YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

4 Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnicDiferenciální rovnice popisují mnoho přírodních i společenských jevů. Najít řešení diferenciální rovniceznamená zjistit prostorový nebo časový vývoj některé veličiny, během jevu nebo procesu, který jedanou diferenciální rovnicí popsán.Protože často neumíme najít řešení přesně, používáme různé numerické metody, které poskytnouřešení přibližné. Často lze získat řešení libovolně přesné.V některých diferenciálních rovnicích se vyskytuje jako nezávisle proměnná čas (let střely, vedení tepla,vývoj populace). Takové úlohy obvykle mají zadané ještě další vlastnosti (počáteční podmínky), kterémají být splněny v čase t = 0. Říkáme jim počáteční úlohy nebo Cauchyovy úlohy. Jiné rovnice majíza nezávisle proměnnou prostorovou proměnnou x (průhyb prutu, ustálené vedení tepla). Tyto úlohymají často zadané další podmínky v různých částech hranice oblasti, kde se hledá řešení. To jsouúlohy okrajové. V této části se budeme věnovat první skupině - počátečním úlohám.Budeme řešit úlohu najít y ∈ C 1 〈0,T 〉takovou, že pro t ∈ 〈0,T 〉y ′ (t) = f(t,y(t)), (4)y(0) = y 0 . (5)Budeme předpokládat, že funkce f je spojitána 〈0,T 〉 × R.Než přistoupíme k numerickému řešení úlohy (4)-(5), zjistíme, jaké vlastnosti má její přesné řešení.Definice 4.1 Funkce f je lipschitzovská na intervalu I s konstantou L, jestliže pro každé x,y ∈ Iplatí|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|.Věta 4.1 Nechť existuje L > 0 takové, že f je lipschitzovská s konstantou L vzhledem k y na intervalu(−∞, ∞) pro všechna t ∈ 〈0,T 〉. Potom má Cauchyova úloha (4)-(5) právě jedno řešení v 〈0,T 〉.Definice 4.2 Cauchyova úloha je ljapunovsky stabilní, jestliže pro každé ǫ a pro každou perturbaciúlohy (4)-(5)z ′ (t) = f(t,z(t)) + δ(t), (6)z(0) = y 0 + δ 0 , (7)kde |δ 0 | ≤ ǫ, |δ(t)| ≤ ǫ, pro t ∈ 〈0,T 〉, existuje C > 0 tak, že pro t ∈ 〈0,T 〉|y(t) − z(t)| ≤ Cǫ.Věta 4.2 (Gronwallovo lemma.) Nechť p je integrovatelná a nezáporná funkce na (0,T) a nechť g aφ jsou spojité na 〈0,T 〉 a g je neklesající. Jestližet ∈ 〈0,T 〉, potom∫ tφ(t) ≤ g(t) + p(s)φ(s)ds,0∫ tφ(t) ≤ g(t)ep(s)ds 0 .11