całki i ich zastosowania

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki nieoznaczonejDefinicjaFunkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeliF ′ (x) = f (x)dla każdego x ∈ I .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki nieoznaczonejDefinicjaFunkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżelidla każdego x ∈ I .F ′ (x) = f (x)Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki nieoznaczonejDefinicjaFunkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżelidla każdego x ∈ I .F ′ (x) = f (x)Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x,− cos x + 1,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki nieoznaczonejDefinicjaFunkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżelidla każdego x ∈ I .F ′ (x) = f (x)Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x,− cos x + 1,− cos x − 100.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . WtedyCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G(x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G(x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G(x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicjaNiech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji{F (x) + C : C ∈ R}.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicjaNiech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji{F (x) + C : C ∈ R}.Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez ∫ f (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicjaNiech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji{F (x) + C : C ∈ R}.Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez ∫ f (x) dx.Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicjaNiech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji{F (x) + C : C ∈ R}.Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez ∫ f (x) dx.Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicjaNiech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji{F (x) + C : C ∈ R}.Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez ∫ f (x) dx.Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫f (x) dx] ′= f (x),Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicjaNiech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji{F (x) + C : C ∈ R}.Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez ∫ f (x) dx.Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫f (x) dx] ′= f (x),∫f ′ (x) dx = f (x) + C.Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory podstawowe∫x n dx = x n+1n + 1 + C,n ∈ R, n ≠ −1Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory podstawowe∫x n dx = x n+1n + 1 + C, n ∈ R, n ≠ −1∫ 1dx = ln |x| + CxCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory podstawowe∫x n dx = x n+1n + 1 + C, n ∈ R, n ≠ −1∫ 1dx = ln |x| + Cx∫sin x dx = − cos x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory podstawowe∫x n dx = x n+1n + 1 + C, n ∈ R, n ≠ −1∫ 1dx = ln |x| + Cx∫∫sin x dx = − cos x + Ccos x dx = sin x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory podstawowe∫x n dx = x n+1n + 1 + C, n ∈ R, n ≠ −1∫ 1dx = ln |x| + Cx∫∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + Cdxcos 2 x = tg x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory podstawowe∫x n dx = x n+1n + 1 + C, n ∈ R, n ≠ −1∫ 1dx = ln |x| + Cx∫∫∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + Cdxcos 2 x = tg x + Cdxsin 2 x = − ctg x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫a x dx = axln a + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫∫a x dx = axln a + Ce x dx = e x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫∫a x dx = axln a + Ce x dx = e x + C∫dx= arc tg x + C1 + x 2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫∫∫∫a x dx = axln a + Ce x dx = e x + Cdx= arc tg x + C1 + x 2dx√1 − x 2= arc sin x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫sinh x dx = cosh x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫sinh x dx = cosh x + C∫cosh x dx = sinh x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫sinh x dx = cosh x + C∫∫cosh x dx = sinh x + Cdxcosh 2 x = tgh x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫sinh x dx = cosh x + C∫cosh x dx = sinh x + C∫∫dxcosh 2 x = tgh x + Cdxsinh 2 x = − ctgh x + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫sinh x dx = cosh x + C∫cosh x dx = sinh x + CPonadto mamy wzór∫∫dxcosh 2 x = tgh x + Cdxsinh 2 x = − ctgh x + C∫ f ′ (x)dx = ln |f (x)| + C.f (x)Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.TwierdzenieJeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to∫ ∫ ∫1 (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.TwierdzenieJeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to∫ ∫ ∫1 (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx,∫ ∫ ∫2 (f (x) − g(x)) dx = f (x) dx − g(x) dx,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.TwierdzenieJeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to∫ ∫ ∫1 (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx,∫ ∫ ∫2 (f (x) − g(x)) dx = f (x) dx − g(x) dx,∫ ∫3 (cf (x)) dx = c f (x) dx,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady1. ∫ dxx 2 3√ x 22. ∫ (x− √ x)(1+ √ x)3√ xdx3. ∫ tg 2 x dx4. ∫ dxsin 2 x cos 2 x5. ∫ √x 2 (x 3 +1)x(x 2 −x+1) dx6. ∫ x 4x 2 +1 dx7. ∫ 2x−3x 2 −3x+6 dx8. ∫ tg x dxCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), toCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to∫∫f (ϕ(x)) ϕ ′ (x) dx = f (t) dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to∫∫f (ϕ(x)) ϕ ′ (x) dx = f (t) dt.Przykłady1. ∫ (3x − 5) 25 dx2. ∫ 13x−5 dx3. ∫ e x1+e 2x dx4. ∫ e 1/xx 2dxCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWniosekJeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to∫f (ax + b) dx = 1 F (ax + b) + CaCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWniosekJeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to∫f (ax + b) dx = 1 F (ax + b) + CaPrzykłady1. ∫ cos(3x + 1) dx2. ∫ e 2x dxCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, toCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫∫u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u ′ (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫∫u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u ′ (x) dx.Przypomnijmy, że v ′ (x) dx = dv, u ′ (x) dx = du (różniczki).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫∫u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u ′ (x) dx.Przypomnijmy, że v ′ (x) dx = dv, u ′ (x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫∫u dv = uv − v du.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫∫u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u ′ (x) dx.Przypomnijmy, że v ′ (x) dx = dv, u ′ (x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫∫u dv = uv − v du.Przykłady1. ∫ ln x dx2. ∫ x sin 2x dx3. ∫ x arc tg x dx4. ∫ e x cos x dx5. ∫ x 3 e −x2 dxCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory rekurencyjne∫sin n x dx = − 1 n cos x sinn−1 x + n − 1n∫sin n−2 x dx, n 2,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory rekurencyjne∫∫sin n x dx = − 1 n cos x sinn−1 x + n − 1ncos n x dx = 1 n sin x cosn−1 x + n − 1n∫∫sin n−2 x dx, n 2,cos n−2 x dx, n 2,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory rekurencyjne∫∫sin n x dx = − 1 n cos x sinn−1 x + n − 1n∫sin n−2 x dx, n 2,cos n x dx = 1 n sin x cosn−1 x + n − 1 ∫cos n−2 x dx, n 2,n∫x n a x dx = x n a xln a − n ∫x n−1 a x dx, n 1,ln aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweWzory rekurencyjne∫∫∫sin n x dx = − 1 n cos x sinn−1 x + n − 1n∫sin n−2 x dx, n 2,cos n x dx = 1 n sin x cosn−1 x + n − 1 ∫cos n−2 x dx, n 2,n∫x n a x dx = x n a xln a − n ∫x n−1 a x dx, n 1,ln a∫dx(1 + x 2 ) n = x− 32(n − 1)(1 + x 2 +2n) n−1 2n − 2dx(1 + x 2 , n 2,) n−1Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji wymiernychDefinicjaFunkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjęP(x)postaciQ(x), gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. Jeżelideg P < deg Q, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji wymiernychDefinicjaFunkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjęP(x)postaciQ(x), gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. Jeżelideg P < deg Q, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).Jeżeli deg P deg Q, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:P(x) R(x)= S(x) +Q(x) Q(x) .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji wymiernychDefinicjaFunkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjęP(x)postaciQ(x), gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. Jeżelideg P < deg Q, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).Jeżeli deg P deg Q, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:P(x) R(x)= S(x) +Q(x) Q(x) .Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykład Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamkawłaściwego funkcję x3 +5x 2 −7x 2 +1.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykład Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamkawłaściwego funkcję x3 +5x 2 −7x 2 +1.DefinicjaFunkcję wymierną postaciA, n ∈ N, a, A ∈ R(x + a) nnazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcjęBx + C(x 2 + px + q) n , n ∈ N, p, q, B, C ∈ R, ∆ = p2 − 4q < 0nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaciQ(x) = a(x − x 1 ) k 1(x − x 2 ) k 2. . . (x − x r ) kr ··(x 2 + p 1 x + q 1 ) l 1(x 2 + p 2 x + q 2 ) l 2. . . (x 2 + p s x + q s ) ls ,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaciQ(x) = a(x − x 1 ) k 1(x − x 2 ) k 2. . . (x − x r ) kr ··(x 2 + p 1 x + q 1 ) l 1(x 2 + p 2 x + q 2 ) l 2. . . (x 2 + p s x + q s ) ls ,to czynnikowi (x − x i ) k iodpowiada suma k i ułamków prostychpostaciA 1 A 2+x − x i (x − x i ) 2 + · · · A ki(x − x i ) k ,iCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaciQ(x) = a(x − x 1 ) k 1(x − x 2 ) k 2. . . (x − x r ) kr ··(x 2 + p 1 x + q 1 ) l 1(x 2 + p 2 x + q 2 ) l 2. . . (x 2 + p s x + q s ) ls ,to czynnikowi (x − x i ) k iodpowiada suma k i ułamków prostychpostaciA 1 A 2+x − x i (x − x i ) 2 + · · · A ki(x − x i ) k ,ia czynnikowi (x 2 + p j x + q j ) l jodpowiada suma l j ułamkówprostych postaciB 1 x + C 1 B 2 x + C 2x 2 ++ p j x + q j (x 2 + p j x + q j ) 2 + · · · + B lj x + C lj(x 2 + p j x + q j ) l .jCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweEtapy rozkładu na ułamki proste1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweEtapy rozkładu na ułamki proste1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki).Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweEtapy rozkładu na ułamki proste1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki).Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweEtapy rozkładu na ułamki proste1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki).Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A, B, C, . . . wybierając wartości dla x, lubUporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweEtapy rozkładu na ułamki proste1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki).Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A, B, C, . . . wybierając wartości dla x, lubUporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.5 Wylicz wartości A, B, C, . . ..Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJak napisać przewidywany rozkład na ułamki?Czynniki jednokrotne:1x 2 − 9 = 1(x − 3)(x + 3) = Ax − 3 + Bx + 3Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJak napisać przewidywany rozkład na ułamki?Czynniki jednokrotne:Czynniki wielokrotne:1x 2 − 9 = 1(x − 3)(x + 3) = Ax − 3 + Bx + 33x 2 + x − 1x(x − 2) 3 = A x + Bx − 2 + C(x − 2) 2 + D(x − 2) 3Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJak napisać przewidywany rozkład na ułamki?Czynniki jednokrotne:Czynniki wielokrotne:1x 2 − 9 = 1(x − 3)(x + 3) = Ax − 3 + Bx + 33x 2 + x − 1x(x − 2) 3 = A x + Bx − 2 + C(x − 2) 2 + D(x − 2) 3Trójmian nierozkładalny:3x + 4(x − 2)(x 2 + 3) = Ax − 2 + Bx + Cx 2 + 3Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJak napisać przewidywany rozkład na ułamki?Czynniki jednokrotne:Czynniki wielokrotne:1x 2 − 9 = 1(x − 3)(x + 3) = Ax − 3 + Bx + 33x 2 + x − 1x(x − 2) 3 = A x + Bx − 2 + C(x − 2) 2 + D(x − 2) 3Trójmian nierozkładalny:3x + 4(x − 2)(x 2 + 3) = Ax − 2 + Bx + Cx 2 + 3Wielokrotny trójmian nierozkładalny:x 3 + x + 4(x + 5)(x 2 + 5) 2 = Ax − 2 + Bx + Cx 2 + 5 + Dx + E(x 2 + 5) 2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady Rozłożyć na ułamki proste5x 2 − 4x 3 + 2x 2 − x − 2 = 1 16 x − 1 − 1 12 x + 1 + 16 13 x + 2 ,1xx 3 + 1 = −1 13 x + 1 + 3 x + 1 3x 2 − x + 1 ,(x − 2) 3 (x + 1) = 1 127 x − 2 − 8 19 (x − 2) 2 + 4 13 (x − 2) 3 − 1 127 x − 1 .x 2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweZ powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweZ powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:∫A= A ln |x + a| + C;x + aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweZ powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:∫A= A ln |x + a| + C;x + a∫A(x + a) n = A+ C;(1 − n)(x + a) 1−nCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuDla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuDla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:Bx + Cx 2 + px + q =B2(2x + p)x 2 + px + q +C − Bp2x 2 + px + q ;Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuDla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:Bx + Cx 2 + px + q =B2(2x + p)x 2 + px + q +3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′ (x)f (x)dx = ln |f (x)| + C;CałkiC − Bp2x 2 + px + q ;nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuDla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:Bx + Cx 2 + px + q =B2(2x + p)x 2 + px + q +3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′ (x)dx = ln |f (x)| + C;f (x)C − Bp2x 2 + px + q ;4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p 2 )2 − ∆ 4Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuDla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:Bx + Cx 2 + px + q =B2(2x + p)x 2 + px + q +3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′ (x)dx = ln |f (x)| + C;f (x)C − Bp2x 2 + px + q ;4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p 2 )2 − ∆ 4a następnie skorzystać ze wzoru√∫dx(x + p 2 )2 + a 2 = 1 a arc tg x + p 2+ C, gdzie a = − ∆ a4Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuPrzykład∫3x − 1x 2 − 2x + 5 dx =∫ 32(2x − 2) + 2=x 2 − 2x + 5 dx == 3 ∫∫2x − 22 x 2 − 2x + 5 dx + 2x 2 − 2x + 5 dx == 3 ∫2 ln(x 2 2− 2x + 5) +(x − 1) 2 + 4 dx == 3 2 ln(x 2 − 2x + 5) + arctg x − 12+ CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuUłamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:1 wydzielamy w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajuUłamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:1 wydzielamy w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B Bp2(2x + p) + (C −2 );2 rozkładamy na sumę ułamków:BBx + C(x 2 + px + q) n = 2(2x + p)(x 2 + px + q) n + C − Bp2(x 2 + px + q) n ;3 pierwszy ułamek całkujemy przez podstawieniex 2 + px + q = t;4 w drugim ułamku mianownik sprowadzamy do postacikanonicznej: (x + p 2 )2 − ∆ 4a następnie korzystamy ze wzorurekurencyjnegoCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweUłamki drugiego rodzajugdzie a =∫dx(a 2 + x 2 ) n = x2(n − 1)a 2 (a 2 + x 2 ) n−1 +√− ∆ 4 .