Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове - Математический ...

О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 17К сожалению, эта работа осталась незамеченной не только наЗападе, но и у нас. О последнем свидетельствует статья С. В. Фомина,посвященная обобщению результатов [6]–[8] на более общиегруппы преобразований. В том, что касается существования инвариантноймеры, С. В. Фомин получил менее общий результат,нежели тот, который был опубликован в [12], [13] десятью годамираньше. Ясно, что ни сам он, ни представивший его работуА. Н. Колмогоров либо не знали, либо забыли о работе Н. Н. Боголюбова.Теперь известны другие (но эквивалентные) определения аменабельности,которые даже у человека с самыми “классическими”наклонностями не создают никаких дискомфортных ощущений.Первое из них предложил Е. Фелнер в 1955 г. В нем идет речь онекоторых системах подмножеств группы, которые теперь называютфелнеровскими системами. Они играют в некоторых отношенияхпримерно такую же роль, какую играют отрезки [−T, T ]для R – по множествам фелнеровской системы можно осреднять;при сдвиге на фиксированный элемент группы среднее по достаточнобольшим множествам почти не меняется; банаховы средниесуть некие (неконструктивные) пределы таких осреднений; вомногих случаях вместо этих неконструктивных предельных среднихможно использовать более конструктивные объекты 12 . Так,чтобы доказать существование инвариантной меры для аменабельнойгруппы гомеоморфизмов E, надо просто повторить рассуждения[6]–[8], заменив средние по [−T, T ] средними по подмножествамиз фелнеровской системы. Подобное доказательство –непосредственное обобщение [6]–[8] – по-моему, является наиболееестественным с “неоклассической” точки зрения, но оно стало возможнымтолько спустя примерно 15 лет после публикации [12].Вместо этого в [12], [13] проводится другое рассуждение, явноиспользующее инвариантные банаховы средние. Будучи, сталобыть, выдержанным в ином стиле, оно тоже выглядит в нашидни вполне современным (в нем можно усмотреть зачаток теоремыН. Риккерта (1967 г.) о неподвижной точке для аффинного12 С точки зрения последовательного конструктивизма они, конечно, тоженеконструктивны, но повидимому могут считаться “эффективными” в томсмысле, как этот термин употреблял Н. Н. Лузин. “По-видимому” здесь сказанопотому, что лузинская “эффективность” не является строго формализованнымпонятием.