YNUM - Numerická matematika 1 Numerická integrace

kde x k jsou středy intervalů. Chyba integrace jeE 0,m (f) ≤ m 1 24 H3 maxη∈〈a,b〉 f ′′ (η) = b − a24 H2 maxη∈〈a,b〉 f ′′ (η).Stupeň přesnosti obdélníkového středového pravidla je 1.Lichoběžníkové pravidlo. Přibližný integrál je aproximován výrazemI 1 (f) = b − a2Předpokládáme-li, že f ∈ C〈a,b〉 2 , je chyba integrace(f(a) + f(b)).E 1 (f) = 112 H3 f ′′ (η),kde H = b − a a η je nějaký bod v intervalu (a,b). Složené integrační pravidlo pro rovnoměrné dělenís m intervaly délky H jeI 1,m (f) = H 2m−1 ∑k−0kde x k jsou krajní body intervalů. Chyba integrace je(f(x k ) + f(x k+1 )) ,E 1,m (f) ≤ m 1 12 H3 maxη∈〈a,b〉 f ′′ (η) = b − a12 H2 maxη∈〈a,b〉 f ′′ (η).Stupeň přesnosti lichoběžníkového pravidla je 1.Simpsonovo pravidlo. Přibližný integrál je aproximován výrazemI 2 (f) = b − a6(f(a) + 4fPředpokládáme-li, že f ∈ C〈a,b〉 4 , je chyba integrace( a + bE 2 (f) = 1 ( ) H 5f ′′′′ (η),90 22) )+ f(b) .kde H = b − a a η je nějaký bod v intervalu (a,b). Složené integrační pravidlo pro rovnoměrné dělenís m intervaly délky 2H jeI 2,m (f) = H 6 (f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + 2f(x 4 ) + ... + 4f(x 2m−1 ) + f(x 2m )) ,kde x k jsou krajní body intervalů. Chyba integrace jeE 2,m (f) ≤ cH 4 maxη∈〈a,b〉 f ′′′′ (η),kde c je konstanta závislá pouze na a, b a H. Stupeň přesnosti lichoběžníkového pravidla je 3.4

Ortogonální polynomy. Označme L 2 〈a,b〉prostor funkcíSkalární součin a normu v L 2 〈a,b〉 definujme∫ bL 2 〈a,b〉 = {f; f 2 (x)dx < ∞}.(f,g) =||f|| =a∫ ba√ ∫ bf(x)g(x)dx,af(x) 2 dx.Říkáme, že funkce f a g jsou ortogonální na intervalu 〈a,b〉, jestliže (f,g) = 0.Věta 1.4 Nechť V je prostor se skalárním součinem a nechť M = {v 1 ,v 2 ,... ,v n } je množina lineárněnezávislých prvků z V . Potom existuje množina P = {w 1 ,w 2 ,...,w n } ⊂ V tak, že lineární obaly M aP se shodují a že (w k ,w j ) = 0 pro k ≠ j (prvky v P jsou navzájem ortogonální).Zkonstruujeme systém navzájem ortogonálních polynomů na intervalu 〈a,b〉.Věta 1.5 (Konstrukce ortogonálních polynomů.) Zvolíme-li p −1 (x) = 0, p 1 (x) = 1 ap k+1 (x) = (x − α k )p k (x) − β k p k−1 (x),kdeα k = (xp k(x),p k (x))(p k (x),p k (x))jsou polynomy p 1 (x),p 2 (x),... navzájem ortogonální.aβ k = (xp k(x),p k−1 (x))(p k−1 (x),p k−1 (x)) ,Zvolíme-li a = −1, b = 1, je posloupnostL 0 (x) = 1, L 1 (x) = x, L k+1 (x) = 2k + 1k + 1 xL k −kk + 1 L k−1,k = 1,2,..., navzájem ortogonální. Tyto polynomy se nazývají Legendreovy ortgonální polynomy prointerval 〈−1,1〉. Lineární transformací dostaneme posloupnost ortogonálních polynomů na libovolnémintervalu 〈a,b〉. Výhodně je využijeme pro numerickou integraci.Gaussova integrace. Integrační vzorec je opět typukde a k jsou váhy a x k jsou uzly integrace.I n (f) =n∑a k f(x k ),k=0Předpokládejme na chvíli, že uzly integrace jsou dány. Proložíme-li body [x k ,f(x k )], k = 0,1,... ,n,Lagrangeův interpolační polynom stupně n, váhy a k pak budou (stejně jako v (2))a k =∫ bal k (x)dx, (3)5

