FAM-Lekcija 8.pdf - Univerzitet Singidunum

FINANSIJSKA I AKTUARSKAMATEMATIKAMatemičke osnove osiguranjaObračun tarifa za osiguranje licaZimski semestar 2009/2010.Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinoviće-mail: mcvetinovic@singidunum.ac.rs1

Cilj predmetaetaCilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izfinansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studentitrebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu zarazumevanje niza problema, kao što su: izučavanje krajnje vrednostikapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzsložen interes i obrnuto, izračunavanje početne vrednosti kapitalauvećane za složeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanjemenica, i dr.Cilj modula aktuarske matematike je uvođenje, razvoj i primenatema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranjaimovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom,posebno sa temama iz verovatnoće ć i izračunavanjač interesa.Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obračunima budućidiplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnihproblema i zadataka u praksi: u bankama, preduzećima,osiguravajućim kompanijama i drugim institucijama.2

Literaturaa• Literatura:– J. Rašeta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum,2008,– J. Kočović, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu,2009,– J. Kočović, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica,Beograd 2006– D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica2008,3

Raspored predavanjaDatumLekcije22.10.2009. Uvod u finansijsku matematiku;Prost interesni (kamatni) račun29.10.2009. Primena prostog interesnog računa na finansijskom tržištu;Tekući račun,Lombardni račun, Potrošački krediti05.11.2009. Eskont menica; Složen interesni (kamatni) račun12.11.2009. Složen interesni račun: Faktor dodajnih uloga, Faktor aktuelizacije19.11.2009. Efektivnost investicija26.11.2009. Amortizacija zajmova03.12.2009. Kolokvijum I4

Raspored predavanja(nastavak)DatumLekcije10.12.2009. Uvod u aktuarsku matematiku17.12.2009. Matematičke osnove osiguranja24.12.2009. Obračuna tarifa za osiguranja lica24.12.2009 Obračuna tarifa za osiguranja rente14.01.2010 Obračuna tarifa za osiguranja kapitala;Osiguranje na dva života21.01.2010 Kolokvijum II28.01.2010 Popravni Kolokvijum I i/ili Kolokvijum II04.02.2010 ISPIT5

Formiranje konačne eoceneeBroj bodovaPRISUSTVO NASTAVI 10SEMINARSKI RAD 10KOLOKVIJUM I 25KOLOKVIJUM II 25ISPIT 30UKUPNO100 bodovaBodoviOCENA51 – 60 661 – 70 771 – 80 881 – 90 991 – 100 10‣Prisustvo nastavi i vežbama je obavezno‣Seminarski rad nije obavezan6

Sadržaj aj za danasas1. Matemičke osnove osiguranja2. Obračun tarifa za osiguranje lica(3 časa)3. Vežbe (2 časa)7

Matematičke osnove osiguranja• Zakon velikih brojeva• Teorija verovatnoće–Klasična definicija verovatnoće– Slučajna č promenljiva

Matematičke osnove osiguranjaPojam slučajne č promenljiveSlučajna promenljiva X je takva promenljivakoja može primati različite brojčane vrednostisa određenom verovatnoćomSkup vrednosti koje slučajna č promenljivamože uzeti na slučajan način može bitikonačan (prebrojiv) i beskonačan(neprebrojiv)DISKRETNA i NEPREKIDNA promenljiva

Matematičke osnove osiguranjaFunkcija raspodele slučajne promenljiveF ( x) =P(X < x)x∫F ( X ) ( )= f x dx−∞Parametri raspodele: verovatnoća:•očekivana vrednost: E(X)•Varijansa: V(X)•standardna devijacija: σ

Funkcija doživljenja:Aktuarska matematikaVreme trajanja života kao slučajnapromenljivas( x)= P(X > x)za x>=0s( x)= 0za x

