Phương trình sóng Schrodinger

TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORGPHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRÖDINGERNguyễn Anh Tuấn * (Opendoor2507)Bài viết được dịch từ bài giảng Math 55: Differential Equations của Gabriel Peterson, College of the Redwoods(Có thể tham khảo bản gốc tại http://online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/index.htm)Mục đích của bài này là giới thiệu một cách sơ lược về phương trình sóng Schrodinger, một trong những trụ cột của cơ họclượng tử. Để đảm bảo tính khúc triết và đơn giản, tác giả chỉ nhắc đến các phương trình sóng một chiều độc lập thời gian bằngcách hướng tới tiến trình lịch sử phát sinh ra phương trình này - một phần không thể thiếu của cơ học lượng tử.1. MỞ ĐẦUKhi buổi bình minh của thế kỷ mới tới gần, các nhà vật lýđang say sưa với cái mà các nhà thông thái Hilạp gọi là hubris– một sự kiêu căng tiêu cực, tự phụ, và sai trái. Quả thực là,Max Planck một chàng thanh niên đang hăm hở theo đuổi vậtlý, đã được chủ nhiệm Khoa Vật lý, Đại học Munich khuyênrằng: “Các khám phá quan trọng trong vật lý đều đã đượcthực hiện. Đừng mất công vào vật lý làm gì (Kotz và Treichel,320).” May thay, anh chàng đã không để ý tới lời khuyên này.Vật lý cổ điển – nghĩa là, cơ học Newton và lý thuyết điện từMaxwell – dường như đã giải thích cho mọi hiện tượng tựnhiên quan sát được. Đó là một vũ trụ tất định. Các hành tinh,không ngừng quay với sự chính xác khó hiểu của chúng; sựlên xuống của thuỷ triều; sự dao động của con lắc; cách thứccác vật trao đổi năng lượng và momentum; các sóng ánh sánglan truyền trong không gian – lẽ nào tất cả chúng không tuântheo mô hình xác định luận? Chỉ cần đưa ra một vài điều kiệnban đầu của vũ trụ, tất cả các hành vi tương lai của nó sẽ đượctính toán.Than ôi, như thường thấy trong khoa học, một cơn khủnghoảng đã xảy đến với vật lý cổ điển: nó sai lầm khi giải thíchmột hiện tượng quan trọng. Đó là tai biến tử ngoại, và đứng ởtrung tâm của tai biến này chính là chàng trai đã nản với việctheo đuổi vật lý vì lý do: người ta đã khám phá gần hết ngoạitrừ một vài chi tiết phụ, chàng thanh niên đó là Max Planck.Một vật hấp thụ tất cả các bức xạ chiếu tới gọi là vật đentuyệt đối. Một vật đen gần như tuyệt đối có thể tạo ra bằngcách dùng một hốc có khe hở rất nhỏ. Chỉ một phần khôngđáng kể bức xạ đi vào hốc thoát được ra ngoài. Sự bức xạnăng lượng đặc trưng của vật đen – đúng như tên gọi của nó –là không thấy được, mà nó nằm trong vùng hồng ngoại củaphổ điện từ. Trong vật lý cổ điển, hàm phân bố phổ được chobởi định luật Raleigh-Jeans,8πkTP( λ, T)= (1.1)4λTrong đó lambda là bước sóng, T là nhiệt độ, và k là hằngsố Boltzmann. Giá trị rút ra từ định luật phù hợp rất tốt vớithực nghiệm trong vùng bước sóng dài. Tuy nhiên, khilambda xấp xỉ không, công thức trên cho thấy vật sẽ bức xạmột lượng vô cùng lớn năng lượng tại các bước sóng cựcngắn, ở vùng tử ngoại.Ý tưởng của mô hình này là các bức xạ lan truyền trongkhông gian và trao đổi năng lượng giống như một sóng. Nghĩalà, nó liên tục, không định xứ, và lan toả. Newton đã từng có ýkiến đối lập cho rằng nó truyền đi như các hạt rời rạc gọi làcorpuscles. Tuy vậy, các thí nghiệm sau đó về giao thoa vànhiễu xạ đã cho thấy ánh sáng là sóng. Phương pháp củaPlanck là phải thay đổi mô hình. Vì mụch tiêu phát triển mộtmô hình chính xác, giả thiết rằng năng lượng bức xạ hay hấpthụ bởi vật đen theo các phần gián đoạn gọi là quanta, giốngnhư các hạt. Ông đã xác định được hệ thức năng lượng