kde l k (x) jsou polynomy z důkazu Věty 1.2. Je vidět, že integrace bude přesná pro polynomy až dostupně n.Budeme se snažit zvolit uzly integrace co nejvýhodněji, a to tak aby integrační vzorec byl přesnýpro polynomy co nejvyššího stupně. Ukáže se, že pro interval 〈a,b〉 tato volba odpovídá kořenůmLegendreových polynomů ortogonálních na 〈a,b〉.Věta 1.6 (Gaussova integrace) Nechť x 0 ,x 1 ,... ,x n jsou kořeny Legendreova polynomu L n+1 stupněn + 1 na intervalu 〈a,b〉. Nechť a k jsou dány vztahy (3). Pak platí rovnost∫ bn∑f(x)dx = a k f(x k ),je-li f polynom stupně nejvýše 2n + 1.aDůkaz stojí za to uvést. Mějme polynom p 2n+2 stupně nejvýše 2n + 1. Polynom p 2n+1 lze vyjádřitjakop 2n+1 = L n+1 (x)q n (x) + r n (x),kde q n a r n jsou polynomy stupně nejýše n (dělení polynomu polynomem). Potom∫ bap 2n+1 (x)dx =∫ bak=0L n+1 (x)q n (x)dx +∫ bar n (x)dx.První integrál na pravé straně je nula, protože L n+1 je ortogonální ke všem polynomům stupně nejvýšen na 〈a,b〉. Dále∫ bn∑r n (x)dx = a k r(x k ),aneboť a k jsme volili tak, aby integrace byla přesná pro polynomy až do stupně n. Dálen∑n∑a k r(x k ) = a k (L n+1 (x k )q n (x k )r(x k )) ,k=0k=0k=0protože x k jskou kořeny L n+1 . A samozřejměn∑a k (L n+1 (x k )q n (x k ) + r(x k )) =tedy dostali jsmek=0∫ bap 2n+1 (x)dx =n∑a k p 2n+1 (x k ),k=0n∑a k p 2n+1 (x k ).Tedy integrační vzorec je přesný pro polynomy až do stupně 2n + 1.Gaussova integrace je nejefektivnější způsob získání přibližného integrálu. V knize [1] lze najít hodnotyuzlů x k a vah a k pro Gaussovu integraci na úsečce, na obdélníku a na trojúhelníku.Příklad 1.4 Spočtěme přibližný integrál funkce f(x) = 4x 4 + 3x 2 + 1 na intervalu 〈0,2〉 pomocíobdélníkového pravidla, Simpsonova pravidla a pomocí Gaussovy integrace se 2 body. Zjistěte, kolikuzlů je potřeba zvolit pro obdélníkové a Simpsonovo pravidlo, aby přesnost výsledku byla asi 0.01.Spočtěte přesně a přibližně integrál∫ 1 ∫ 200k=0x 2 y 3 + 3y 2 dxdy.Použijte obdélníkové pravidlo a Gaussovu integraci se 4 (2 × 2) body.6

2 Diskrétní Fourierova transformaceV této části budeme používat označení (.,.) c pro skalární součin definovaný pro vektory komplexníchčísel u = (u 1 ,u 2 ,...,u n ) a v = (v 1 ,v 2 ,...,v n )(u,v) c =n∑u k¯v k ,kde ȳ značí číslo komplexně sdružené k y, tedy jestliže u = a + ib, pak ū = a − ib. Absolutní hodnotakomplexního čísla je |a + ib| = √ a 2 + b 2 .k=1Definice 2.1 Diskrétní Fourierova transformace vektoru y = (y 0 ,...,y N−1 ) je vektor z = (z 0 ,... ,z N−1 ),pro který platíz k =N−1 ∑j=0y j e −jk2πiN .Zpětná diskrétní Fourierova transformace vektoru z = (z 0 ,...,z N−1 ) je vektor y = (y 0 ,...,y N−1 ), prokterý platíy k = 1 NN−1 ∑j=0z j e jk2πiN .Uvažujme interval 〈0,2π〉 a na něm rovnoměrně rozložené body x 0 = 0,x 1 ,x 2 ,...,x N−1 ,x N = 2π ajim odpovídající y-ové hodnoty y 0 ,...,y N . Budeme