12 Д. В. Аносовследующее. Некоторые из авторов, работающих в этом направлении,пришли туда из уже сложившейся к тому времени гиперболическойтеории или, во всяком случае, несомненно находилисьпод ее влиянием. Поэтому они с самого начала руководствовалисьсоответствующей идеологией и пользовались соответствующимиприемами. В связи с работами этих авторов может возникнутьвопрос: понятно, что постановки соответствующих задач можносчитать развитием постановок, имевшихся в [1], [3], но можно лиздесь говорить о преемственности также и в отношении методов,коль скоро последние (как сами эти авторы отмечают) заимствованыиз гиперболической теории? (Тем более что часто используетсяметод, который в локальной теории восходит к Ж. Адамаруи является альтернативным по отношению к методу О. Перрона).Ответ, по-моему, состоит в том, что в тех случаях, когда не былопрямого влияния, можно говорить о косвенном влиянии, посколькубез него не обошлось при возникновении гиперболической теории.2. Самая известная работа Н. Н. Боголюбова по теории динамическихсистем (по той части последней, о которой говоритсяв настоящей статье) – это его совместная с Н. М. Крыловым работаоб инвариантных мерах топологического потока {ϕ t } в метрическомкомпакте E. Она сразу приобрела широкую известность –с одной стороны, ее содержание этого вполне заслуживало, с другой– внешние обстоятельства способствовали ознакомлению с нейширокого круга математиков у нас и за рубежом: работа анонсироваласьв “Докладах Парижской Академии наук” и докладываласьна Международной топологической конференции в Москвев 1935 г., а полная публикация была осуществлена одновременнона Украине [6] и за рубежом [7] (русский перевод имеется в [8];кроме того, работа подробно изложена в [9]). Ранее в эргодическойтеории исходили из того, что динамическая система имеет инвариантнуюмеру. (Это могло проверяться для конкретной системыили класса систем; основной пример – инвариантность 2n-мерноймеры Лебега для гамильтоновых систем с n степенями свободы исоответствующей меры на многообразии постоянной энергии. Этомогло постулироваться – в “абстрактной” эргодической теории ссамого начала говорится что-нибудь вроде “пусть дана системас инвариантной мерой”). Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов внеслив эргодическую теорию новую струю, доказав существование
О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 13инвариантных мер для широкого класса топологических динамическихсистем 6 , а также рассмотрев совокупность всех инвариантныхмер, которые имеет данная система.Говоря о результатах [6]–[8] подробнее, их можно разделить надве группы. (Под “мерой” в настоящем пункте всегда понимается“нормированная мера”).1) а) {ϕ t } имеет инвариантную меру.б) Всякая такая мера является либо линейной комбинациейэргодических мер, либо пределом таких комбинаций (в смыслеслабой сходимости; таковая означает слабую сходимость мер какфункционалов, см. ниже).При доказательстве а) в [6]–[8] используются следующие результатыфункционального анализа (тогда относительно новые,а ныне классические и элементарные). Меру µ на E можно рассматриватькак положительный линейный функционал на пространствеC(E) непрерывных функций E → R:∫f ↦→ f dµ,Eкоторый принимает значение 1 на функции, тождественно равной1. Множество M(E) (нормированных) мер выпукло и компактнов смысле слабой (точнее, ∗-слабой) сходимости функционалов.Рассмотрим меры µ T,x , связанные в этом смысле с функционаламиf ↦→ 1 ∫ Tf(ϕ t x) dt (1)2T −T(x – фиксированная точка E). Легко проверить, что слабая предельная(при T → ∞) точка этих мер является инвариантноймерой. Так доказывается а). Что касается б), то в [6]–[8] б) получаетсяв тесной связи со второй группой результатов, приводимойниже.Сразу же началось обсуждение других подходов к 1). Этотвопрос оказался связанным с начавшимся тогда же в функциональноманализе углубленным анализом выпуклости (которая,6 Справедливости ради надо сказать, что еще до [6]–[8] вопрос о существованииинвариантной меры начал обсуждаться в чисто метрическом контексте(метрическом в смысле теории меры). Но и сейчас результаты, полученныев этом направлении, занимают какое-то промежуточное положение: формулировкиусловий бывают не лишены изящества, но практическая проверкаих выполнения затруднительна.
