Teorija brojeva ∗ - Domacizadaci.com

Teorija brojeva ∗1. U broju n = 1995ab odrediti nepoznate cifre a i b tako da dobijenixestocifreni broj n bude deljiv sa 72.2. Odrediti sve cifre a i b tako da je zbir brojeva 199a i b234deljiv sa 18.3. Proizvod dva dvocifrena broja zapisan je samo pomou qetvorki.Odrediti te brojeve.4. Napisano je prvih 180 prirodnih brojeva. Izbrisani su sviprirodni brojevi koji se zavrxavaju nulom. Zatim su izbrisanisvi deljivi sa 4, a potom svi deljivi sa 3. Koliko je brojevaostalo?5. Dat je prirodan broj qiji dekadni zapis sadrжi 1994 jedinice,1994 dvojke i izvestan broj nula. Dokazati da dati broj nijekvadrat prirodnog broja.6. Ako je n ∈ N, onda je izraz n22 − 2n 3 + n36ceo broj. Dokazati.7. a) Izraz a 4 + 4b 4 napisati u obliku proizvoda dva polinoma.b) Dokazati da je broj 2 1994 + 5 1996 sloжen.8. Odrediti sve proste brojeve p tako da je 6651993 < 5 p < 9971994 .9. Odrediti sve dvocifrene prirodne brojeve za koje vaжi : tajbroj i broj napisan istim ciframa u obrnutom redosledu suprosti.10. Neka je S = 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 1995 . Dokazati da je S deljivo sa 39.11. Dokazati da je 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + . . . + 5 2003 deljivo sa 31.12. Neka je S = 2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 1995 . Dokazati :a) S = 2(2 1995 − 1) ; b) S je deljivo sa 434.13. Dokazati da 37 |(333 2003 + 555 2003 ).14. Dokazati da je 7 1996 − 1 deljivo sa 10.15. Neka je S = p 19961 + p 19962 + . . . + p 19961996, gde su brojevi p 1 , p 2 , . . . , p 1996prvih 1996 prostih prirodnih brojeva. Dokazati da 5 | S.∗ Zbirka 1000 zadataka, DMS1

33. Koliko ima parova prirodnih brojeva (x, y) takvih da je3x + 8y = 1996 ?34. Postoje li prirodni brojevi x i y takvi da je x 2 + 5y = 1997 ?35. Ako su n 1 , n 2 , . . . , n 1998 ∈ N takvi n 2 1 + n 2 2 + · · · + n 2 1997 = n 2 1998,dokazati da su bar dva od tih brojeva parni.36. U xOy ravni data je prava 4x + 7y = 1998. Koliko taqaka natoj pravoj imaju obe koordinate celobrojne i pripadaju prvomkvadrantu koordinatne ravni?37. Odrediti sve uređene parove (p, q) prostih brojeva p i q, takvihda je p 2 − 2q 2 = 1.38. Postoje li međusobno razliqiti prosti brojevi p, q, r takvi daje pq + qr + rp = 2002 ?39. Nai sva celobrojna rexenja jednaqine 2 x + 1 = y 2 .40. Neka je S(n) zbir cifara prirodnog broja n. Odrediti n ako je:a) n + S(n) = 2002 ; b) n + S(n) + S(S(n)) = 2002.41. Neka je S(m) zbir cifara prirodnog broja m. Niz brojeva formirase na sledei naqin: a 1 = n, gde je n neki prirodan broj ia 2 = a 1 − S(a 1 ), a 3 = a 2 − S(a 2 ), . . . Ako je a 13 = 0 prvi qlan unizu koji je jednak 0, odrediti n.42. Odrediti sve parove prirodnih brojeva (m, n) za koje izraz ∣ m 77 − n ∣13ima najmanju moguu pozitivnu vrednost.43. Zbir 1999 razliqitih prostih prirodnih brojeva je paran broj.a) Da li je proizvod tih 1999 prostih brojeva paran ili neparanbroj?b) Dokazati da među njima postoji 1998 brojeva qiji je zbirparan broj.c) Dokazati da među njima postoji 1998 brojeva qiji je zbirneparan.44. Odrediti najmanji prirodan broj n, koji ima broj delilaca jednakbroju delilaca broja 1998, pri qemu se deliocima prirodnogbroja smatraju i 1 i sam taj broj.45. Neka su a i b celi brojevi takvi da je izraz a 2 + 9ab + b 2 deljivsa 11. Dokazati da je tada izraz a 2 − b 2 deljiv sa 11.46. Odrediti cifre x, y i z tako da u dekadnom sistemu vaжi jednakost= 0, xyz.1x + y + z47. Dokazati da je broj 11}.{{. . 111}22}.{{. . 222}5 potpun kvadrat.1997 1998√ √ 1998 + n48. Odrediti najmanji n ∈ N za koji je vrednost izraza √ √ 1998 − nprirodan broj.3