nhưsau:E = nh .. f(1.2)Năng lượng được cho bởi một số nguyên n nhân với hằngsố Panck h và tần số bức xạ f. Tuy nhiên ông nhấn mạnh đâykhông phải là cách thức thực tế của tự nhiên, nó chỉ đơn thuầnlà mô hình. Quả thực, vài năm sau đó khi Einstein sử dụngnguyên lý này để giải thích hiệu ứng quang điện, Planck đãnghi ngờ tính đúng đắn của luận cứ này.Mặc dù ban đầu ông không đánh giá đúng về nó, nhưngPlanck đã mở cánh cửa cho một mô hình mới mà hầu nhưkhông một lĩnh vực khoa học nào không động tới nói: cơ họclượng tử. Cụ thể, ông đã vấp phải một vấn đề gai góc đó làlưỡng tính sóng hạt. Ánh sáng có vẻ lan truyền giống nhưsóng và trao đổi năng lượng như là hạt. Einstein đã bình luậnvề tính phản trực giác của sự lưỡng phân này như sau:"50năm nghiền ngẫm cũng không đưa tôi đến giải đáp cho câuhỏi, “lượng tử sáng là cái gì?” Tất nhiên ngày nay mọi ngườiđều nghĩ rằng ông ấy biết câu trả lời, ông ấy chỉ tự dối mình(Knight, 442)".Một chàng trai trẻ tới từ Pháp, một sinh viên Vật Lý mớira trường, Louis-Victor de Broglie. Cho rằng khái niệm lượngtử ánh sáng của Planck và Einstein được mở rộng. Là gì nếukhông chỉ ánh sáng thể hiện lưỡng tính sóng hạt? Là gì nếumột điện tử hay một proton hoặc một quả bóng chầy hay mộthành tinh thể hiện tính chất lưỡng tính này? Và điều này chỉ* E-mail: anhtuanb1@yahoo.co.uk11TẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007

TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORGcho chúng ta biết điều gì về bản chất của vật chất? Câu trả lờicủa de Broglie là lưỡng tính sóng hạt không chỉ giới hạn trongtrường hợp của ánh sáng. Tất cả các vật từ vi mô đến vĩ môđều có tính chất này. Ông cho rằng bước sóng của chúng - gọilà sóng vật chất - được cho bởi:hλ = (1.3)pTrong đó h là hằng số Planck, p là xung lượng cho bởi p =m.v, với m là khối lượng, và v là vận tốc.Hình 1. Hiện tượng nhiễu xạ của điện tử trên các tấm kim loại mỏngthể hiện tính sóng của chùm hạt điện tử 1 .Nguyên lý này nhanh chóng được xác nhận bằng cáchdùng tinh thể học x-ray để kiểm tra hành vi của các điện tử.Như thấy trong hình, các điện tử thể hiện một dạng nhiễu xạđặc trưng của sóng. Có nghĩa là, khi chúng truyền đi, chúnggiao thoa với các sóng khác. Sự giao thoa chỉ có thể xuất hiệnnếu chúng có tính sóng. Do vậy, vật chất – không chỉ ánhsáng – truyền đi như sóng và trao đổi năng lượng giống nhưhạt. Vấn đề lưỡng phân sóng hạt của lượng tử sáng là khôngthể tránh khỏi. Nó có mặt ở khắp nơi trong tự nhiên: mộtlượng các lượng tử sáng, các photon; trong hạt hạ nguyên tửnhư electron và proton; trong cú bay của quả bóng chày; trongquỹ đạo của một hành tinh. Tuy nhiên bước sóng của các vậtthể vĩ mô, ví như bóng bầu dục và hành tinh, nó quá nhỏ để cóthể đo được.nhân giống như các hành tinh và ngôi sao. Trong trường hợpcủa nguyên tử Hydro sự phù hợp giữa tiên đoán lý thuyết vàcác quan sát thực nghiệm là khá tốt. Tuy nhiên với các nguyêntử nhiều điện tử hơn, thậm chí với Helium chỉ với 2 electron,tiên đoán và thực nghiệm chẳng ăn khớp gì với nhau cả.Schrodinger mong muốn phát triển một mô hnhf phù hợp vớicác bằng chứng thực nghiệm. Kết quả của kỳ nghỉ lén lút tạiSwiss Alps là một mô hình không bắt nguồn từ các mô hìnhtrước đó, một mô hình có thể gọi là một cảm nhận trực giác,một bước nhẩy trong tưởng tượng, một mô hình chính xác đếnkinh ngạc.Trong khuôn khổ bài này vì mục đích đơn giản xúc tích,chúng tôi sẽ chỉ nhắc tới phương trình sóng Schrodinger mộtchiều, không phụ thuộc thời gian. Chúng tôi không nói tớiphương trình đầy đủ trong sự chói lọi huy hoàng của nó.Phương trình sóng Schrodinger không phụ thuộc thời gian, lẽra nên gọi cho đúng là định luật Schrodinger, được cho bởiphương trình vi phân.2d ϕ( x) 2m =−2 2[ E − U ( x )]. ϕ( x )(2.1)dx với là hàm sóng, là hằng số Planck rút gọn, E là nănglượng, U(x) là hàm thế năng của hạt. Để tìm nghiệm tổng quátcủa phương trình này, các điều kiện biên phải được thiết lập.Các điều kiện nguyên tắc cần phải được tuân thủ là:1. ϕ(x) → 0 khi x → ∞2. ϕ(x) = 0 nếu ở vị trí bất khả về mặt vật lý (hay nóicách khác là không có tính vật lý).3. ϕ(x) là hàm liên tục và chuẩn hóa (xác suất tìm thấyhạt trong toàn không gian bằng 1).Trong bài này, lại một lần nữa để đơn giản và xúc tích,chúng ta xem xét trường hợp hạt nằm trong hộp một chiều,với tường thế cao vô hạn. Cho họp có độ dài L. Như thấytrong hình, hàm thế năng là:1. U(x) = 0 khi hạt trong hộp (0 ≤ x ≤ L)2. U(x) = ∞ khi x < 0 hoặc x > LĐây là bài toán hạt trong giếng thế cao vô hạn (xem hìnhvẽ).2. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRÖDINGERẤn tượng mạnh bởi sóng vật chất của DeBroglie, ErwinSchrodinger muốn có thời gian để suy nghĩ, để cân nhắc về tấtcả sự dính líu này. Schrodinger, một nhà vật lý Áo được biếtđến qua các công trình của ông về vật lý của các dây, đã bắtchuyến bay tới biệt thự tại Thuỵ sĩ vào năm 1925, bỏ lại ngườivợ để sống với một cô nàng gốc Viennese. Điều đem lại củathời kì êm ả trong tư duy này sẽ thay đổi mãi mãi quang cảnhcủa nền vật lý. Quả vậy, nó đã làm thay đổi cách chúng taquan niệm về vũ trụ mà chúng ta đang sống.Mô hình nguyên tử Bohr khi đó được phát triển từ một môhình hệ mặt trời vi mô trong đó các điện tử quay quanh hạtTẬP 1, SỐ 1, NĂM 200712Hình 2. Hạt trong giếng thế cao vô hạn.

TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORGĐiều kiện 1 có nghĩa là hạt không thể vượt ra ngoài hộp(do có rào thế năng). Điều này làm đơn giản hoá đáng kể hàmsóng, với sự thu gọn của biểu thức U(x). Do đó, hàm sóngtương ứng với hạt trong hộp được cho bởi:2d ϕ 2m =− ( )2 2 E ϕ x(2.2)dx Để đơn giản ta đặt:2 2mEB = (2.3)2Khi đó phương trình sóng trở thành2d ϕ 2=− B Eϕ( x)(2.4)2dxCái này giống như phương trình dao động điều hoà, vì vậynghiệm phi(x) sẽ có dạng một hàm sine hoặc hàm cosine. Dovậy:ϕ ( x) = sinBx(2.5)Theo điều kiện biên 1, ta có:ϕ ( x= L) = sinBL=0Do đó:nπBL = nπ⇒ B = (2.6)LTrong đó n = 1,2,3 .... Chính xác hơn chúng ta phải đưavào biên độ A:n π.xϕ ( x) = Asin LTrong đó A là biên độ của hàm. Để xác định biên độ, tadùng điều kiện biên cơ sở thứ 3, ϕ(x) là hàm chuẩn hoá. Biểudiễn toán học dưới dạng:L2∫ ϕ ( x) = 1(2.7)0Nó được phát biểu là: xác suất tìm thấy hạt trên trục xbằng 1. Lắp vào chúng ta nhanh chóng thu được:2A = (2.8)LNhư vậy sau một hồi biến đổi chúng ta đã mò ra đượcnghiệm của phương trình sóng của trạng thái lượng tử thứ ntrong hộp kín:( ) 2 .sin n π.xϕ x = (2.9)L Lvới 0 ≤ x ≤ Lvà ϕ(x) = 0 khi x < 0 hoặc x > L.Ý nghĩa của nghiệm này ở chỗ là xác suất tìm thấy hạt tạivị trí x được cho bởi bình phương của ϕ(x).