Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове - Математический ...

О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 21можно реализовать и в чисто метрическом контексте; будучи болееобщей 17 , такая реализация оказывается и более слабой).Насколько известно, доказательства 2), в отличие от 1), неподвергались столь же значительному пересмотру с иных позиций;возможность обобщения тоже не анализировалась столь жеполно.При переходе от “классического” времени к “неклассическому”(будем в связи с этим писать {ϕ g } вместо {ϕ t }) понятие эргодичностирасщепляется на два. По традиции будем сейчас использоватьслова “метрическая неразложимость меры µ” вместо “эргодичностиµ”. Как и обычно, речь идет о том, что если измеримоемножество A инвариантно относительно {ϕ g }, то либо µ(A) = 0,либо µ(E \ A) = 0. Варианты связаны с тем, что инвариантностьA здесь можно понимать либо буквально (A = ϕ g (A) при всех g),либо как “инвариантность по модулю множеств меры 0”: при любыхg мера симметрической разности µ(A △ ϕ g (A)) = 0. Второйвариант инвариантности слабее, а потому второй вариант метрическойнеразложимости формально сильнее. Он эквивалентентому, что µ является крайней точкой выпуклого компакта инвариантныхмер. В классической ситуации (действие Z или R)оба варианта метрической неразложимости совпадают; более того,они совпадают, если группа преобразований – локально компактнаясо счетной базой. (Мера при этом может быть и не конечной,а σ-конечной). Однако в общем случае они могут не совпадать.В [11] приведен соответствующий пример, принадлежащийА. Н. Колмогорову. Особенностью этого примера является то, чтов нем имеется много инвариантных мер, но нет разбиения фазовогопространства на эргодические множества. При каких условияхна группу (или, может быть, на действие) все-таки остается в силерезультат Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова о разбиении наэргодические компоненты, мне неизвестно.Выше речь шла об обобщениях, связанных с переходом от“классического” времени к “неклассическому”. Фазовое пространствооставалось компактом (большей частью метризуемым). Другоенаправление связано с некомпактными фазовыми простран-17 Впрочем, основной метрический результат такого рода можно получитькак следствие результатов [6]–[8], поскольку сравнительно несложно доказать,что при соответствующих условиях измеримая динамическая системаизоморфна некоторой топологической системе в метрическом компакте.См. [16].