Neposredna primenafunkcije doživljenja:Aktuarska matematikaVreme trajanja života kao slučajnal 0 grupa novorodjenčadiX 1 ,X 2 ,....,X 0 su momenti smrtiL(X) – broj živih predstavnika grupekoji su doživeli X godinaL(X)l∑ I(X > x)i0 = ij =1 1verOsobijeOovatnoća:promenljiva

Neposredna primenafunkcije doživljenja:Aktuarska matematikaVreme trajanja života kao slučajnapromenljival x =E(L(X)) predstavlja broj živih lica starih x god.Može se pokazati da važi:l = l*s(x)x 0l x se izračunavaju iz tablica smrtnostiO bij O t ć

Aktuarska matematikaKriva smrtitDSlučajna promenljiva t D x :x=L(X)−L(X+t)=l0∑I(x

Aktuarska matematikaIntezitet smrtnostiOsoba je doživela x godina, kolika je verovatnoća smrtiu narednih t godina:P(xx)=P(x < XP(X≤ x + t)> x)=F(x + t)− F(x)1−F(x)Ako se posmatra interval (x,x+t), x+t) primenom Tejloroveformule se dobija:P(xx)=f(x)1−F(x)tIntezitet smrtnosti µ x

Aktuarska matematikaKamatna stopa Osiguranje života je dugoročno Koristeći tablicu smrtnosti odredjuje se veličina fonda zaosiguranje (za isplatu osiguranih suma u odredjenimrokovima) -Bu Kako se računa sadašnja vrednost fonda za osiguranje:A1= Bu *( 1+i)n16

Aktuarska matematikaKamatna stopa Kamatna stopa je u osnovi tarifne stope Odredjuje se od strane državnih organa U svetu se kreće od 3% do 5% Kod nas je 5% Zaključak: Tarifne stope zavise od nivoa smrtnosti ikamatne stope17

Obračun tarifa za osiguranje licaVerovatnoća ć života i smrti za jedno lice l x , l x+1 , l x+2 ,..., l x+n su oznake za broj živih lica starihx, x+1, x+2, ..., x+n godinal x >l x+1 >l x+2 > ... > l x+n d x - oznaka za broj lica koja umru u toku (x+1) -vegodine, tj: izmedu punih x i x+1 godina.d x = l x - l x+1 => l x+1 = l x - d x18

Obračun tarifa za osiguranje licaVerovatnoća ć života i smrti za jedno lice Verovatnoća da će lice staro x godina doživeti (x+1)-nugodinu: l+ 1x 1px=lx Verovatnoća da će lice staro x godina doživeti x+kgodine.klxl+ kpx=x19

Obračun tarifa za osiguranje licaVerovatnoća ć života i smrti za jedno lice Verovatnoća da lice staro x godina neće doživeti x+1godinu, tj. da će umreti u toku (x+1)-ve godineqxdlx x x+ 1= = 1xl− llx Verovatnoća da lice staro x godina neće doživeti x + kgodina, je:=−pxkqxdll− llx x x+ k= = 1xx=−kpx20

Obračun tarifa za osiguranje licaVerovatnoća ć trajanja j života Pitanje: Koliko je verovatno trajanje života lica koje ima xgodina? Odgovor: Za l x lica to će biti onda kada od njih ostaneživo l x+n lica. Ako prihvatimo da verovatnoća da će licestaro x godina živeti u proseku još n godina iznosi 50%,tada je:lxl+ nx=12 Treba naći n koristeći tablice smrtnosti21

Obračun tarifa za osiguranje licaVerovatnoća ć trajanja j životaPrimer: Koliko je verovatno trajanje života osobe stare 25godina?1.l1l25 +n=l2521*0,89835225 +n= =0,4491752. U tablicama smrtnosti nalazimo:l 65 (=0,46754)>l 25+n >l 66 (=0,44693)3. Zaokružujemo na manji broj: 25+n=65 => n ≈4022