( ) ( )2 2 sin 2 nπ. xPn x = ϕ x = (2.10)L LChúng ta có thể thấy rõ điều này qua biểu diễn bằng đồ thị.Xét một hạt trong trạng thái lượng tử thứ ba.Ta có thể thấy thằng có những nơi mà xác suất tìm thấyhạt bằng không – nên gọi là các nút. Cái này không chỉ là mộtmô hình đơn giản hoá hạt ở trong một hộp kín. Nó được quansát trong các hệ phức tạp hơn ví dụ như mô hình về một điệntử quay quanh hạt nhân.Hình 3. Hàm sóng và xác suất tìm thấy hạt khi ở trạng thái có sốlượng tử n = 3.Từ phương trình sóng của Schrodinger, hàm xác suất chocác quỹ đạo electrons xung quanh hạt nhân có thể được pháttriển. Có các vỏ điện tử gọi là mật độ xác suất hoặc orbitals,các đám mây xác suất để chỉ nơi nào có thể có mặt điện tử,nơi nào bị cấm. Điều này được minh chứng trong hình minhhoạ trên, nó cho thấy orbital 2Px và một sóng xác suất tươngtứng khả năng điện tử nằm ở toạ độ x. Tuy vậy, đấy khôngphải là cái vỏ cứng, mà là vỏ mềm nơi có xác suất tìm thấyđiện tử là 80 đến 90 phần trăm. Vì là xác suất cho nên một vàiđiện tử quanh một hạt nhân nào đó có thể nằm ở khoảng cáchcực lớn: mặt bên kia của hành tinh, biên của hệ mặt trời, hay ởmột vài nhánh nào đó trên dải Ngân Hà...Hình 4. Đám mây orbitan của vỏ điện tử 2Px 2 .13TẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007

TẠP CHÍ HTTP://WWW.VATLYVIETNAM.ORGMột thể loại mới của thế giới vi mô. Một loại mới của cácxác suất. Một dạng mới mà vị trí của một điện tử so với hạtnhân được cho bởi đám mây xác suất mờ ảo, thiếu vắng sựxác định rõ ràng, gọi là mật độ xác suất. Một dạng mới đượcgọi là vật lý lượng tử.3. KẾT LUẬNTay của Schrodinger và vô số các vĩ nhân khác theo thờigian đã động chạm hầu hết mọi lĩnh vực khoa học: Vật lý, hoáhọc, sinh học, ... Quả thực, nó đã âm thầm thẩm thấu vào vănhoá đại chúng. Thế giới lượng tử đã truyền cảm hứng tônsùng huyền bí từ nó. Tất nhiên không một nghị luận tốt nào cóthể hoàn thành mà thiếu một vài trích dẫn huyền bí, một số nỗlực liên hệ tính lưỡng tính của thế giới hạ nguyên tử với thếgiới hằng ngày quanh ta. Nhưng giống cũng như Einsteinhoang mang về lượng tử sáng trong nhiều năm liền mà khôngthu được gì, chúng ta chỉ còn lại lòng biết ơn với thế giớilượng tử vốn trái ngược với trực giác thông thường. Theocách nói của Richard Feynman: "Các vật nhỏ bé không cư xửnhư những kinh nghiệm trực quan của bạn. Chúng không nhưsóng. Chúng cũng không như hạt. Chúng cũng không cư xửnhư các đám mây hay như các quả bóng bida hoặc quả nặngtreo trên lò xo hay như bất cứ cái gì bạn từng biết".Lời cảm ơn (của tác giả bài giảng)Trong việc viết bài báo này, cả tiến sĩ David Mills và TS.David Arnold đều là vô giá. TS. Mills đã chỉ tôi các nguồn tàiliệu thích hợp liên quan tới phương trình sóng Schrodinger vàkiên nhẫn giải đáp những câu hỏi của tôi về vật lý lượng tử.Còn Dave Arnold đã cho phép tôi tự do thay đổi chủ đề mộtchút của lớp học phương trình vi phân. Tôi nghĩ, kết quả nàycó giá trị đấy. Thêm vào đó, các ảnh động GIF được sử dụngđể minh hoạ vài điểm then chốt lấy từ Saunders InteractiveChemistry CD-ROM. Tuy vậy, chúng là dạng quicktimemovies và tôi đã chuyển chúng thành GIF động cho bài báonày.TÀI LIỆU THAM KHẢO[1] Feynman, Richard P. Six Easy Peices: The Feynman Lectureson Physics, New York, New York: Addison-Wesley, 1994.[2] Knight, Randall D. Physics: A Contemporary Perspective.Preliminary Edition, New York, New York: Addison-Wesley,1997.[3] Kotz, John C. and Vininng, William J. Saunders InteractiveChemistry CD-ROM, Harcourt Brace & Co., 1996.[4] Kotz, John C. and Treichel, Paul, Chemistry and ChemicalReactivity, Third Edition. Harcourt Brace & Co., 1996.[5] Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers, Volume II.Third Edition. New York, New York: Worth Publishing, 1991.1Hình ảnh minh họa là ảnh động có thể xem tại http://online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/elecwave.gif2 Xin vui lòng xem ảnh minh hoạt tại http://online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/swave.gifTẬP 1, SỐ 1, NĂM 200714