YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace
YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace
Oblast stability pro metodou Crankovu-Nicolsonové je množina všech komplexních čísel se zápornoureálnou částí.Řešme úlohu (9) Rungovou-Kuttovou metodou 2. řádu. Dostanemeu n+1 = u n + h 2 (λu n + λ(u n + hλu n )) =(1 + hλ + (hλ)22)u n =(1 + hλ + (hλ)22Oblast stability pro Rungovu-Kuttovu metodu 2. řádu je tedy ovál v komplexní roviněA = {x ∈ C; |(x + 1 − i)(x + 1 + i)| ≤ 2}.Snadno se ukáže, že tato množina obsahuje kruh se středem v bodě [−1,0] a poloměrem 1.) nu 0 .Volba kroku h tedy může tedy dosti záviset na fnkci f. Jestliže pravá strana f je přibližně jako−5y(t), je potřeba u jednotlivých metod přizpůsobit volbu kroku h. Pro Eulerovu explicitní metodui pro Rungovu-Kuttovu metodu musíme vzíth < −2(−5)(−5) 2 = 2 5 .Pro Eulerovu implicitní metodu ani pro metodu Crankovu-Nicolsonové podmínka stability v tomtopřípadě omezení na h nedává.Definice 4.6 Řekneme, že metoda je A-stabilní, jestliže oblast stability obsahuje všechna komplexníčísla se zápornou složkou.A-stabilní metody tedy mohou použít libovolnou délku kroku, je-li Re(λ) < 0 pro λ na pravé straněrovnice (9). Eulerova implicitní metoda a metoda Crankova-Nicolsonové jsou A-stabilní.Příklad 4.1 Porovnejte přesné řešení úlohy (9) pro λ = −5 s přibližnými řešeními uvedenými metodamipro různou volbu kroku h.16
5 Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnicReferences[1] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, 1997.[2] V. Čížek, Diskrétní Fourierova transformace a její použití. SNTL - Nakladatelství technické literatury,Praha, 1981.[3] G. H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press,Baltimore, London, 1996.[4] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics. Springer 2000.[5] E. Vitásek, Numerické metody. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, 1987.17
- Page 4 and 5: kde x k jsou středy intervalů. Ch
- Page 6 and 7: kde l k (x) jsou polynomy z důkazu
- Page 8 and 9: Tím se dostáváme zpět k definic
- Page 11 and 12: 4 Numerické řešení obyčejných
- Page 13 and 14: Budeme zkoumat, jaké chyby se dopu
5 Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnicReferences[1] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, 1997.[2] V. Čížek, Diskrétní Fourierova transformace a její použití. SNTL - Nakladatelství technické literatury,Praha, 1981.[3] G. H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press,Baltimore, London, 1996.[4] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics. Springer 2000.[5] E. Vitásek, Numerické metody. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, 1987.17
Change language