Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове - Математический ...

24 Д. В. Аносовпри сдвиге цепочки. Сдвигами можно любую частицу перегнатьна нулевое место, так что все определяется некоторой функциейf(a), выражающей вклад нулевой частицы (он, вообще говоря,зависит от всей последовательности a = {a i }, а не толькоот a 0 ). При достаточно естественных предположениях об f намеченнаявыше программа построения предельного гиббсовскогораспределения реализуется (см., например, начало [19]; в данномслучае, в отличие от более реалистических моделей, не возникаетсколько-либо серьезных трудностей). Полученная мера µ в Ω kоказывается трансляционно инвариантной, т.е. µ ◦ σ = µ. (Сдвигцепочки ничего не меняет). Посмотрим теперь на все это с инойточки зрения. Итерации σ (и σ −1 ) образуют некоторую динамическуюсистему в Ω k , и мы построили для нее обширное семействоинвариантных мер, зависящих (как от параметра конструкции)от функции f : Ω k → R. (Рассматриваемые с этой точки зрения,эти меры по-прежнему называются гиббсовскими). Суть здесь нев том, что мы построили много инвариантных мер – из других соображенийизвестно, что класс всех инвариантных мер в данномслучае огромен и далеко не исчерпывается гиббсовскими мерами.Суть в том, что гиббсовские меры, заведомо очень важные длястатфизики, представляют значительный интерес также и для эргодическойтеории (априори это не очевидно). Их свойства удаетсяизучить весьма полно и они оказываются интересными; крометого, многие меры, представляющие интерес совершенно независимоот соображений “гиббсовского” типа, оказываются гиббсовскимимерами. Так что построение гиббсовских мер (или, можетбыть, лучше сказать: выделение гиббсовских мер среди всех инвариантныхмер) – это своего рода подарок теории динамическихсистем от статистической физики.В данном случае один и тот же объект является и динамическойсистемой, и системой статфизики. Это, конечно, редкое совпадение.Я. Г. Синай модифицировал построение гиббсовских мердля динамических систем таким образом, что необходимость в такомсовпадении отпала. Неизвестно, какими свойствами обладаютэти меры для произвольных динамических систем, но для системс гиперболическим поведением траекторий их значение примернотаково же, как и в предыдущем примере. Сам Я. Г. Синайрассмотрел гиббсовские меры для систем Аносова [20], Р. Боуэн –для локально максимальных (“базисных”) гиперболических мно-