18 Д. В. Аносовдействия аменабельной группы на выпуклом компакте в локальновыпуклом линейном топологическом пространстве).Приведу вкратце в модернизированном виде рассужденияН. Н. Боголюбова и упомянутое выше доказательство необходимостиаменабельности. Ограничимся вначале случаем дискретнойG. Ниже B(G) – пространство ограниченных функций на Gс нормой ∥F ∥ = sup |F (x)|. Заметим, что G действует на B(G)посредством отображения (g, F ) ↦→ g F , где g F (h) = F (g −1 h).Если же G действует на компакте E посредством гомеоморфизмов{ϕ g }, то G действует на C(E) посредством отображенияx).(i). Пусть аменабельная G действует на компакте E. Чтобыпостроить инвариантную меру на E, достаточно построить такоеэквивариантное (относительно указанных действий G в C(E) иB(G)) линейное отображение Φ: C(E) → B(G), которое переводит1 в 1 и f 0 в Φf 0. Действительно, тогда можно определитьфункционал µ на C(E), которому отвечает инвариантнаямера, как µ(f) = I(Φf), где I – левоинвариантное среднее на G(т.е. в B(G)). Чтобы построить Φ, возьмем какую-нибудь (нормированную)меру m на E (например, сосредоточенную в точке) иположим (Φf)(g) = ∫ f(ϕ g x) dm(x).(ii). Наоборот, пусть известно, что при любом действии G налюбом компакте E имеется инвариантная мера. Чтобы построитьлевоинвариантное среднее I на G, достаточно построить такойкомпакт E, такое действие G на E и такое эквивариантноеотображение Ψ: B(G) → C(E), что Ψ1 = 1 и ΨF 0 при F 0.Действительно, тогда можно положить I(F ) = ∫ (ΨF )(x) dµ(x),где µ – какая-нибудь инвариантная мера. В качестве E возьмеммножество всех положительных нормированных линейных функционаловна B(G), снабженное ∗-слабой топологией. Если x ∈ E,то определим функционал ϕ g x как (ϕ g x)(F ) = x( g −1F ). Наконец,положим (ΨF )(x) = x(F ).В общем случае локально компактной G вместо B(G) используетсяпространство UCB r (G) право-равномерно непрерывныхограниченных функций. (Право-равномерная непрерывностьфункции F означает, что для любого ε > 0 имеется такая окрестностьU(ε) единицы группы, что |F (g) − F (hg)| < ε при всехg ∈ G, H ∈ U(ε)). Это существенно для (ii) (тогда как в (i) можноиспользовать и более широкое пространство – L ∞ (G) или пространствоCB(G) ограниченных непрерывных функций). Суще-(g, f) ↦→ g f, где g f(x) = f(ϕ −1g
О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 19ствование левоинвариантного среднего на UCB r (G) – одно из эквивалентныхопределений аменабельности (эквивалентность болееобычному условию существования левоинвариантного среднегона L ∞ (G) или CB(G) не является самоочевидным фактом,но доказана в [14]).Что касается б), то геометрия выпуклых множеств такжепозволяет получить этот результат иначе, чем в [6]–[8]. Ужев [12], [13] отмечено, что эргодические меры – это просто крайниеточки выпуклого компакта инвариантных мер. (Для более общихгрупп преобразований здесь возникает некоторая тонкость, связаннаяс тем, что различные варианты понятия эргодичности,совпадающие в случае “классического времени” (пробегающего Rили Z), могут не совпадать в случае более общих групп преобразований;см. далее. Отождествление эргодических мер с крайнимиточками отвечает одному из этих вариантов). С этой точки зренияб) оказывается частным случаем доказанной позднее теоремыМ. Г. Крейна – Д. П. Мильмана о крайних точках 13 . О свойствахгруппы преобразований при этом вообще не приходится говорить(повторяю – не приходится говорить после того, как эргодическиемеры отождествлены с крайними точками выпуклого компактаинвариантных мер), а доказательство б) отсоединяется от второйгруппы результатов. (С другой стороны, связь с ними представляетинтерес и сама по себе.)Собственно, в [6]–[8] имеется несколько более сильное утверждение,чем б). Оказывается, инвариантная мера может бытьпредставлена в виде некоторого интеграла от эргодических мер.При подходе с позиций геометрии выпуклых множеств здесь нужнауже не теорема М. Г. Крейна – Д. П. Мильмана, а теоремаГ. Шоке – Э. Бишопа – К. де Лю. Информацию об этом см. в [15],гл. 10.3. Вторая группа результатов [6]–[8] связана со следующиминовыми понятиями. Для эргодической инвариантной меры µопределяется ее эргодическое множество как множество точекx ∈ E, для которыхв) При любых f ∈ C(E) фигурирующее в (1) временн´ое среднеестремится при T → ∞ к ∫ E f dµ;г) µ(U) > 0 для любой окрестности U точки x.13 В [12], [13] используется некая более ранняя теорема Прайса, а чтобы“подогнать” рассматриваемую ситуацию под эту теорему, проводится небольшоедополнительное построение.
