YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

3 Metoda nejmenších čtvercůV předchozích kapitolách jsme viděli, jak interpolovat funkci polynomy nebo goniometrickými funkcemi.Ve všech uvedených případech byl počet podmínek roven počtu neznámých koeficientů. Co udělat vpřípadě, kdy je počet podmínek větší než je počet stupňů volnosti, které máme k dispozici? Můžemese snažit minimalizovat chybu aproximace v nějaké vhodné normě genetované skalárnímm součinem.Tento postup se nazývá metoda nejmenších čtverců.Nechť V je vektorový prostor, f ∈ V a φ 1 ,φ 2 ,...,φ n nechť jsou lineárně nezávislé prvky z V . Chcemeurčit lineární kombinaci prvků φ 1 ,φ 2 ,...,φ n takovou, že normabude nejmenší možná. Označme||f −n∑a k φ k ||k=1v(a 1 ,... ,a n ) = ||f −n∑a k φ k || 2 .Jelikož funkce v je spojitá na R n a lim |a|→∞ v(a) = ∞, má na R n globá lní minimum. Jelikož v máderivaci pro všechny n-tice a = a 1 ,...,a n , je minimum v bodě, kdepro všechna k = 1,2,... ,n.Snadno se spočítá, že∂v(a)∂a k⎛= ∂ ⎝f −∂a k⎛= ∂ (f,f) − 2 ∂ ⎝f,∂a k ∂a k= −2 ∂∂a k∂v(a)∂a k= 0k=1n∑n∑a j φ j ,f −j=1 m=1⎞ ⎛a j φ j ⎠ + ∂ n∑⎝∂a ka m φ m⎞⎠ =n∑j=1j=1n∑a j φ j ,m=1∑ n a j (f,φ j ) + ∂ ∑ n n∑a j a m (φ j ,φ m ) =∂aj=1k j=1 m=1n∑= −2(f,φ k ) + 2 a j (φ k ,φ j ).j=1Tedy koeficienty a k najdeme jako řešení soustavy rovnica 1 (φ 1 ,φ 1 ) + a 2 (φ 1 ,φ 2 ) + ... + a n (φ 1 ,φ n ) = (f,φ 1 )a 1 (φ 2 ,φ 1 ) + a 2 (φ 2 ,φ 2 ) + ... + a n (φ 2 ,φ n ) = (f,φ 2 )a 1 (φ n ,φ 1 ) + a 2 (φ n ,φ 2 ) + ... + a n (φ n ,φ n ) = (f,φ n )...a m φ m⎞⎠ =Uvedená soustava lineárních rovnic má právě jedno řešení. To plyne z lineární nezávislosti prvků φ k .Volba skalárního součinu, prostoru V a prvků φ k závisí na úloze. Budeme-li chtít proložit sadu bodůpolynomem (podstatně) nižšího stupně, než je počet bodů, uvažujeme diskrétní skalární součin(u,v) =n∑u k v k .k=19