YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

Tedy mámeu 1 − y 1 =Tedy= u 0 + h 2 (f(0,u 0) + f(t 1 ,u 1 )) − y(0) − t 12( y ′ (0) + y ′ (t 1 ) ) + t2 18 y′′′ (η 3 )(η 1 − η 0 ) == h 2 (f(t 1,u 1 ) − f(t 1 ,y(t 1 ))) + t2 18 y′′′ (η 3 )(η 1 − η 0 ).|u 1 − y 1 | ≤ h 2 L|u 1 − y 1 | + h38 |y′′′ (η 3 )|,(|u 1 − y 1 | ≤ h31 − hL ) −1|y ′′′ (η 3 )| = O(h 3 ).8 2Tedy lokální diskretizační chyba metody Crankovy-Nicolsonové je řádu O(h 3 ) pro úlohy, kde řešenímá druhou derivaci. Tato metoda je tedy řádu 2.Rungova-Kuttova metoda 2. řádu. Pro tuto metoduu k+1 = u k + h 2 (f(t k,u k ) + f(t k+1 ,u k + hf(t k ,u k ))) .Nechť má řešení y třetí derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉. Stejně jako u předchozí metody máme (8) zTaylorových rozvojů funkce y v bodech t = 0 a t = t 1 pro nějaké η 0 ,η 1 ∈ (0,t 1 ). Podle Lagrangeovyvěty o střední hodnotě existuje ω ∈ (0,t 1 ) tak, žey ′′ (η 1 ) − y ′′ (η 0 ) = y ′′′ (ω)(η 1 − η 0 ).Tedy mámeu 1 − y 1 == u 0 + h 2 (f(t 0,u 0 ) + f(t 1 ,u 0 + hf(t 0 ,u 0 ))) − y(0) − t 12 (y′ (0) + y ′ (t 1 )) + t3 18 y′′′ (ω)(η 1 − η 0 ) == h 2 f(t 1,u 0 + hf(t 0 ,u 0 )) − h 2 y′ (t 1 ) + t3 18 y′′′ (ω)(η 1 − η 0 ) == h 2 f(t 1,u 0 + hf(t 0 ,u 0 )) − h 2 f(t 1,y(t 1 )) + t3 18 y′′′ (ω)(η 1 − η 0 ).Jelikož f je lipschitzovská vzhledem k y, máme|u 1 − y 1 | ≤ L h 2 |u 0 + hf(t 0 ,u 0 ) − y(t 1 )| + t3 18 |y′′′ (ω)| |η 1 − η 0 | == L h 2 |u 0 + hy ′ (0) − y(0) − t 1 y ′ (0) − 1 2 t2 1 y′′ (η 3 )| + t3 18 |y′′′ (ω)| |η 1 − η 0 |pro nějaké η 3 ∈ (0,t 1 ). Tedy|u 1 − y 1 | ≤ L h34 |y′′ (η 3 )| + h48 |y′′′ (ω)| = O(h 3 ).Tedy lokální diskretizační chyba Rungovy-Kuttovy metody 2. řádu je řádu O(h 3 ) pro úlohy, kde řešenímá třetí derivaci. Neboli, tato metoda je skutečně řádu 2, jak je v názvu uvedeno.Nyní budeme zkoumat, zda mají tyto numerické metody další přijatelné vlastnosti. Jednou z nichje stabilita v následujícím smyslu. Chceme, aby pro úlohu, pro jejíž řešení y platí lim t→∞ y(t) = 0,platilo lim n→∞ u n = 0.14