YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

kde l k (x) jsou polynomy z důkazu Věty 1.2. Je vidět, že integrace bude přesná pro polynomy až dostupně n.Budeme se snažit zvolit uzly integrace co nejvýhodněji, a to tak aby integrační vzorec byl přesnýpro polynomy co nejvyššího stupně. Ukáže se, že pro interval 〈a,b〉 tato volba odpovídá kořenůmLegendreových polynomů ortogonálních na 〈a,b〉.Věta 1.6 (Gaussova integrace) Nechť x 0 ,x 1 ,... ,x n jsou kořeny Legendreova polynomu L n+1 stupněn + 1 na intervalu 〈a,b〉. Nechť a k jsou dány vztahy (3). Pak platí rovnost∫ bn∑f(x)dx = a k f(x k ),je-li f polynom stupně nejvýše 2n + 1.aDůkaz stojí za to uvést. Mějme polynom p 2n+2 stupně nejvýše 2n + 1. Polynom p 2n+1 lze vyjádřitjakop 2n+1 = L n+1 (x)q n (x) + r n (x),kde q n a r n jsou polynomy stupně nejýše n (dělení polynomu polynomem). Potom∫ bap 2n+1 (x)dx =∫ bak=0L n+1 (x)q n (x)dx +∫ bar n (x)dx.První integrál na pravé straně je nula, protože L n+1 je ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýšen na 〈a,b〉. Dále∫ bn∑r n (x)dx = a k r(x k ),aneboť a k jsme volili tak, aby integrace byla přesná pro polynomy až do stupně n. Dálen∑n∑a k r(x k ) = a k (L n+1 (x k )q n (x k )r(x k )) ,k=0k=0k=0protože x k jskou kořeny L n+1 . A samozřejměn∑a k (L n+1 (x k )q n (x k ) + r(x k )) =tedy dostali jsmek=0∫ bap 2n+1 (x)dx =n∑a k p 2n+1 (x k ),k=0n∑a k p 2n+1 (x k ).Tedy integrační vzorec je přesný pro polynomy až do stupně 2n + 1.Gaussova integrace je nejefektivnější způsob získání přibližného integrálu. V knize [1] lze najít hodnotyuzlů x k a vah a k pro Gaussovu integraci na úsečce, na obdélníku a na trojúhelníku.Příklad 1.4 Spočtěme přibližný integrál funkce f(x) = 4x 4 + 3x 2 + 1 na intervalu 〈0,2〉 pomocíobdélníkového pravidla, Simpsonova pravidla a pomocí Gaussovy integrace se 2 body. Zjistěte, kolikuzlů je potřeba zvolit pro obdélníkové a Simpsonovo pravidlo, aby přesnost výsledku byla asi 0.01.Spočtěte přesně a přibližně integrál∫ 1 ∫ 200k=0x 2 y 3 + 3y 2 dxdy.Použijte obdélníkové pravidlo a Gaussovu integraci se 4 (2 × 2) body.6