Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове - Математический ...

О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 19ствование левоинвариантного среднего на UCB r (G) – одно из эквивалентныхопределений аменабельности (эквивалентность болееобычному условию существования левоинвариантного среднегона L ∞ (G) или CB(G) не является самоочевидным фактом,но доказана в [14]).Что касается б), то геометрия выпуклых множеств такжепозволяет получить этот результат иначе, чем в [6]–[8]. Ужев [12], [13] отмечено, что эргодические меры – это просто крайниеточки выпуклого компакта инвариантных мер. (Для более общихгрупп преобразований здесь возникает некоторая тонкость, связаннаяс тем, что различные варианты понятия эргодичности,совпадающие в случае “классического времени” (пробегающего Rили Z), могут не совпадать в случае более общих групп преобразований;см. далее. Отождествление эргодических мер с крайнимиточками отвечает одному из этих вариантов). С этой точки зренияб) оказывается частным случаем доказанной позднее теоремыМ. Г. Крейна – Д. П. Мильмана о крайних точках 13 . О свойствахгруппы преобразований при этом вообще не приходится говорить(повторяю – не приходится говорить после того, как эргодическиемеры отождествлены с крайними точками выпуклого компактаинвариантных мер), а доказательство б) отсоединяется от второйгруппы результатов. (С другой стороны, связь с ними представляетинтерес и сама по себе.)Собственно, в [6]–[8] имеется несколько более сильное утверждение,чем б). Оказывается, инвариантная мера может бытьпредставлена в виде некоторого интеграла от эргодических мер.При подходе с позиций геометрии выпуклых множеств здесь нужнауже не теорема М. Г. Крейна – Д. П. Мильмана, а теоремаГ. Шоке – Э. Бишопа – К. де Лю. Информацию об этом см. в [15],гл. 10.3. Вторая группа результатов [6]–[8] связана со следующиминовыми понятиями. Для эргодической инвариантной меры µопределяется ее эргодическое множество как множество точекx ∈ E, для которыхв) При любых f ∈ C(E) фигурирующее в (1) временн´ое среднеестремится при T → ∞ к ∫ E f dµ;г) µ(U) > 0 для любой окрестности U точки x.13 В [12], [13] используется некая более ранняя теорема Прайса, а чтобы“подогнать” рассматриваемую ситуацию под эту теорему, проводится небольшоедополнительное построение.