+ 2n − 3 ∫(2n − 2)a 2dx(a 2 + x 2 ) n−1 ,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychBędziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x, cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychBędziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x, cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:tg x 2 = t.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychBędziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x, cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:tg x 2 = t.Wtedy x = 2 arc tg t, więcdx =2 dt1 + t 2 .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychBędziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x, cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:Wtedy x = 2 arc tg t, więctg x 2 = t.dx =2 dt1 + t 2 .Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:sin x =2t1 − t2, cos x =1 + t2 1 + t 2 .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychPrzykład∫ ∫ 1 − cos x1 −1−t 2 ∫1 + cos x dx = 1+t 2 2 dt1 + 1−t2 1 + t 2 = 1+t 22t 21 + t 2 dt == 2(t − arc tg t) + C = 2 tg x 2 − x + C.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychW przypadku całki postaci:∫sin m x cos n x dx,m, n ∈ Nsposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychW przypadku całki postaci:∫sin m x cos n x dx,m, n ∈ Nsposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫∫sin m x cos n x dx = sin 2k x cos n x sin x dx,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychW przypadku całki postaci:∫sin m x cos n x dx,m, n ∈ Nsposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫∫sin m x cos n x dx = sin 2k x cos n x sin x dx,i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy − ∫ (1 − t 2 ) k t n dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychW przypadku całki postaci:∫sin m x cos n x dx,m, n ∈ Nsposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫∫sin m x cos n x dx = sin 2k x cos n x sin x dx,i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy − ∫ (1 − t 2 ) k t n dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychW przypadku całki postaci:∫sin m x cos n x dx,m, n ∈ Nsposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫∫sin m x cos n x dx = sin 2k x cos n x sin x dx,i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy − ∫ (1 − t 2 ) k t n dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorówsin 2 x = 1 2 (1−cos 2x), cos2 x = 1 2 (1+cos 2x), sin x cos x = 1 sin 2x,2lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychCałki:∫sin mx cos nx dx,∫sin mx sin nx dx,∫cos mx cos nx dxCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychCałki:∫sin mx cos nx dx,∫sin mx sin nx dx,przekształcamy korzystając ze wzorów:∫cos mx cos nx dxsin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m − n)x],2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychCałki:∫sin mx cos nx dx,∫sin mx sin nx dx,przekształcamy korzystając ze wzorów:∫cos mx cos nx dxsin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m − n)x],2sin mx sin nx = 1 [cos(m − n)x − cos(m + n)x],2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie funkcji trygonometrycznychCałki:∫sin mx cos nx dx,∫sin mx sin nx dx,przekształcamy korzystając ze wzorów:∫cos mx cos nx dxsin mx cos nx = 1 [sin(m + n)x + sin(m − n)x],2sin mx sin nx = 1 [cos(m − n)x − cos(m + n)x],2cos mx cos nx = 1 [cos(m − n)x + cos(m + n)x].2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie pewnych funkcji niewymiernychFunkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażeniaax + bcx + dCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie pewnych funkcji niewymiernychFunkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażeniaax + bcx + dto podstawiamyax + bcx + d = znCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkowanie pewnych funkcji niewymiernychFunkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażeniato podstawiamyax + bcx + dax + bcx + d = zngdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweNp. w całce∫dx√ x +3 √ xCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweNp. w całcepodstawiamy x = z 6 , a w całce∫∫dx√ x +3 √ xdx√ 2x − 1 −4 √ 2x − 1podstawiamy 2x − 1 = z 4 .