Воспоминания об академике Н.Н.Боголюбове - Математический ...

О вкладе Н. Н. Боголюбова в теорию динамических систем 13инвариантных мер для широкого класса топологических динамическихсистем 6 , а также рассмотрев совокупность всех инвариантныхмер, которые имеет данная система.Говоря о результатах [6]–[8] подробнее, их можно разделить надве группы. (Под “мерой” в настоящем пункте всегда понимается“нормированная мера”).1) а) {ϕ t } имеет инвариантную меру.б) Всякая такая мера является либо линейной комбинациейэргодических мер, либо пределом таких комбинаций (в смыслеслабой сходимости; таковая означает слабую сходимость мер какфункционалов, см. ниже).При доказательстве а) в [6]–[8] используются следующие результатыфункционального анализа (тогда относительно новые,а ныне классические и элементарные). Меру µ на E можно рассматриватькак положительный линейный функционал на пространствеC(E) непрерывных функций E → R:∫f ↦→ f dµ,Eкоторый принимает значение 1 на функции, тождественно равной1. Множество M(E) (нормированных) мер выпукло и компактнов смысле слабой (точнее, ∗-слабой) сходимости функционалов.Рассмотрим меры µ T,x , связанные в этом смысле с функционаламиf ↦→ 1 ∫ Tf(ϕ t x) dt (1)2T −T(x – фиксированная точка E). Легко проверить, что слабая предельная(при T → ∞) точка этих мер является инвариантноймерой. Так доказывается а). Что касается б), то в [6]–[8] б) получаетсяв тесной связи со второй группой результатов, приводимойниже.Сразу же началось обсуждение других подходов к 1). Этотвопрос оказался связанным с начавшимся тогда же в функциональноманализе углубленным анализом выпуклости (которая,6 Справедливости ради надо сказать, что еще до [6]–[8] вопрос о существованииинвариантной меры начал обсуждаться в чисто метрическом контексте(метрическом в смысле теории меры). Но и сейчас результаты, полученныев этом направлении, занимают какое-то промежуточное положение: формулировкиусловий бывают не лишены изящества, но практическая проверкаих выполнения затруднительна.