Obračun tarifa za osiguranje licaSrednje trajanja j života-Prosečan broj godina koje bi još preživelo lice staro x god.-Posmatramo dva slučaja:I) Uzmimo da sve osobe koje umru u toku jedne godine umrupočetkom godine. Po ovoj varijanti od grupe koja čini l x lica starih xgodina sledecu (x+1)-vu godinu doživeće l x+1 lica. Drugu godinuproživece l x+2 ,itd.l x+1 + l x+2 + l x+3 + ... je ukupan broj godina koje prožive sve osobegrupe od l x lica.Srednje trajanje života lica iz ove grupe biće:exl + l +=x+1 x+2l x...≈23

Obračun tarifa za osiguranje licaSrednje trajanja j životaII)Uzmimo da sve osobe koje umru u toku jedne godine, umru krajemgodine, pa ce biti:l+l+ ...e ' =x x+ 1= 1+xlxexS obzirom na umiranje tokom cele godine, najbolje rešenje zasrednje trajanje života je aritmetička sredina, tj:e + e'1e0xxx = =+2 2ex≈24

Obračun tarifa za osiguranje licaSrednje trajanja j životaPrimer:Koliko iznosi srednje trajanje života osobe stare 30 godina?Rešenje:e030=1l +l+362 l3735+...=0,5+250890182581e030≈30,38≈25

Obračun tarifa za osiguranje licaKomutativni ti i brojevi za živa licaD x : - Broj diskontovanih živih lica starih x godinaDx=lrxx=lx*IIxpN x : - Zbir brojeva diskontovanih živih lica, počev od starosti x donajdublje starosti ωNx= Dx+ Dx+1 + ... + Dωx− Nx+1=DxN =27

Obračun tarifa za osiguranje licaKomutativni ti i brojevi za živa licaS x : - Zbir zbirova diskontovanih živih lica počev od starosti x donajdublje starosti ω koju prema tablicama doživi posmatranagrupa licaSx=NxSx−Sx+11+=NNx+x1+ ... + Nω28

Obračun tarifa za osiguranje licaKomutativni ti i brojevi za umrla licaC x : - broj diskontovanih umrlih lica u toku (x+1)-ve godineCx=rdx= d * IIx+1x+ 1 x pM x : - zbir brojeva diskontovanih umrlih lica, počev od onih koja suumrla u toku (x+1)-ve godineMMx=−CMx+x x+11C=1+ ... + CωCx+x−129

Obračun tarifa za osiguranje licaKomutativni ti i brojevi za umrla licaR x : - Zbir zbirova brojeva diskontovanih umrlih lica, počev sa onima kojisu umrli u toku (x+1)-ve godine starostiR +x= Mx+ Mx+ 1+ ... Mω−1− Rx+1MxR =x30

Obračun tarifa za osiguranje licaKomutativni ti i brojevi -rezimel x , p x , D x , N x i S x su pokazatelji vezani za broj živih licad x , q x , C x , M x iR x su pokazatelji vezani za broj umrlihlica Veze izmedju komutativnih brojeva D x , C x , N x i M xCx=lx−rlllx+ 1 x x+11= − = D * −x+1xIIprrDx+x+ 1 x+1131

Obračun tarifa za osiguranje licaKomutativni ti i brojevi -rezimeVeze izmedju komutativnih brojeva D x , C x , N x i M xZamenom C x uformuluzaM x dobija se:11M x= Dx* IIp− Dx+1+ Dx+1* IIp− Dx+2+MMxx==IID1px*−NNxx− ( Nx*(1 −−II1pD)x)...32

Obračun tarifa za osiguranje licaPrimeri primene komutativnih brojeva:Osiguranje lične renteOsiguranik može da uplati osiguravajućoj j kompanijijednokratnu premiju (mizu) ili da da plaća premije uratama da bi na osnovu toga obezbedio primanje rentedo kraja života ili za neki odredjeni period.Lična renta – renta koju osiguranik prima lično. Postoji irenta u korist trećeg licaRenta može biti: Vremenski odredjena ili doživotnaNeposredna ili odložena Anticipativna i dekurzivna33