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax 2 + bx + c do jednej z postaci1 m 2 − z 2 ,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax 2 + bx + c do jednej z postaci1 m 2 − z 2 ,2 m 2 + z 2 ,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax 2 + bx + c do jednej z postaci1 m 2 − z 2 ,2 m 2 + z 2 ,3 z 2 − m 2 ,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax 2 + bx + c do jednej z postaci1 m 2 − z 2 ,2 m 2 + z 2 ,3 z 2 − m 2 ,a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax 2 + bx + c do jednej z postaci1 m 2 − z 2 ,2 m 2 + z 2 ,3 z 2 − m 2 ,a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax 2 + bx + c do jednej z postaci1 m 2 − z 2 ,2 m 2 + z 2 ,3 z 2 − m 2 ,a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = mcos tlub z = m cosh t.Całkinieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykład Obliczyć∫I = x √ x 2 + x + 1 dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykład Obliczyć∫I = x √ x 2 + x + 1 dx.Ponieważx 2 + x + 1 =(x + 1 ) 2 3 +2 4Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykład Obliczyć∫I = x √ x 2 + x + 1 dx.Ponieważwięc podstawimyx 2 + x + 1 =(x + 1 ) 2 3 +2 4x + 1 √ √332 = 2 sinh t, dx = cosh t dt2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykład Obliczyć∫I = x √ x 2 + x + 1 dx.Ponieważwięc podstawimyx 2 + x + 1 =(x + 1 ) 2 3 +2 4co prowadzi do całkix + 1 √ √332 = 2 sinh t, dx = cosh t dt2I = 3 8∫ (− 1 + √ 3 sinh t)cosh 2 t dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweAlternatywą jest podstawieniex + 1 2 = √32 tg t, dx = √32 cos 2 t dtCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweAlternatywą jest podstawienieco prowadzi do całkix + 1 2 = √32 tg t, dx = √32 cos 2 t dtI = 3 8∫ ( − 1 +√3 tg t) 1cos 3 t dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki oznaczonejNiech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki oznaczonejNiech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] podzielimy na n podprzedziałów punktamia = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n−1 < x n = bCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki oznaczonejNiech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] podzielimy na n podprzedziałów punktamia = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n−1 < x n = bDługość i−tego podprzedziału oznaczymy ∆x i = x i − x i−1 , a całyzbiór n podprzedziałów oznaczymy ∆ n . Podziałowi ∆ n możemyprzyporządkować liczbę δ n = max ∆x i , nazywaną średnicąpodziału.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDefinicja całki oznaczonejNiech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] podzielimy na n podprzedziałów punktamia = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n−1 < x n = bDługość i−tego podprzedziału oznaczymy ∆x i = x i − x i−1 , a całyzbiór n podprzedziałów oznaczymy ∆ n . Podziałowi ∆ n możemyprzyporządkować liczbę δ n = max ∆x i , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆ n ). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdylimn→∞ δ n = 0.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDla danego podziału ∆ n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξ i ,x i−1 ξ i x iCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDla danego podziału ∆ n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξ i ,x i−1 ξ i x ii tworzymy sumęn∑σ n = f (ξ i )∆x i . (1)i=1Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDla danego podziału ∆ n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξ i ,x i−1 ξ i x ii tworzymy sumęσ n =n∑f (ξ i )∆x i . (1)i=1Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σ n ) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξ i ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez∫ baf (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDla danego podziału ∆ n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξ i ,x i−1 ξ i x ii tworzymy sumęσ n =n∑f (ξ i )∆x i . (1)i=1Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σ n ) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξ i ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez∫ baf (x) dx.Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆x i i wysokości f (ξ i ).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆x i i wysokości f (ξ i ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆x i i wysokości f (ξ i ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆x i i wysokości f (ξ i ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że∫ aaf (x) dx = 0,∫ ab∫ bf (x) dx = −af (x) dx dla a < b.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫Przykład Obliczymy z definicji całkę 1 x dx. W tym celurozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:0 < 1 n < 2 n < · · · < n n = 1.0Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫Przykład Obliczymy z definicji całkę 1 x dx. W tym celurozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:0 < 1 n < 2 n < · · · < n n = 1.Punkty ξ i wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:ξ i = x i−1 + 12n = i − 1 + 1n 2n = 2i − 12n .0Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫Przykład Obliczymy z definicji całkę 1 x dx. W tym celurozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:0 < 1 n < 2 n < · · · < n n = 1.Punkty ξ i wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:ξ i = x i−1 + 