YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

Ortogonální polynomy. Označme L 2 〈a,b〉prostor funkcíSkalární součin a normu v L 2 〈a,b〉 definujme∫ bL 2 〈a,b〉 = {f; f 2 (x)dx < ∞}.(f,g) =||f|| =a∫ ba√ ∫ bf(x)g(x)dx,af(x) 2 dx.Říkáme, že funkce f a g jsou ortogonální na intervalu 〈a,b〉, jestliže (f,g) = 0.Věta 1.4 Nechť V je prostor se skalárním součinem a nechť M = {v 1 ,v 2 ,... ,v n } je množina lineárněnezávislých prvků z V . Potom existuje množina P = {w 1 ,w 2 ,...,w n } ⊂ V tak, že lineární obaly M aP se shodují a že (w k ,w j ) = 0 pro k ≠ j (prvky v P jsou navzájem ortogonální).Zkonstruujeme systém navzájem ortogonálních polynomů na intervalu 〈a,b〉.Věta 1.5 (Konstrukce ortogonálních polynomů.) Zvolíme-li p −1 (x) = 0, p 1 (x) = 1 ap k+1 (x) = (x − α k )p k (x) − β k p k−1 (x),kdeα k = (xp k(x),p k (x))(p k (x),p k (x))jsou polynomy p 1 (x),p 2 (x),... navzájem ortogonální.aβ k = (xp k(x),p k−1 (x))(p k−1 (x),p k−1 (x)) ,Zvolíme-li a = −1, b = 1, je posloupnostL 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L k+1 (x) = 2k + 1k + 1 xL k −kk + 1 L k−1,k = 1,2,..., navzájem ortogonální. Tyto polynomy se nazývají Legendreovy ortgonální polynomy prointerval 〈−1,1〉. Lineární transformací dostaneme posloupnost ortogonálních polynomů na libovolnémintervalu 〈a,b〉. Výhodně je využijeme pro numerickou integraci.Gaussova integrace. Integrační vzorec je opět typukde a k jsou váhy a x k jsou uzly integrace.I n (f) =n∑a k f(x k ),k=0Předpokládejme na chvíli, že uzly integrace jsou dány. Proložíme-li body [x k ,f(x k )], k = 0,1,... ,n,Lagrangeův interpolační polynom stupně n, váhy a k pak budou (stejně jako v (2))a k =∫ bal k (x)dx, (3)5