předpokládat y N = y 0 , neboť vektor y považujemeza reprezentaci periodického signálu opakujícího se po N prvcích. V tomto textu budeme uvažovatpouze reálné vektory y. Naším cílem bude určit, jak jsou ve vektoruy = (y 0 ,...,y N−1 )zastoupeny vektory(v k =e k2πiN,e 2k2πiN),... ,e (N−1)k2πiNpro k = 0,1,2,... ,N − 1. Vektory v k jsou komplexní,(v k = cos k2π k2πi 2k2π+ isin ,cosN N N+ isin 2k2π (N − 1)k2π,...,cosN Njsou navzájem ortogonální a platí+ sin)(N − 1)k2π,N(v k ,v k ) =N−1 ∑j=0N−1e jk2πiN e −jk2πi ∑N =j=01 = N.Potřebujeme tedy vyjádřit vektor y jako lineární kombinaci vektorů v 0 ,v 1 ,... ,v N−1 ,y =N−1 ∑k=0a k v k .Díky ortogonalitě vektorů v k jsou koeficienty a k hledané lineární kombinacea k = (y,v k) c= 1 (v k ,v k ) c N (y,v k) c = 1 N−1 ∑y j e −jk2πiN .N7j=0

Tím se dostáváme zpět k definici diskrétní Fourierovy transformaci, platía k = 1 N z k.Podívejme se nyní, jak je zastoupena frekvence k ve vektoru y. Je zřejmé, že nejvyšší rozpoznatelnáfrekvence z N hodnot je frefvence N N−12pro N sudé a2pro N liché. Této frekvenci se říká Nyquistovafrekvence. Dále platísinj(N − k)2πN= − sin jk2πN ,j(N − k)2πcosN= cos jk2πN .Tedy zastoupení frekvence k dostaneme z koeficientu a k a a N−k . Označme Re(a k ) reálnou část číslaa k a Im(a k ) imaginární část čísla a k .Jestliže y je reálný vektor, je z definice vidět, že z N−k = ¯z N .Pro reálný vektor y jsou vektory v k a v N−k zastoupeny v y ve tvaru= 1 N z k(cos k2πN(1N z N−k cos k2πNa k v k + a N−k v N−k = 1 N z kv k + 1 N z N−kv N−k =k2πi 2k2π+ isin ,cosN Nk2πi 2k2π− isin ,cosN N(= 2 N Re(z k)− 2 (N Im(z k)cos k2πNsin k2πN+ isin 2k2πN,cos2k2πN,... ,cos(N − 1)k2πN,... ,cos(N − 1)k2πN+ sin2k2π (N − 1)k2π− isin ,... ,cos − sinN N)−,sin2k2πNTedy frekvence k je ve vektoru y zastoupena s amplitudouc k = 2 N |z k|.,... ,sin(N − 1)k2πN).)(N − 1)k2π+N)(N − 1)k2π=NPři počítání skalárních součinů lze mnoho operací ušetřit, má-li vektor y 2 m prvků, m ∈ N. Efektivnímualgoritmu, který toto využívá, se říká rychlá Fourierova transformace (Fast Fourier Transform,FFT).Příklad 2.1 Uvažujme N = 30 a body x 0 ,x 1 ,... ,x N−1 na intervalu 〈0,2π〉 tak, že x k = x 0 + k 2π N .Položmey k = 3sin x k − 5cos(x k − 2).Ověřte, že diskretní Fourierova transformace udává správné amplitudy frekvencí.V předchozím příkladu zvolte N = 300 a přičtěte k y náhodnou poruchu velikosti řádově 1. Zobraztevýsledek. Proveďte Fourierovu diskrétní transformaci a ve výsledku vynulujte amplitudy frekvencívyšších než 10. Převeďte zpětnou Fourierovou transformací na reálný vektor a zobrazte.Diskrétní Fourierova transformace má mnoho zajímavých vlastností, souvisí s Fourierovou (integrální)transformací a s Fourierovými řadami. Ucelené pojednání lze najít v knize [2].8