12n = i − 1 + 1n 2n = 2i − 12n .Wtedyn∑ 2i − 1 1σ n =2n n = 1 n∑2n 2 (2i − 1) = 1 1 + (2n − 1)· · n = 1 2n2 22 .i=1i=10Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe∫Przykład Obliczymy z definicji całkę 1 x dx. W tym celurozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:0 < 1 n < 2 n < · · · < n n = 1.Punkty ξ i wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:ξ i = x i−1 + 12n = i − 1 + 1n 2n = 2i − 12n .Wtedyn∑ 2i − 1 1σ n =2n n = 1 n∑2n 2 (2i − 1) = 1 1 + (2n − 1)· · n = 1 2n2 22 .i=1Ciąg jest stały, więc∫10i=1x dx = limn→∞ σ n = 1 2 .0Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweZauważmy, że dla innego wyboru liczb ξ i , np. ξ i = x i−1 = i−1notrzymamyσ n =n∑i=1i − 1n1n = 1 n 2n∑(i − 1) = 1 0 + (n − 1)·n2 2i=1· n = n − 12n .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweZauważmy, że dla innego wyboru liczb ξ i , np. ξ i = x i−1 = i−1notrzymamyσ n =n∑i=1i − 1n1n = 1 n 2n∑(i − 1) = 1 0 + (n − 1)·n2 2i=1Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama:n − 1limn→∞ 2n = 1 2 .· n = n − 12n .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeszcze inaczej: gdy ξ i = x i = i n, to otrzymamyσ n =n∑i=1i 1n n = 1 n 2n∑i=1i = 1 n 2 · 1 + n2· n = n + 12n .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeszcze inaczej: gdy ξ i = x i = i n, to otrzymamyσ n =n∑i=1i 1n n = 1 n 2n∑i=1I znowu granica jest taka sama:i = 1 n 2 · 1 + n2n + 1limn→∞ 2n = 1 2 .· n = n + 12n .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwórca zagadki wszech czasówRiemann sformułował wieleznakomitych twierdzeń,noszących obecnie jego nazwisko.Z funkcją dzeta Riemanna:ζ(z) =∞∑n=11n z = ∏ ( 1 −1p z ) −1Bernhard Riemann (1826-1866)związana jest hipoteza Riemanna:wszystkie tzw. nietrywialne zera(nierzeczywiste) tej funkcji majączęść rzeczywistą równą 1 2 .Film: Hipoteza Riemanna.Zagadka wszech czasów.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (własności całki)1b∫∫cf (x) dx = c b f (x) dx;aaCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (własności całki)12b∫∫cf (x) dx = c b f (x) dx;aab∫∫(f (x) ± g(x)) dx = b ∫f (x) dx ± b g(x) dx;aaaCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (własności całki)123b∫∫cf (x) dx = c b f (x) dx;aab∫∫(f (x) ± g(x)) dx = b ∫f (x) dx ± b g(x) dx;aaab∫∫f (x) dx = c ∫f (x) dx + b f (x) dx dla a < c < b;aacCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (własności całki)b∫∫cf (x) dx = c b f (x) dx;aab∫∫(f (x) ± g(x)) dx = b ∫f (x) dx ± b g(x) dx;aaab∫∫f (x) dx = c ∫f (x) dx + b f (x) dx dla a < c < b;aac∫4 Jeżeli f (x) g(x) dla x ∈ [a, b], to b ∫f (x) dx b g(x) dx.aa123Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o istnieniu całki)Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego∫rodzaju, to istnieje całka oznaczona b f (x) dx.aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o istnieniu całki)Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego∫rodzaju, to istnieje całka oznaczona b f (x) dx.Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o istnieniu całki)Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego∫rodzaju, to istnieje całka oznaczona b f (x) dx.Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].WniosekFunkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o istnieniu całki)Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego∫rodzaju, to istnieje całka oznaczona b f (x) dx.Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].WniosekFunkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]∫istnieje całka oznaczona x f (t) dt.aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]∫istnieje całka oznaczona x f (t) dt. Można więc określić funkcjęa∫ xF (x) = f (t) dt.aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]∫istnieje całka oznaczona x f (t) dt. Można więc określić funkcjęa∫ xF (x) = f (t) dt.Funkcja F (x) jest różniczkowalna na [a, b] i F ′ (x) = f (x).aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]∫istnieje całka oznaczona x f (t) dt. Można więc określić funkcjęa∫ xF (x) = f (t) dt.Funkcja F (x) jest różniczkowalna na [a, b] i F ′ (x) = f (x).Przykład Obliczyć F (x), gdyf (x) = 1 + x dla x ∈ [0, 3]aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (Newtona-Leibniza)Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f (x) ciągłej na[a, b], to∫bf (t) dt = F (b) − F (a).aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweTwierdzenie (Newtona-Leibniza)Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f (x) ciągłej na[a, b], to∫bf (t) dt = F (b) − F (a).aZamiast F (b) − F (a) piszemy F (x)| b a lub [F (x)] b a.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. 8 ∫2. 2 ∫11(2x 2 + 3x 3 ) dx;3√ x dx;∫3. π (2 sin x − 3 cos x) dx.4.0√∫ 31dx1+x 2 .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObliczanie całekTwierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x)ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a,ϕ(β) = b, to∫ βαf (ϕ(x)) ϕ ′ (x) dx =∫baf (t) dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObliczanie całekTwierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x)ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a,ϕ(β) = b, toPrzykłady 1. 