Lekce - Realisticky cz

7.5.6 Tečny kružnic IIPředpoklady: 4501, 4504Pedagogická poznámka: Tato hodina patří na gymnázium mezi početně nejnáročnější.Ačkoliv jsou příklady optimalizované na co nejmenší početní obtížnost, všichnistudenti nedokáží dopočítat kompletní obsah celé hodiny. Provádíme kontroly v počástech příkladů, pokud někdo nestíhá, trvám na tom, aby nejhorší úsekyneopisoval a vynechával si místo v sešitě, aby mu zbyl čas na úseky, které majívýznam z hlediska pochopení smyslu příkladů.Přesto všechno to nakonec dopadne tak, že pokud třída nepočítá opravdu dobře,roztáhnou se následující příklady do dvou hodin.( )Př. 1: Je dána kružnice k [ 1;1 ]; 10 a bod [ 5; 1]P − . Rozhodni, zda bod P leží uvnitř, vněnebo na kružnici k. Pokud existují, najdi tečny kružnice procházející bodem P.Polohu bodu P zjistíme z jeho vzdálenosti od středu kružnice:( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2PS = p1 − s1 + p2 − s2 = 5 − 1 + −1− 1 = 20⇒ bod P leží vně kružnice ⇒ existují dvě tečny kružnice procházející tímto bodem.Co víme o hledaných tečnách?Prochází bodem P ⇒ neznáme směr (ten zjistíme z toho, že přímka je tečnou) ⇒ zapíšemetečny pomocí parametru ve směrnicovém tvaru a najdeme správnou hodnotu parametru podlepočtu průsečíků s kružnicí k.5; 1 y + 1 = k x − 5 ⇒ y = kx − 5k− 1 + svislá přímkaPřímky procházejí bodem P[ − ]: ( ) ( )x = 5.2 2 2 2Dosadíme do středové rovnice kružnice: ( x ) ( y ) ( x ) ( kx k )( x ) ( kx k )2 2− 1 + − 5 − 2 = 102 2 2 2 2 2x x k x k x kx k x k k kx k− 1 + − 1 = − 1 + − 5 −1− 1 = 10 .− 2 + 1+ − 5 − 2 − 5 + 25 + 10 − 2 + 10 + 4 = 102 2 2 21+ k x −10k x − 4kx − 2x + 25k + 20k− 5 = 0( )( k 2 ) x 2 ( k 2 k ) x ( k 2 k )1+ − 2 5 + 2 + 1 + 5 5 + 4 − 1 = 0Počet řešení závisí na hodnotě diskriminantu. Hledáme tečnu ⇒ chceme jediný průsečík ⇒jediné řešení ⇒ hledáme nulový diskriminant.22 2 2 24 ⎡ 2( 5 2 1) ⎤⎣⎦4( 1 ) 5( 5 4 1)0( k 4 k 3 k 2 k 3 k 2 k k 2 k ) ( k 2 k k 4 k 3 k2)( k 4 k 3 k 2 k ) ( k 4 k 3 k 2 k )D = b − ac = − k + k + − + k ⋅ k + k − == 4 25 + 10 + 5 + 10 + 4 + 2 + 5 + 2 + 1 − 20 5 + 4 − 1+ 5 + 4 − == 4 25 + 20 + 14 + 4 + 1 − 20 5 + 4 + 4 + 4 − 1 =4 3 2 4 3 2= 100k + 80k + 56k + 16k + 4 −100k −80k − 80k − 80k+ 20 =2= −24k− 64k+ 24 = 02= 3k+ 8k− 3 = 0Požadované hodnoty parametru k najdeme vzorcem pro kvadratickou rovnici:1

