YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

2 Diskrétní Fourierova transformaceV této části budeme používat označení (.,.) c pro skalární součin definovaný pro vektory komplexníchčísel u = (u 1 ,u 2 ,...,u n ) a v = (v 1 ,v 2 ,...,v n )(u,v) c =n∑u k¯v k ,kde ȳ značí číslo komplexně sdružené k y, tedy jestliže u = a + ib, pak ū = a − ib. Absolutní hodnotakomplexního čísla je |a + ib| = √ a 2 + b 2 .k=1Definice 2.1 Diskrétní Fourierova transformace vektoru y = (y 0 ,...,y N−1 ) je vektor z = (z 0 ,... ,z N−1 ),pro který platíz k =N−1 ∑j=0y j e −jk2πiN .Zpětná diskrétní Fourierova transformace vektoru z = (z 0 ,...,z N−1 ) je vektor y = (y 0 ,...,y N−1 ), prokterý platíy k = 1 NN−1 ∑j=0z j e jk2πiN .Uvažujme interval 〈0,2π〉 a na něm rovnoměrně rozložené body x 0 = 0,x 1 ,x 2 ,...,x N−1 ,x N = 2π ajim odpovídající y-ové hodnoty y 0 ,...,y N . Budeme předpokládat y N = y 0 , neboť vektor y považujemeza reprezentaci periodického signálu opakujícího se po N prvcích. V tomto textu budeme uvažovatpouze reálné vektory y. Naším cílem bude určit, jak jsou ve vektoruy = (y 0 ,...,y N−1 )zastoupeny vektory(v k =e k2πiN,e 2k2πiN),... ,e (N−1)k2πiNpro k = 0,1,2,... ,N − 1. Vektory v k jsou komplexní,(v k = cos k2π k2πi 2k2π+ isin ,cosN N N+ isin 2k2π (N − 1)k2π,...,cosN Njsou navzájem ortogonální a platí+ sin)(N − 1)k2π,N(v k ,v k ) =N−1 ∑j=0N−1e jk2πiN e −jk2πi ∑N =j=01 = N.Potřebujeme tedy vyjádřit vektor y jako lineární kombinaci vektorů v 0 ,v 1 ,... ,v N−1 ,y =N−1 ∑k=0a k v k .Díky ortogonalitě vektorů v k jsou koeficienty a k hledané lineární kombinacea k = (y,v k) c= 1 (v k ,v k ) c N (y,v k) c = 1 N−1 ∑y j e −jk2πiN .N7j=0