97 and 98:
Н. Н. Боголюбов и ра
- Page 99 and 100:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 101 and 102:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 103 and 104:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 105 and 106:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 107 and 108:
Несколько коротких
- Page 109 and 110:
Учитель 109к решению
- Page 111 and 112:
Страницы памятиА. Н
- Page 113 and 114:
Страницы памяти 113и
- Page 115 and 116:
Страницы памяти 115.
- Page 117 and 118:
Воспоминания дипло
- Page 119 and 120:
Воспоминания дипло
- Page 121 and 122:
Воспоминания дипло
- Page 123 and 124:
Воспоминания дипло
- Page 125 and 126:
Воспоминания дипло
- Page 127 and 128:
По следам доклада в
- Page 129 and 130:
По следам доклада в
- Page 131 and 132:
По следам доклада в
- Page 133 and 134:
По следам доклада в
- Page 135 and 136:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 137 and 138:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 139 and 140:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 141 and 142:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 143 and 144:
Вспоминая о Никола
- Page 145 and 146:
Вспоминая о Никола
- Page 147 and 148:
Вспоминая о Никола
- Page 149 and 150:
Вспоминая о Никола
- Page 151 and 152:
Вспоминая о Никола
- Page 154 and 155:
154 Д. В. Ширков3. Бого
- Page 156 and 157:
156 Д. В. ШирковОсень
- Page 158 and 159:
158 Д. В. Ширковлить о
- Page 160 and 161:
160 Д. В. Ширковделяю
- Page 162 and 163:
162 Д. В. Ширковв 1933 г
- Page 164 and 165:
164 Д. В. Ширков(см. та
- Page 166 and 167:
166 Д. В. ШирковРечь и
- Page 168 and 169:
168 Д. В. Ширковлении,
- Page 170 and 171:
170 Д. В. Ширковсверх
- Page 172 and 173:
172 Д. В. Ширков2. Учит
- Page 174 and 175:
174 Д. В. Ширковром эп
- Page 176 and 177:
Сведения об автора
- Page 178:
Воспоминания об ак