YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

Tím se dostáváme zpět k definici diskrétní Fourierovy transformaci, platía k = 1 N z k.Podívejme se nyní, jak je zastoupena frekvence k ve vektoru y. Je zřejmé, že nejvyšší rozpoznatelnáfrekvence z N hodnot je frefvence N N−12pro N sudé a2pro N liché. Této frekvenci se říká Nyquistovafrekvence. Dále platísinj(N − k)2πN= − sin jk2πN ,j(N − k)2πcosN= cos jk2πN .Tedy zastoupení frekvence k dostaneme z koeficientu a k a a N−k . Označme Re(a k ) reálnou část číslaa k a Im(a k ) imaginární část čísla a k .Jestliže y je reálný vektor, je z definice vidět, že z N−k = ¯z N .Pro reálný vektor y jsou vektory v k a v N−k zastoupeny v y ve tvaru= 1 N z k(cos k2πN(1N z N−k cos k2πNa k v k + a N−k v N−k = 1 N z kv k + 1 N z N−kv N−k =k2πi 2k2π+ isin ,cosN Nk2πi 2k2π− isin ,cosN N(= 2 N Re(z k)− 2 (N Im(z k)cos k2πNsin k2πN+ isin 2k2πN,cos2k2πN,... ,cos(N − 1)k2πN,... ,cos(N − 1)k2πN+ sin2k2π (N − 1)k2π− isin ,... ,cos − sinN N)−,sin2k2πNTedy frekvence k je ve vektoru y zastoupena s amplitudouc k = 2 N |z k|.,... ,sin(N − 1)k2πN).)(N − 1)k2π+N)(N − 1)k2π=NPři počítání skalárních součinů lze mnoho operací ušetřit, má-li vektor y 2 m prvků, m ∈ N. Efektivnímualgoritmu, který toto využívá, se říká rychlá Fourierova transformace (Fast Fourier Transform,FFT).Příklad 2.1 Uvažujme N = 30 a body x 0 ,x 1 ,... ,x N−1 na intervalu 〈0,2π〉 tak, že x k = x 0 + k 2π N .Položmey k = 3sin x k − 5cos(x k − 2).Ověřte, že diskretní Fourierova transformace udává správné amplitudy frekvencí.V předchozím příkladu zvolte N = 300 a přičtěte k y náhodnou poruchu velikosti řádově 1. Zobraztevýsledek. Proveďte Fourierovu diskrétní transformaci a ve výsledku vynulujte amplitudy frekvencívyšších než 10. Převeďte zpětnou Fourierovou transformací na reálný vektor a zobrazte.Diskrétní Fourierova transformace má mnoho zajímavých vlastností, souvisí s Fourierovou (integrální)transformací a s Fourierovými řadami. Ucelené pojednání lze najít v knize [2].8