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentaa) Anticipativna renta (renta početkom godine - perioda)Opšti zadatak: Koliko iznosi neto miza (M) koju trebada uplati lice staro x godina, da bi po osnovu uplateprimalo godišnju rentu od R dinara početkom svakegodine, neposredno od dana osiguranja, do kraja života?34

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentaa) Anticipativna rentaRešenje:Neka je a x oznaka za neto mizu za 1 din. ovakve rente.Pretpostavimo dalje da ce l x lica starih x godina osiguratirentuodpo1dinaradinara.Osiguravajuce društvo ce, u tom slučaju, od l x lica primitil x*a x dinara, a isplatiti:- pocetkom 1. godine l x *1 din = l x din.- pocetkom 2. godine l x+1 *1 din = l x+1 din.- pocetkom 3. godine l x+2 *1 din = l x+2 din.itd.35

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentaa) Anticipativna rentaRešenje:Poštujuci principe finansijske matematike koji važe i uaktuarskoj matematici, biće:zbir uplata = zbir isplata (svedenih na "danas")x 1 x+2lx* ax= lx+ + +2lrDxxxl+l...rrNa =xl lxx+ 1+ + ...D=>xxrr* a = NM = R*axx* ax=x + 1xx36

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentaa) Anticipativna rentaPrimer:Lice staro 35 godina, i lice staro 55 godina, osiguravarentu od 1.000 evra, koju će primati od dana osiguranjado kraja života, godišnje anticipativno za lice od 35 god.i godišnje dekurzivno za lice od 55 god. Koliko iznosimiza za ovo osiguranje?37

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentaa) Anticipativna rentaRešenje za 35 godina:aN 35358785,4535= = =D3520927,3017,14441444M = R* a 35=1.000*17,14441444 =17.144,401444038

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentab) Dekurzivna renta (renta na kraju godine - perioda)Opšti zadatak: Koliko iznosi neto miza (M) koju trebada uplati lice staro x godina, da bi po osnovu uplateprimalo godišnju rentu od R dinara na kraju svakegodine, neposredno od dana osiguranja, do kraja života?39

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentab) Dekurzivna renta (renta na kraju godine - perioda)Rešenje:Na' ' =x+1xDxM=R*a'x40

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteNeposredna doživotna lična rentab) Dekurzivna rentaRešenje za 55 godina:aN80583,6437340,5456'55= = =D5510,97789M = R* a'55=1.000*10,97789=10.977,8941

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteOdložena doživotna lična rentaOpšti zadatak: Lice staro x godina osigurava rentu od Rdinara koju treba da prima doživotno, počev od isteka kgodina od dana osiguranja. Izračunati neto mizu za ovoosiguranje.NB: Ako osiguranik umre pre nego što počne da primarentu, uplaćenu mizu zadržava osiguravajuće društvo,a ako umre posle primljene prve rente, preostali deomize se koristi za isplatu živim osiguranicima.42

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteOdložena doživotna lična rentaa) Anticipativna renta (renta početkom (k+1) godine)Rešenje:Ako je ka x oznaka za neto mizu za 1 dinar ove rente,onda se dobije:kNa =x+kxDxM=R*kax43

Obračun tarifa za osiguranje licaOsiguranje lične renteOdložena doživotna lična rentaa) Dekurzivna renta (renta na kraju (k+1) godine)Rešenje:Ako je ka x oznaka za neto mizu za 1 dinar ove rente,onda se dobije:kNa' =x+k + 1xDxM=R*ka'x44

PITANJA?45

Primeri za vežbu1. Lice staro 40 godina osiguralo je rentu od 1.000 evrada je prima doživotno po isteku 5 godina od danaosiguranja. Koliku će neto mizu platiti ovo licea) Antivipativnob) Dekurzivno46