3 Metoda nejmenších čtvercůV předchozích kapitolách jsme viděli, jak interpolovat funkci polynomy nebo goniometrickými funkcemi.Ve všech uvedených případech byl počet podmínek roven počtu neznámých koeficientů. Co udělat vpřípadě, kdy je počet podmínek větší než je počet stupňů volnosti, které máme k dispozici? Můžemese snažit minimalizovat chybu aproximace v nějaké vhodné normě genetované skalárnímm součinem.Tento postup se nazývá metoda nejmenších čtverců.Nechť V je vektorový prostor, f ∈ V a φ 1 ,φ 2 ,...,φ n nechť jsou lineárně nezávislé prvky z V . Chcemeurčit lineární kombinaci prvků φ 1 ,φ 2 ,...,φ n takovou, že normabude nejmenší možná. Označme||f −n∑a k φ k ||k=1v(a 1 ,... ,a n ) = ||f −n∑a k φ k || 2 .Jelikož funkce v je spojitá na R n a lim |a|→∞ v(a) = ∞, má na R n globá lní minimum. Jelikož v máderivaci pro všechny n-tice a = a 1 ,...,a n , je minimum v bodě, kdepro všechna k = 1,2,... ,n.Snadno se spočítá, že∂v(a)∂a k⎛= ∂ ⎝f −∂a k⎛= ∂ (f,f) − 2 ∂ ⎝f,∂a k ∂a k= −2 ∂∂a k∂v(a)∂a k= 0k=1n∑n∑a j φ j ,f −j=1 m=1⎞ ⎛a j φ j ⎠ + ∂ n∑⎝∂a ka m φ m⎞⎠ =n∑j=1j=1n∑a j φ j ,m=1∑ n a j (f,φ j ) + ∂ ∑ n n∑a j a m (φ j ,φ m ) =∂aj=1k j=1 m=1n∑= −2(f,φ k ) + 2 a j (φ k ,φ j ).j=1Tedy koeficienty a k najdeme jako řešení soustavy rovnica 1 (φ 1 ,φ 1 ) + a 2 (φ 1 ,φ 2 ) + ... + a n (φ 1 ,φ n ) = (f,φ 1 )a 1 (φ 2 ,φ 1 ) + a 2 (φ 2 ,φ 2 ) + ... + a n (φ 2 ,φ n ) = (f,φ 2 )a 1 (φ n ,φ 1 ) + a 2 (φ n ,φ 2 ) + ... + a n (φ n ,φ n ) = (f,φ n )...a m φ m⎞⎠ =Uvedená soustava lineárních rovnic má právě jedno řešení. To plyne z lineární nezávislosti prvků φ k .Volba skalárního součinu, prostoru V a prvků φ k závisí na úloze. Budeme-li chtít proložit sadu bodůpolynomem (podstatně) nižšího stupně, než je počet bodů, uvažujeme diskrétní skalární součin(u,v) =n∑u k v k .k=19

4 Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnicDiferenciální rovnice popisují mnoho přírodních i společenských jevů. Najít řešení diferenciální rovniceznamená zjistit prostorový nebo časový vývoj některé veličiny, během jevu nebo procesu, který jedanou diferenciální rovnicí popsán.Protože často neumíme najít řešení přesně, používáme různé numerické metody, které poskytnouřešení přibližné. Často lze získat řešení libovolně přesné.V některých diferenciálních rovnicích se vyskytuje jako nezávisle proměnná čas (let střely, vedení tepla,vývoj populace). Takové úlohy obvykle mají zadané ještě další vlastnosti (počáteční podmínky), kterémají být splněny v čase t = 0. Říkáme jim počáteční úlohy nebo Cauchyovy úlohy. Jiné rovnice majíza nezávisle proměnnou prostorovou proměnnou x (průhyb prutu, ustálené vedení tepla). Tyto úlohymají často zadané další podmínky v různých částech hranice oblasti, kde se hledá řešení. To jsouúlohy okrajové. V této části se budeme věnovat první skupině - počátečním úlohám.Budeme řešit úlohu najít y ∈ C 1 〈0,T 〉takovou, že pro t ∈ 〈0,T 〉y ′ (t) = f(t,y(t)), (4)y(0) = y 0 . (5)Budeme předpokládat, že funkce f je spojitána 〈0,T 〉 × R.Než přistoupíme k numerickému řešení úlohy (4)-(5), zjistíme, jaké vlastnosti má její přesné