k1,2( )22− b ± b − ac − 8 ± 8 − 4⋅3⋅ −3− ±4 8 10= = =2a2⋅3 6−8 −10• k1= = − 3 ⇒ Tečna ( y + 1) = −3( x − 5)⇒ 3x+ y − 14 = 06− 8 + 10 11• k2= = ⇒ Tečna ( y + 1) = ( x − 5)⇒ x − 3y− 8 = 06 33Z bodu [ 5; 1]x − 3y− 8 = 0 .P − je možné vést ke kružnici [ ]( 1;1 ; 10 )k dvě tečny: 3x+ y − 14 = 0 aŘešení předchozího příkladu rozhodně nebylo snadné (i přes to, že nakonec vyšla „pěkná“čísla). Tečny jde naštěstí nalézt i rychleji.Opět předeme na jiné značení. Je dána kružnice k ([ m; n]; r ) a bod1 [ 1;1]X x y .Předpokládáme, že bod X1leží vně kružnice (kdyby ležel uvnitř, není možné tečnu sestrojit,kdyby ležel na kružnici, můžeme tečnu sestrojit pomocí rovnice tečny z minulé hodiny).Když sestrojíme tečnu kružnice z bodu X1získáme tečný bod X0.10ktSBod X1leží na tečně ke kružnici k procházející bodem X0. Rovnici této přímky jsmeodvodili minulou hodinu ⇒ bod1x0 − m x − m + y0− n y − n = r⇒ rovnice musí vyjít, pokud do ní dosadíme bod1 [ 1;1]2( x m)( x m) ( y n)( y n) r0 1 0 1X leží na přímce ( )( ) ( )( )2X x y ⇒− − + − − = - toto není rovnice přímky, ale rovnost dvoukonkrétních čísel, neobsahující žádnou proměnou.X x ; y , proto v předchozí rovnosti místo souřadnic boduMy bohužel neznáme bod0 [ 0 0 ]2X [ x ; y ] napíšeme neznámé x, y: ( x m)( x m) ( y n)( y n) r0 0 0− − + − − = .1 1Co tento výraz znamená?X x ; y ≠ S m;n (vynulovala by se celá levá strana), jedná se o rovniciPokud platí1 [ 1 1] [ ]přímky, která je určena kružnicí k ([ m; n]; r ) a bodem1 [ 1;1]X x y . Na této přímce určitě ležíoba tečné body, které získáme po sestrojení tečen z bodu X1ke kružnici k. Tato přímka senazývá polára bodu X1vzhledem ke kružnici k.2

t10kSpoláraPolára bodu X1 [ x1;y1]vzhledem ke kružnici ([ ; ];)2( x − m)( x − m) + ( y − n)( y − n) = r .1 1k m n r má rovniciMnemotechnická pomůcka na zapamatování je stejná jako u rovnice tečny.2 2 2• Středová rovnice kružnice ( ) ( )x − m + y − n = r .2• Rozložíme dvojčleny: ( x − m)( x − m) + ( y − n)( y − n) = r .• V každém součinu zaměníme jedno x za x1(a jedno y za y1):2( x m)( x m) ( y n)( y n) r− − + − − = .1 1Tečné body jsou průsečíky poláry s kružnicí. Jakmile je vypočteme, můžeme napsat rovnicetečen pomocí rovnice pro tečnu.( )Př. 2: Je dána kružnice k [ 1;1 ]; 10 a bod [ 5; 1]Hledání polárybodem P pomocí rovnice poláry a rovnice tečny.Nejdříve napíšeme středovou rovnici kružnice k: ( x ) ( y )Rovnice poláry: ( x −1)( 5 − 1) + ( y −1)( −1− 1)= 104( x −1) − 2( y − 1)= 10P − . Najdi tečny kružnice k procházející2 2− 1 + − 1 = 10 .4x− 2y− 12 = 02x− y − 6 = 0Průsečíky poláry s kružnicí (tečné body)Hledáme průsečíky poláry s kružnicí k: 2x− y − 6 = 0 ⇒ y = 2x− 6 .2 2 2 2Dosadíme do rovnice kružnice: ( x ) ( y ) ( x ) ( x )( ) ( )2 2 2 2x − 1 + 2x − 7 = x − 2x + 1+ 4x − 28x+ 49 = 1025x− 30x+ 40 = 02x − 6x+ 8 = 0x − 4 x − 2 = 0( )( )− 1 + − 1 = − 1 + 2 − 6 − 1 = 10 .Dopočítání druhé souřadnice tečných bodů a odpovídající tečny• x1= 4 ⇒ y1 = 2x1− 6 = 2⋅4 − 6 = 2 ⇒ tečný bod T1 [ 4;2].Rovnice tečny kružnice k v tomto bodě:( x )( ) ( y )( )−1 4 − 1 + −1 2 − 1 = 10 .3