9 ∫2. 1 ∫3.dxe x +e; −x0π/2 ∫04∫ βαdx √ x−1;cos 2 x sin x dx.f (ϕ(x)) ϕ ′ (x) dx =∫baf (t) dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObliczanie całekTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne,to∫ b∫bu(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x)| b a − v(x)u ′ (x) dx.aaCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObliczanie całekTwierdzenie (o całkowaniu przez części)Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne,to∫ b∫bu(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x)| b a − v(x)u ′ (x) dx.a∫Przykłady 1. 2 ln x dx;∫2. 1 xe x dx;3.0π∫−π1x sin x dx.aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObliczanie pólPole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox, odgóry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b wynosi:P =∫baf (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObliczanie pólPole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox, odgóry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b wynosi:P =∫baf (x) dx.Gdy funkcja ograniczająca z góry ma równania parametrycznex = x(t), y = y(t), α t β, to:P = ∣∫ βαy(t)x ′ ∣(t) dt∣.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli obszar jest ograniczony od dołu wykresem funkcji g(x), odgóry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b, to wzór na pole ulega modyfikacji i ma postać:P =∫ ba(f (x) − g(x)) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli obszar jest ograniczony od dołu wykresem funkcji g(x), odgóry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b, to wzór na pole ulega modyfikacji i ma postać:P =∫ ba(f (x) − g(x)) dx.Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. xy = 1, y = 0, x = 110 , x = 10.2. y 2 = 4x + 4, y = 2 − x.3. x2 + y 2= 1 (elipsa).a 2 b 24. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 t 2π, y = 0 (łukcykloidy).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:α ϕ β, 0 ρ ρ(ϕ),Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:α ϕ β, 0 ρ ρ(ϕ),gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar jest trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzórP = 1 2∫ βαρ 2 (ϕ) dϕCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:α ϕ β, 0 ρ ρ(ϕ),gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar jest trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzórP = 1 2∫ βαρ 2 (ϕ) dϕPrzykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π 2 ;2. ρ = a √ cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDługość łukuJeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dlaa x b, to stosujemy wzórl =∫ba√1 + f ′ (x) 2 dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweDługość łukuJeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dlaa x b, to stosujemy wzórl =∫ba√1 + f ′ (x) 2 dx.Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. f (x) = 1 − ln cos x, 0 x π 4 ;2. x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 , gdzie a > 0 (asteroida). Uwaga: sprawdzićnajpierw, że1 + (y ′ ) 2 = a 2/3 x −2/3 .Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t)dla α t β, to wzór jest inny:l =∫ βα√(x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t)dla α t β, to wzór jest inny:l =∫ βα√(x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt.Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 t 2π (łuk cykloidy).2. x = e t sin t, y = e t cos t, 0 t π 2Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweW biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ),α ϕ β:∫ β √l = (ρ(ϕ)) 2 + (ρ ′ (ϕ)) 2 dϕ.αCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweW biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ),α ϕ β:∫ β √l = (ρ(ϕ)) 2 + (ρ ′ (ϕ)) 2 dϕ.αPrzykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. ρ = a sin 3 ϕ 3, ϕ ∈ [0, 3π];2. ρ = 2a sin ϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π].Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObjętość i pole powierzchni brył obrotowychW układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a x b, i obracamy ją dokoła osi Ox. Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObjętość i pole powierzchni brył obrotowychW układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a x b, i obracamy ją dokoła osi Ox. Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:∫bV = πaf 2 (x) dx,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweObjętość i pole powierzchni brył obrotowychW układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a x b, i obracamy ją dokoła osi Ox. Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:a pole powierzchni bocznej∫bS = 2π∫bV = πaaf 2 (x) dx,√f (x) 1 + (f ′ (x)) 2 dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweW przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dlaα t β, odpowiednie wzory to:∫ βV = παy 2 (t)|x ′ (t)| dt,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweW przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dlaα t β, odpowiednie wzory to:∫ βS = 2π∫ βV = πααy 2 (t)|x ′ (t)| dt,√|y(t)| (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsydokoła osi odciętych.x 2a 2 + y 2b 2 = 1Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsyx 2a 2 + y 2b 2 = 1dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidyx = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),0 t 2πdokoła osi odciętych.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsyx 2a 2 + y 2b 2 = 1dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidyx = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),0 t 2πdokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x, 0 x π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √x 2 + a dx = a 2 ln |x + √ x 2 + a| + x √x22 + a + CCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsyx 2a 2 + y 2b 2 = 1dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidyx = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),0 t 2πdokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x, 0 x π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √x 2 + a dx = a 2 ln |x + √ x 2 + a| + x √x22 + a + C4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos 3 t,y = a sin 3 t, a > 0 dokoła osi Ox.Całki nieoznaczone i oznaczone

DrogaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t 1 , t 2 ] wynosis =∫ t 2t 1v(t) dt.Całki nieoznaczone i oznaczone

DrogaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t 1 , t 2 ] wynosis =∫ t 2t 1v(t) dt.Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t 2sek. Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?mCałki nieoznaczone i oznaczone

DrogaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t 1 , t 2 ] wynosis =∫ t 2t 1v(t) dt.Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t 2sek. Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamys =∫ 1000, 6t 2 dt = 200 m.mCałki nieoznaczone i oznaczone

DrogaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t 1 , t 2 ] wynosis =∫ t 2t 1v(t) dt.Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t 2sek. Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamys =∫ 1000, 6t 2 dt = 200 m.Prędkość średnia: v 0 = 20010 = 20 msek .mCałki nieoznaczone i oznaczone

PracaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox, to praca tejsiły na przedziale [x 1 , x 2 ] wynosiW =∫ x 2x 1f (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

PracaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox, to praca tejsiły na przedziale [x 1 , x 2 ] wynosiW =∫ x 2x 1f (x) dx.Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Całki nieoznaczone i oznaczone

PracaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox, to praca tejsiły na przedziale [x 1 , x 2 ] wynosiW =∫ x 2x 1f (x) dx.Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k.Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Całki nieoznaczone i oznaczone

PracaCałka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox, to praca tejsiły na przedziale [x 1 , x 2 ] wynosiW =∫ x 2x 1f (x) dx.Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k.Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x orazW =0,06 ∫0100x dx = 0, 18 J.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:∫baf (x) dx = lim∫bε→0a+εf (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:∫baf (x) dx = lim∫bε→0a+εf (x) dx.Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:∫ baf (x) dx = limb−ε ∫ε→0af (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweJeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:∫baf (x) dx = lim∫bε→0a+εf (x) dx.Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:∫ baf (x) dx = limb−ε ∫ε→0af (x) dx.Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. 1 ∫2. 2 ∫13. 1 ∫00dxx √ ln x = 2√ ln 2;dx(x−1) 21 √ xdx = 2;(rozbieżna).Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. 1 ∫2. 2 ∫13. 1 ∫00dxx √ ln x = 2√ ln 2;dx(x−1) 21 √ xdx = 2;(rozbieżna).Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie.Można wtedy zastosować kryterium porównawcze:∫Jeżeli f (x) g(x) w (a, b) i całka b g(x) dx jest zbieżna, tob∫f (x) dx też jest zbieżna.aaCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:∫ b−∞f (x) dx =∫ blim f (x) dx,a→−∞aCałki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:∫ b−∞f (x) dx =∫ blim f (x) dx,a→−∞a∫∞af (x) dx = limb→∞∫baf (x) dx,Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściweCałkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:∫ b−∞f (x) dx =∫ blim f (x) dx,a→−∞a∫ ∞−∞∫∞af (x) dx =f (x) dx = limb→∞∫baf (x) dx,∫ clim f (x) dx + lima→−∞b→∞a∫ bcf (x) dx.Całki nieoznaczone i oznaczone

Całka nieoznaczonaCałka oznaczonaZastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwePrzykłady 1. ∞ ∫2. ∞ ∫3.4.dxx12 +x0∫0= ln 2;e −x dx = 1;sin x dx (rozbieżna).−∞∞∫ dxx−∞2 +2x+2Całki nieoznaczone i oznaczone