řešení.Definice 4.1 Funkce f je lipschitzovská na intervalu I s konstantou L, jestliže pro každé x,y ∈ Iplatí|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|.Věta 4.1 Nechť existuje L > 0 takové, že f je lipschitzovská s konstantou L vzhledem k y na intervalu(−∞, ∞) pro všechna t ∈ 〈0,T 〉. Potom má Cauchyova úloha (4)-(5) právě jedno řešení v 〈0,T 〉.Definice 4.2 Cauchyova úloha je ljapunovsky stabilní, jestliže pro každé ǫ a pro každou perturbaciúlohy (4)-(5)z ′ (t) = f(t,z(t)) + δ(t), (6)z(0) = y 0 + δ 0 , (7)kde |δ 0 | ≤ ǫ, |δ(t)| ≤ ǫ, pro t ∈ 〈0,T 〉, existuje C > 0 tak, že pro t ∈ 〈0,T 〉|y(t) − z(t)| ≤ Cǫ.Věta 4.2 (Gronwallovo lemma.) Nechť p je integrovatelná a nezáporná funkce na (0,T) a nechť g aφ jsou spojité na 〈0,T 〉 a g je neklesající. Jestližet ∈ 〈0,T 〉, potom∫ tφ(t) ≤ g(t) + p(s)φ(s)ds,0∫ tφ(t) ≤ g(t)ep(s)ds 0 .11

S pomocí uvedené věty ukážeme, že Cauchyova úloha je pro lipschitzovskou funkci f ljapunovksystabilní, t.j. při malých změnách v zadání úlohy dostaneme malé změny řešení.Věta 4.3 Je-li f lipschitzovská vzhledem k y na R, je Cauchyova úloha (4)-(5) ljapunovsky stabilní.Uvedeme důkaz. Nechť y je řešení úlohy (4)-(5) a z je řešení úlohy (6)-(7), kde |δ 0 | ≤ ǫ, |δ(t)| ≤ ǫ,t ∈ 〈0,T 〉. Platí∫ Tz ′ (t) − y ′ (t) = z(T) − y(T) − (z(0) − y(0)) = z(T) − y(T) − δ 0a takéTedyPodle Věty 4.2 je0∫ T0z ′ (t) − y ′ (t) =∫ T0∫ Tf(t,z(t)) − f(t,y(t))dt + δ(t)dt.0∫ T|z(t) − y(t)| ≤ |δ 0 | + L |z(t) − y(t)|dt + ǫT.0|z(t) − y(t)| ≤ ǫ(1 + T)e LT .Tedy pro změnu dat v úloze řádu ǫ máme změnu řešení velikosti Cǫ, kde C je konstanta závislá na La T. Všimněme si, že pro rostoucí T může tato konstanta exponenciálně růst.Z numerických metod pro řešení Cauchyovy úlohy ukážeme jen čtyři. Nejdříve zavedeme označení.Budeme hledat řešení úlohy (4)-(5) na intervalu 〈0,T 〉. Obecně lze přizpůsobit jakýkoliv interval tétoformulaci lineární transformací proměnné t. V intervalu 〈0,T 〉 budeme uvažovat n + 1 dělících bodůt k = k h,k = 0,1,... ,n,kde h = T/n. Numerická metoda poskytne aproximaci řešení v těchto bodech. Pro jednoduchostdalších zápisů označíme hodnoty přesného řešeníy k = y(t k ),k = 0,1,... ,n,a aproximaci přesného řešení v bodě t k numerickou metodou u k , k = 0,1,2,... ,n. Pro každou metodupoložíme u 0 = y 0 .Budeme se zabývat pouze metodami jednokrokovými. Takové metody používají pro získání aproximaceu k+1 jen u k . Označme obecně pravidlo jednokrokové metodyu k+1 = u k + hΦ(t k ,u k ).Vícekrokové metody jsou uvedeny např. v [1, 4, 5].Protože se budeme zabývat analýzou chyb numerických metod, zavedeme následující označení.Definice 4.3 Řekneme, že výraz v(h) definovaný v okolí bodu h = 0 je typu O(hp ), p ∈ N, píšemev(h) = O(h p ),jestliže existuje konstanta C a okolí bodu h = 0 takové, že pro všechna h z tohoto okolí je∣ v(h) ∣∣∣∣ h p ≤ C.(Jinými slovy, v(h)h p je omezená na nějakém okolí bodu h = 0.)12