( x ) ( y )3 − 1 + − 1 = 103x+ y − 14 = 0 (stejná rovnice jako v předchozím řešení)= − = ⋅ − = − ⇒ tečný bod T2 [ 2; − 2].Rovnice tečny kružnice k v tomto bodě: ( x )( ) ( y )( )( x −1) − 3( y − 1)= 10• x2= 2 ⇒ y1 2x16 2 2 6 2x − 3y− 8 = 0 (stejná rovnice jako v předchozím řešení)−1 2 − 1 + −1 −2 − 1 = 10 .Pedagogická poznámka: Předchozí příklad způsobuje některým studentům problémy kvůliorientaci v tom, co je konstanta ze zadání a co je neznámá. V takovém případěpomůže sestavování rovnice poláry pomocí barevných kříd (barvy odpovídajíbarvám na obrázku). V textu není barevné rozlišení použito úmyslně.Pedagogická poznámka: Hodně studentů má problémy pojmout celý příklad a ve chvíli, kdyspočtou tečné body, neví jak dál.( )Př. 3: Je dána kružnice k [ 1;1 ]; 10 a bod [ 5; 1]P − . Najdi tečny kružnice k procházejícíbodem P. Při řešení využij úhly, které svírá tečna se spojnicí tečného bodu a středukružnice.Tečna svírá se spojnicí tečného bodu se středem kružnice pravý úhel.t 11kS2t 2⇒ Tečné body můžeme nalézt pomocí Thaletovy kružnice l sestrojené nad průměrem PS.l1kt 1S lS2t 2⎡5 + 1 − 1+1⎤⎢⎣ 2 2 ⎥⎦Střed kružnice l = střed úsečky PS ⇒ S = S ; = [ 3;0]lPS.4

Poloměr kružnice l:( p − s ) + ( p − s ) ( − ) + ( − − )2 2 2 21 1 2 2PS5 1 1 1 2 5r1= = = = = 5 .2 2 2 2( )( 1;1 ; 10 )Středová rovnice kružnice l [ 3;0 ]; 5 : ( ) 2 2x y− 3 + = 5 .2 2Středová rovnice kružnice k [ ] : ( x ) ( y )Získali jsme soustavu dvou kvadratických rovnic:2 2x − 6x + 9 + y = 5 2 2x x y y− 2 + 1+ − 2 + 1 = 102 2x y x+ − 6 = −42 2x y x y+ − 2 − 2 = 32 2x y x+ − 6 = −41 − 2 − 4x + 2y = −12 ⇒ y = 2x− 6( ) 22 2 2x y x x x x+ − 6 = + 2 − 6 − 6 = − 4− 1 + − 1 = 10 .2 2x + 4x − 24x + 36 − 6x= − 425x− 30x+ 40 = 0Získali jsme stejnou rovnici jako v předchozím příkladě, kdy jsme tečné body hledali pomocípoláry ⇒ dále už postupujeme stejně.2x − 6x+ 8 = 0x − 4 x − 2 = 0( )( )Dopočítáme druhé souřadnice tečných bodů a odpovídající tečny:• x1= 4 ⇒ y1 = 2x1− 6 = 2⋅4 − 6 = 2 ⇒ tečný bod T1 [ 4;2].Rovnice tečny kružnice k v tomto bodě:( x )( ) ( y )( )3( x − 1) + ( y − 1)= 103x+ y − 14 = 0 (stejná rovnice jako v předchozím řešení)• x2= 2 ⇒ y1 2x16 2 2 6 2−1 4 − 1 + −1 2 − 1 = 10 .= − = ⋅ − = − ⇒ tečný bod T2 [ 2; − 2].Rovnice tečny kružnice k v tomto bodě: ( x )( ) ( y )( )( x −1) − 3( y − 1)= 10x − 3y− 8 = 0 (stejná rovnice jako v předchozím řešení)−1 2 − 1 + −1 −2 − 1 = 10 .Př. 4:Petáková:strana 130/cvičení 91 b)strana 130/cvičení 92 b)strana 130/cvičení 93 b)Shrnutí: Tečnu kružnice můžeme najít pomocí počtu průsečíků parametricky nebo využitímspeciálních vlastností.5