YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace
YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace
S pomocí uvedené věty ukážeme, že Cauchyova úloha je pro lipschitzovskou funkci f ljapunovksystabilní, t.j. při malých změnách v zadání úlohy dostaneme malé změny řešení.Věta 4.3 Je-li f lipschitzovská vzhledem k y na R, je Cauchyova úloha (4)-(5) ljapunovsky stabilní.Uvedeme důkaz. Nechť y je řešení úlohy (4)-(5) a z je řešení úlohy (6)-(7), kde |δ 0 | ≤ ǫ, |δ(t)| ≤ ǫ,t ∈ 〈0,T 〉. Platí∫ Tz ′ (t) − y ′ (t) = z(T) − y(T) − (z(0) − y(0)) = z(T) − y(T) − δ 0a takéTedyPodle Věty 4.2 je0∫ T0z ′ (t) − y ′ (t) =∫ T0∫ Tf(t,z(t)) − f(t,y(t))dt + δ(t)dt.0∫ T|z(t) − y(t)| ≤ |δ 0 | + L |z(t) − y(t)|dt + ǫT.0|z(t) − y(t)| ≤ ǫ(1 + T)e LT .Tedy pro změnu dat v úloze řádu ǫ máme změnu řešení velikosti Cǫ, kde C je konstanta závislá na La T. Všimněme si, že pro rostoucí T může tato konstanta exponenciálně růst.Z numerických metod pro řešení Cauchyovy úlohy ukážeme jen čtyři. Nejdříve zavedeme označení.Budeme hledat řešení úlohy (4)-(5) na intervalu 〈0,T 〉. Obecně lze přizpůsobit jakýkoliv interval tétoformulaci lineární transformací proměnné t. V intervalu 〈0,T 〉 budeme uvažovat n + 1 dělících bodůt k = k h,k = 0,1,... ,n,kde h = T/n. Numerická metoda poskytne aproximaci řešení v těchto bodech. Pro jednoduchostdalších zápisů označíme hodnoty přesného řešeníy k = y(t k ),k = 0,1,... ,n,a aproximaci přesného řešení v bodě t k numerickou metodou u k , k = 0,1,2,... ,n. Pro každou metodupoložíme u 0 = y 0 .Budeme se zabývat pouze metodami jednokrokovými. Takové metody používají pro získání aproximaceu k+1 jen u k . Označme obecně pravidlo jednokrokové metodyu k+1 = u k + hΦ(t k ,u k ).Vícekrokové metody jsou uvedeny např. v [1, 4, 5].Protože se budeme zabývat analýzou chyb numerických metod, zavedeme následující označení.Definice 4.3 Řekneme, že výraz v(h) definovaný v okolí bodu h = 0 je typu O(hp ), p ∈ N, píšemev(h) = O(h p ),jestliže existuje konstanta C a okolí bodu h = 0 takové, že pro všechna h z tohoto okolí je∣ v(h) ∣∣∣∣ h p ≤ C.(Jinými slovy, v(h)h p je omezená na nějakém okolí bodu h = 0.)12
Budeme zkoumat, jaké chyby se dopustíme po jednom kroku metody, tedy nahradíme-li y 1 přibližnýmřešením u 1 . Tato chyba se nazývá lokální diskretizační chyba. Jestliže je lokální diskretizační chybaO(h p+1 ), je chyba po n krocích |u n − y n | řádověn O(h p+1 ) = T h O(hp+1 ) = T O(h p ).Definice 4.4 Řekneme, že metoda je řádu p, jestliže lokální diskretizační chyba metody je O(hp+1 ).Zdůrazněme, že řád metody závisí na hladkosti (počtu derivací) řešení.konverguje. Probereme postupně čtyři metody.Čím vyšší řád, tím lépe metodaExplicitní Eulerova metoda. Pro tuto metoduu k+1 = u k + hf(t k ,u k ).Jestliže má řešení y druhou derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉, máme z Taylorova rozvoje y v bodě t = 0u 1 − y 1 = u 0 + hf(t 0 ,u 0 ) − y 0 − hy ′ (0) + y′′ (η)2h 2 = y′′ (η)h 2 ,2kde η je nějaký bod v intervalu (0,t 1 ). Tedy lokální diskretizační chyba Eulerovy explicitní metodyje řádu O(h 2 ) pro úlohy, kde řešení y má druhou derivaci. Neboli, tato metoda je řádu 1.Implicitní Eulerova metoda. Pro tuto metoduu k+1 = u k + hf(t k+1 ,u k+1 ).Jestliže má řešení y druhou derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉, máme z Taylorova rozvoje y v bodě t = t 1u 1 − y 1 = u 0 + hf(t 1 ,u 1 ) − y 0 − hy ′ (t 1 ) + y′′ (η)2h 2 = y′′ (η)h 2 ,2kde η je nějaký bod v intervalu (0,t 1 ). Tedy lokální diskretizační chyba Eulerovy implicitní metodyje řádu O(h 2 ) pro úlohy, kde řešení má druhou derivaci. Neboli, tato metoda je řádu 1.Metoda Crankova-Nicolsonové. (Lichoběžníková metoda.) Pro tuto metoduu k+1 = u k + h 2 (f(t k,u k ) + f(t k+1 ,u k+1 )) .Nechť má řešení y třetí derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉. Z Taylorových rozvojů funkce y v bodech t = 0 at = t 1( ) t1y = y(0) + t 12 2 y′ (0) + t2 12 2 · 2! y′′ (η 0 )a( ) t1y = y(t 1 ) − t 12 2 y′ (t 1 ) + t2 12 2 · 2! y′′ (η 1 )mámey(t 1 ) − y(0) = t 12 (y′ (0) + y ′ (t 1 )) − t2 18 (y′′ (η 1 ) − y ′′ (η 0 )) (8)pro nějaké η 0 ,η 1 ∈ (0,t 1 ). Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě (předmět MA1) existuje ω ∈(0,t 1 ) tak, žey ′′ (η 1 ) − y ′′ (η 0 ) = y ′′′ (ω)(η 1 − η 0 ).13
- Page 4 and 5: kde x k jsou středy intervalů. Ch
- Page 6 and 7: kde l k (x) jsou polynomy z důkazu
- Page 8 and 9: Tím se dostáváme zpět k definic
- Page 11: 4 Numerické řešení obyčejných
- Page 16 and 17: Oblast stability pro metodou Cranko
S pomocí uvedené věty ukážeme, že Cauchyova úloha je pro lipschitzovskou funkci f ljapunovksystabilní, t.j. při malých změnách v zadání úlohy dostaneme malé změny řešení.Věta 4.3 Je-li f lipschitzovská vzhledem k y na R, je Cauchyova úloha (4)-(5) ljapunovsky stabilní.Uvedeme důkaz. Nechť y je řešení úlohy (4)-(5) a z je řešení úlohy (6)-(7), kde |δ 0 | ≤ ǫ, |δ(t)| ≤ ǫ,t ∈ 〈0,T 〉. Platí∫ Tz ′ (t) − y ′ (t) = z(T) − y(T) − (z(0) − y(0)) = z(T) − y(T) − δ 0a takéTedyPodle Věty 4.2 je0∫ T0z ′ (t) − y ′ (t) =∫ T0∫ Tf(t,z(t)) − f(t,y(t))dt + δ(t)dt.0∫ T|z(t) − y(t)| ≤ |δ 0 | + L |z(t) − y(t)|dt + ǫT.0|z(t) − y(t)| ≤ ǫ(1 + T)e LT .Tedy pro změnu dat v úloze řádu ǫ máme změnu řešení velikosti Cǫ, kde C je konstanta závislá na La T. Všimněme si, že pro rostoucí T může tato konstanta exponenciálně růst.Z numerických metod pro řešení Cauchyovy úlohy ukážeme jen čtyři. Nejdříve zavedeme označení.Budeme hledat řešení úlohy (4)-(5) na intervalu 〈0,T 〉. Obecně lze přizpůsobit jakýkoliv interval tétoformulaci lineární transformací proměnné t. V intervalu 〈0,T 〉 budeme uvažovat n + 1 dělících bodůt k = k h,k = 0,1,... ,n,kde h = T/n. Numerická metoda poskytne aproximaci řešení v těchto bodech. Pro jednoduchostdalších zápisů označíme hodnoty přesného řešeníy k = y(t k ),k = 0,1,... ,n,a aproximaci přesného řešení v bodě t k numerickou metodou u k , k = 0,1,2,... ,n. Pro každou metodupoložíme u 0 = y 0 .Budeme se zabývat pouze metodami jednokrokovými. Takové metody používají pro získání aproximaceu k+1 jen u k . Označme obecně pravidlo jednokrokové metodyu k+1 = u k + hΦ(t k ,u k ).Vícekrokové metody jsou uvedeny např. v [1, 4, 5].Protože se budeme zabývat analýzou chyb numerických metod, zavedeme následující označení.Definice 4.3 Řekneme, že výraz v(h) definovaný v okolí bodu h = 0 je typu O(hp ), p ∈ N, píšemev(h) = O(h p ),jestliže existuje konstanta C a okolí bodu h = 0 takové, že pro všechna h z tohoto okolí je∣ v(h) ∣∣∣∣ h p ≤ C.(Jinými slovy, v(h)h p je omezená na nějakém okolí bodu h = 0.)12
Change language