- Page 1 and 2: Воспоминанияоб ака
- Page 4 and 5: 4 СодержаниеИ. Н. Ме
- Page 6 and 7: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 8 and 9: 8 Д. В. Аносоввые мно
- Page 10 and 11: 10 Д. В. Аносовинвари
- Page 14 and 15: 14 Д. В. Аносовконечн
- Page 16 and 17: 16 Д. В. Аносовкислым
- Page 18 and 19: 18 Д. В. Аносовдейств
- Page 20 and 21: 20 Д. В. АносовТочка,
- Page 23 and 24: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 25 and 26: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 27 and 28: О вкладе Н. Н. Богол
- Page 29 and 30: Физический терминД
- Page 31 and 32: Воспоминания о Ник
- Page 33 and 34: Воспоминания о Ник
- Page 35 and 36: Воспоминания о Ник
- Page 37 and 38: Воспоминания о Ник
- Page 39 and 40: Воспоминания о Ник
- Page 41 and 42: Воспоминания о Ник
- Page 43 and 44: Воспоминания о Ник
- Page 45 and 46: Математик или есте
- Page 47 and 48: Математик или есте
- Page 49 and 50: Математик или есте
- Page 51 and 52: Математик или есте
- Page 53 and 54: Проблемы квантовой
- Page 55 and 56: Проблемы квантовой
- Page 57 and 58: Проблемы квантовой
- Page 59 and 60: Проблемы квантовой
- Page 61 and 62: Проблемы квантовой
- Page 63 and 64:
Проблемы квантовой
- Page 65 and 66:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 67 and 68:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 69 and 70:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 71 and 72:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 73 and 74:
Н. Н. Боголюбов - мат
- Page 75 and 76:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 77 and 78:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 79 and 80:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 81 and 82:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 83 and 84:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 85 and 86:
К 100-летию Н. Н. Бого
- Page 87 and 88:
Отдельные эпизоды
- Page 89 and 90:
Воспоминания о Н. Н.
- Page 91 and 92:
Слово об УчителеВ.
- Page 93 and 94:
Перевернутый маятн
- Page 95 and 96:
Перевернутый маятн
- Page 97 and 98:
Н. Н. Боголюбов и ра
- Page 99 and 100:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 101 and 102:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 103 and 104:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 105 and 106:
Н. Н. Боголюбов и не
- Page 107 and 108:
Несколько коротких
- Page 109 and 110:
Учитель 109к решению
- Page 111 and 112:
Страницы памятиА. Н
- Page 113 and 114:
Страницы памяти 113и
- Page 115 and 116:
Страницы памяти 115.
- Page 117 and 118:
Воспоминания дипло
- Page 119 and 120:
Воспоминания дипло
- Page 121 and 122:
Воспоминания дипло
- Page 123 and 124:
Воспоминания дипло
- Page 125 and 126:
Воспоминания дипло
- Page 127 and 128:
По следам доклада в
- Page 129 and 130:
По следам доклада в
- Page 131 and 132:
По следам доклада в
- Page 133 and 134:
По следам доклада в
- Page 135 and 136:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 137 and 138:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 139 and 140:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 141 and 142:
Н. Н. Боголюбов (штр
- Page 143 and 144:
Вспоминая о Никола
- Page 145 and 146:
Вспоминая о Никола
- Page 147 and 148:
Вспоминая о Никола
- Page 149 and 150:
Вспоминая о Никола
- Page 151 and 152:
Вспоминая о Никола
- Page 154 and 155:
154 Д. В. Ширков3. Бого
- Page 156 and 157:
156 Д. В. ШирковОсень
- Page 158 and 159:
158 Д. В. Ширковлить о
- Page 160 and 161:
160 Д. В. Ширковделяю
- Page 162 and 163:
162 Д. В. Ширковв 1933 г
- Page 164 and 165:
164 Д. В. Ширков(см. та
- Page 166 and 167:
166 Д. В. ШирковРечь и
- Page 168 and 169:
168 Д. В. Ширковлении,
- Page 170 and 171:
170 Д. В. Ширковсверх
- Page 172 and 173:
172 Д. В. Ширков2. Учит
- Page 174 and 175:
174 Д. В. Ширковром эп
- Page 176 and 177:
Сведения об автора
- Page 178:
Воспоминания об ак