Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове - Математический ...

О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 15(Это сразу заметили несколько человек). Для потока {ϕ t } нужнынесложные дополнительные рассуждения (например, можновзять предельную точку инвариантных мер для {ϕ 1 }). Естественно,далее, спросить, нельзя ли доказать существование инва-2n риантной меры в том случае, когда речь идет не о непрерывномдействии в E групп Z (каскад) или R (поток), а для действияболее общих групп преобразований. Первый шаг в этом направлениисделал А. А. Марков [10], доказавший существование инвариантноймеры у любой коммутативной группы гомеоморфизмов(более общо, у любого семейства коммутирующих замкнутыхотображений) компакта (не обязательно метризуемого). Группаили семейство могут иметь произвольную мощность и никакойтопологией не снабжаются 9 . А наиболее принципиальный шагсделал сам Н. Н. Боголюбов [12], [13], понявший, что основнуюроль здесь играет введенное лет за 10 до того Дж. фон Нейманомсвойство аменабельности.Об аменабельных группах см. [14]. Это название появилосьдовольно поздно. В [12], [13] они называются банаховыми группами,поскольку характеризуются тем, что на них существуютбанаховы средние, инвариантные относительно групповых сдвигов10 . В то время других определений аменабельности еще не было.А ведь построение банахова среднего неконструктивно и существенноиспользует аксиому выбора. Можно придать ему откровеннотрансфинитный характер, привлекая трансфинитнуюиндукцию; можно слегка завуалировать этот характер, пользуясьтеоремой Хана–Банаха о продолжении линейного функционала.Но так или иначе, у человека, не слишком склонного ктеоретико-множественной математике, впечатление от тогдашнегоопределения аменабельности может (если не должно) быть9 Реально переход к группам произвольной мощности повышает общностьтолько в случае неметризуемого E. Как заметил С. В. Фомин [11], в произвольнойгруппе гомеоморфизмов метризуемого компакта E имеется такаясчетная подгруппа, что всякая мера на E, инвариантная относительно этойподгруппы, инвариантна относительно всей группы.10 Ныне принято включать в определение аменабельной группы еще требованиелокальной компактности. (Когда же этого не делают, то все равноданное требование фигурирует почти в каждой формулировке). В [12], [13]такого требования нет. Но хотя для целей этой работы его не нужно, скольколибопродвинутая теория аменабельных групп получается в настоящее времяпри добавлении указанного требования, которое к тому же выполняется едвали не во всех интересных примерах. Поэтому я буду считать, что аменабельностьподразумевает локальную компактность.