Budeme zkoumat, jaké chyby se dopustíme po jednom kroku metody, tedy nahradíme-li y 1 přibližnýmřešením u 1 . Tato chyba se nazývá lokální diskretizační chyba. Jestliže je lokální diskretizační chybaO(h p+1 ), je chyba po n krocích |u n − y n | řádověn O(h p+1 ) = T h O(hp+1 ) = T O(h p ).Definice 4.4 Řekneme, že metoda je řádu p, jestliže lokální diskretizační chyba metody je O(hp+1 ).Zdůrazněme, že řád metody závisí na hladkosti (počtu derivací) řešení.konverguje. Probereme postupně čtyři metody.Čím vyšší řád, tím lépe metodaExplicitní Eulerova metoda. Pro tuto metoduu k+1 = u k + hf(t k ,u k ).Jestliže má řešení y druhou derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉, máme z Taylorova rozvoje y v bodě t = 0u 1 − y 1 = u 0 + hf(t 0 ,u 0 ) − y 0 − hy ′ (0) + y′′ (η)2h 2 = y′′ (η)h 2 ,2kde η je nějaký bod v intervalu (0,t 1 ). Tedy lokální diskretizační chyba Eulerovy explicitní metodyje řádu O(h 2 ) pro úlohy, kde řešení y má druhou derivaci. Neboli, tato metoda je řádu 1.Implicitní Eulerova metoda. Pro tuto metoduu k+1 = u k + hf(t k+1 ,u k+1 ).Jestliže má řešení y druhou derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉, máme z Taylorova rozvoje y v bodě t = t 1u 1 − y 1 = u 0 + hf(t 1 ,u 1 ) − y 0 − hy ′ (t 1 ) + y′′ (η)2h 2 = y′′ (η)h 2 ,2kde η je nějaký bod v intervalu (0,t 1 ). Tedy lokální diskretizační chyba Eulerovy implicitní metodyje řádu O(h 2 ) pro úlohy, kde řešení má druhou derivaci. Neboli, tato metoda je řádu 1.Metoda Crankova-Nicolsonové. (Lichoběžníková metoda.) Pro tuto metoduu k+1 = u k + h 2 (f(t k,u k ) + f(t k+1 ,u k+1 )) .Nechť má řešení y třetí derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉. Z Taylorových rozvojů funkce y v bodech t = 0 at = t 1( ) t1y = y(0) + t 12 2 y′ (0) + t2 12 2 · 2! y′′ (η 0 )a( ) t1y = y(t 1 ) − t 12 2 y′ (t 1 ) + t2 12 2 · 2! y′′ (η 1 )mámey(t 1 ) − y(0) = t 12 (y′ (0) + y ′ (t 1 )) − t2 18 (y′′ (η 1 ) − y ′′ (η 0 )) (8)pro nějaké η 0 ,η 1 ∈ (0,t 1 ). Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě (předmět MA1) existuje ω ∈(0,t 1 ) tak, žey ′′ (η 1 ) − y ′′ (η 0 ) = y ′′′ (ω)(η 1 − η 0 ).13

Tedy mámeu 1 − y 1 =Tedy= u 0 + h 2 (f(0,u 0) + f(t 1 ,u 1 )) − y(0) − t 12( y ′ (0) + y ′ (t 1 ) ) + t2 18 y′′′ (η 3 )(η 1 − η 0 ) == h 2 (f(t 1,u 1 ) − f(t 1 ,y(t 1 ))) + t2 18 y′′′ (η 3 )(η 1 − η 0 ).|u 1 − y 1 | ≤ h 2 L|u 1 − y 1 | + h38 |y′′′ (η 3 )|,(|u 1 − y 1 | ≤ h31 − hL ) −1|y ′′′ (η 3 )| = O(h 3 ).8 2Tedy lokální diskretizační chyba metody Crankovy-Nicolsonové je řádu O(h 3 ) pro úlohy, kde řešenímá druhou derivaci. Tato metoda je tedy řádu 2.Rungova-Kuttova metoda 2. řádu. Pro tuto metoduu k+1 = u k + h 2 (f(t k,u k ) + f(t k+1 ,u k + hf(t k ,u k ))) .Nechť má řešení y třetí derivaci na intervalu 〈0,t 1 〉. Stejně jako u předchozí metody máme (8) zTaylorových rozvojů funkce y v bodech t = 0 a t = t 1 pro nějaké η 0 ,η 1 ∈ (0,t 1 ). Podle Lagrangeovyvěty o střední hodnotě existuje ω ∈ (0,t 1 ) tak, žey ′′ (η 1 ) − y ′′ (η 0 ) = y ′′′ (ω)(η 1 − η 0 ).Tedy mámeu 1 − y 1 == u 0 + h 2 (f(t 0,u 0 ) + f(t 1 ,u 0 + hf(t 0 ,u 0 ))) − y(0) − t 12 (y′ (0) + y ′ (t 1 )) + t3 18 y′′′ (ω)(η 1 − η 0 ) == h 2 f(t 1,u 0 + hf(t 0 ,u 0 )) − h 2 y′ (t 1 ) + t3 18 y′′′ (ω)(η 1 − η 0 ) == h 2 f(t 1,u 0 + hf(t 0 ,u 0 )) − h 2 f(t 1,y(t 1 )) + t3 18 y′′′ (ω)(η 1 − η 0 ).Jelikož f je lipschitzovská vzhledem k y, máme|u 1 − y 1 | ≤ L h 2 |u 0 + hf(t 0 ,u 0 ) − y(t 1 )| + t3 18 |y′′′ (ω)| |η 1 − η 0 | == L h 2 |u 0 + hy ′ (0) − y(0) − t 1 y ′ (0) − 1 2 t2 1 y′′ (η 3 )| + t3 18 |y′′′ (ω)| |η 1 − η 0 |pro nějaké η 3 ∈ (0,t 1 ). Tedy|u 1 − y 1 | ≤ L h34 |y′′ (η 3 )| + h48 |y′′′ (ω)| = O(h 3 ).Tedy lokální diskretizační chyba Rungovy-Kuttovy metody 2. řádu je řádu O(h 3 ) pro úlohy, kde řešenímá třetí derivaci. Neboli, tato metoda je skutečně řádu 2, jak je v názvu uvedeno.Nyní budeme zkoumat, zda mají tyto numerické metody další přijatelné vlastnosti. Jednou z nichje stabilita v následujícím smyslu. Chceme, aby pro úlohu, pro jejíž řešení y platí lim t→∞ y(t) = 0,platilo lim n→∞ u n = 0.14

Oblast stability pro metodou Crankovu-Nicolsonové je množina všech komplexních čísel se zápornoureálnou částí.Řešme úlohu (9) Rungovou-Kuttovou metodou 2. řádu. Dostanemeu n+1 = u n + h 2 (λu n + λ(u n + hλu n )) =(1 + hλ + (hλ)22)u n =(1 + hλ + (hλ)22Oblast stability pro Rungovu-Kuttovu metodu 2. řádu je tedy ovál v komplexní roviněA = {x ∈ C; |(x + 1 − i)(x + 1 + i)| ≤ 2}.Snadno se ukáže, že tato množina obsahuje kruh se středem v bodě [−1,0] a poloměrem 1.) nu 0 .Volba kroku h tedy může tedy dosti záviset na fnkci f. Jestliže pravá strana f je přibližně jako−5y(t), je potřeba u jednotlivých metod přizpůsobit volbu kroku h. Pro Eulerovu explicitní metodui pro Rungovu-Kuttovu metodu musíme vzíth < −2(−5)(−5) 2 = 2 5 .Pro Eulerovu implicitní metodu ani pro metodu Crankovu-Nicolsonové podmínka stability v tomtopřípadě omezení na h nedává.Definice 4.6 Řekneme, že metoda je A-stabilní, jestliže oblast stability obsahuje všechna komplexníčísla se zápornou složkou.A-stabilní metody tedy mohou použít libovolnou délku kroku, je-li Re(λ) < 0 pro λ na pravé straněrovnice (9). Eulerova implicitní metoda a metoda Crankova-Nicolsonové jsou A-stabilní.Příklad 4.1 Porovnejte přesné řešení úlohy (9) pro λ = −5 s přibližnými řešeními uvedenými metodamipro různou volbu kroku h.16

5 Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnicReferences[1] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, 1997.[2] V. Čížek, Diskrétní Fourierova transformace a její použití. SNTL - Nakladatelství technické literatury,Praha, 1981.[3] G. H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press,Baltimore, London, 1996.[4] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics. Springer 2000.[5] E. Vitásek, Numerické metody. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, 1987.17