- Page 1 and 2: Воспоминанияоб ака
- Page 4 and 5: 4 СодержаниеИ. Н. Ме
- Page 6 and 7: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 8 and 9: 8 Д. В. Аносоввые мно
- Page 10 and 11: 10 Д. В. Аносовинвари
- Page 12 and 13: 12 Д. В. Аносовследую
- Page 14 and 15: 14 Д. В. Аносовконечн
- Page 16 and 17: 16 Д. В. Аносовкислым
- Page 20 and 21: 20 Д. В. АносовТочка,
- Page 23 and 24: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 25 and 26: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 27 and 28: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 29 and 30: Физический терминД
- Page 31 and 32: Воспоминания о Ник
- Page 33 and 34: Воспоминания о Ник
- Page 35 and 36: Воспоминания о Ник
- Page 37 and 38: Воспоминания о Ник
- Page 39 and 40: Воспоминания о Ник
- Page 41 and 42: Воспоминания о Ник
- Page 43 and 44: Воспоминания о Ник
- Page 45 and 46: Математик или есте
- Page 47 and 48: Математик или есте
- Page 49 and 50: Математик или есте
- Page 51 and 52: Математик или есте
- Page 53 and 54: Проблемы квантовой
- Page 55 and 56: Проблемы квантовой
- Page 57 and 58: Проблемы квантовой
- Page 59 and 60: Проблемы квантовой
- Page 61 and 62: Проблемы квантовой
- Page 63 and 64: Проблемы квантовой
- Page 65 and 66: Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 67 and 68: Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 69 and 70:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 71 and 72:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 73 and 74:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 75 and 76:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 77 and 78:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 79 and 80:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 81 and 82:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 83 and 84:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 85 and 86:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 87 and 88:
Отдельные эпизоды
- Page 89 and 90:
Воспоминания о Н. Н.
- Page 91 and 92:
Слово об УчителеВ.
- Page 93 and 94:
Перевернутый маятн
- Page 95 and 96:
Перевернутый маятн
- Page 97 and 98:
Н. Н. Боголюбов и ра
- Page 99 and 100:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 101 and 102:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 103 and 104:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 105 and 106:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 107 and 108:
Несколько коротких
- Page 109 and 110:
Учитель 109к решению
- Page 111 and 112:
Страницы памятиА. Н
- Page 113 and 114:
Страницы памяти 113и
- Page 115 and 116:
Страницы памяти 115.
- Page 117 and 118:
Воспоминания дипло
- Page 119 and 120:
Воспоминания дипло
- Page 121 and 122:
Воспоминания дипло
- Page 123 and 124:
Воспоминания дипло
- Page 125 and 126:
Воспоминания дипло
- Page 127 and 128:
По следам доклада в
- Page 129 and 130:
По следам доклада в
- Page 131 and 132:
По следам доклада в
- Page 133 and 134:
По следам доклада в
- Page 135 and 136:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 137 and 138:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 139 and 140:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 141 and 142:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 143 and 144:
Вспоминая о Никола
- Page 145 and 146:
Вспоминая о Никола
- Page 147 and 148:
Вспоминая о Никола
- Page 149 and 150:
Вспоминая о Никола
- Page 151 and 152:
Вспоминая о Никола
- Page 154 and 155:
154 Д. В. Ширков3. Бого
- Page 156 and 157:
156 Д. В. ШирковОсень
- Page 158 and 159:
158 Д. В. Ширковлить о
- Page 160 and 161:
160 Д. В. Ширковделяю
- Page 162 and 163:
162 Д. В. Ширковв 1933 г
- Page 164 and 165:
164 Д. В. Ширков(см. та
- Page 166 and 167:
166 Д. В. ШирковРечь и
- Page 168 and 169:
168 Д. В. Ширковлении,
- Page 170 and 171:
170 Д. В. Ширковсверх
- Page 172 and 173:
172 Д. В. Ширков2. Учит
- Page 174 and 175:
174 Д. В. Ширковром эп
- Page 176 and 177:
Сведения об автора
- Page 178:
Воспоминания об ак