Zadania: krzywe stożkowe

Plan ćwiczeń semestru letniego8.03. Stożkowe22.03. Przestrzeń liniowa, baza, wymiar5.04. Wektory i wartości własne macierzy19.04. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni10.05. Kwadryki24.05 KolokwiumZadania do pierwszych ćwiczeńOkrąg1. Napisać równanie okręgu o środku w punkcie (3, −4) i przechodzącegoprzez środek układu współrzędnych.2. Napisać równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych istycznego do prostej 6x − 8y + 10 = 0.Elipsa1. Dana jest elipsa o równaniu 5x 2 + 9y 2 = 45 oraz punkt A(2, − 5 ). Napisać3równania prostych przechodzących przez punkt A i ogniska danej elipsy. Odp.x − 2 = 0, 5x + 12y + 10 = 0.2. Dana jest elipsa o równaniu 12x 2 + 16y 2 = 192. Znaleźć odległość ogniskod kierownicy. Odp. 6, 10.3. Szklanka w kształcie walca o wewnętrznej średnicy d = 10 cm i głębokościh = 12 cm jest napełniona do połowy wodą. Jeśli szklankę przechylamy tak,by woda osiągnęła krawędź, to powierzchnia wody będzie ograniczona elipsą.Znaleźć półosie tej elipsy. Odp. a = 7, 8 cm, b = 5 cm.4. Wykazać, że promienie wodzące punktu P (x, y) na elipsie x2 + y2= 1a 2 b 2wyrażają się wzorami:r 1 = a + ex, r 2 = a − ex,gdzie e — mimośród.5. Na elipsie 36x 2 + 45y 2 = 1620 znaleźć punkty, których odległość od lewegoogniska jest dwa razy większa od odległości od prawego ogniska. Wsk.skorzystać z zad. poprzedniego; Odp. A(5, 4), B(5, −4).6. Dana jest elipsa 4x 2 +15y 2 = 60. Przez punkt A(1, 3 ) poprowadzono średnicętej elipsy. Znaleźć równanie średnicy sprzężonej. Wsk. zależność między2wsp. kier. średnic sprzężonych: m 1 m 2 = − b2 Odp. y = − 8 x.a 2 457. Wykazać, że jeśli punkt P (x 0 , y 0 ) leży na elipsie x2 + y2= 1, to równaniea 2 b 2stycznej do elipsy w punkcie P ma postać x 0x+ y 0y= 1.a 2 b 2Hiperbola8. Napisać równania kierownic hiperboli 16x 2 − 9y 2 = 144. Odp. x = ± 9.59. Napisać równanie hiperboli o ogniskach położonych na osi odciętych, mającdane równania asymptot y = ± 5 x i odległości między ogniskami 2c = 26.121Odp.144 x2 − 125 y2 = 1.

10. Dana jest hiperbola x 2 − y 2 = 8. Napisać równanie hiperboli współogniskowejprzechodzącej przez punkt A(−5, 3). Odp.110 x2 − 1 6 y2 = 1.11. Napisać równania stycznych do hiperboli 4x 2 − y 2 = 4 poprowadzonychz punktu A(1, 4). Odp. x = 1, 5x − 2y + 3 = 0.12. Napisać równanie hiperboli, mając dane jej asymptoty y = ± 1x i równaniejednej ze stycznych 5x − 6y − 8 = 0. Odp. 1 4 x2 − y 2 =21.Parabola13. Napisać równanie paraboli o wierzchołku w początku układu, symetrycznejwzględem osi Ox i przechodzącej przez punkt A(−2, 4). Odp. y 2 = −8x.14. Napisać równanie paraboli o ognisku F (−5, 0) i kierownicy x = 5. Odp.y 2 = −20x.15. Na paraboli y 2 = 24x dany jest punkt odległy od ogniska o 14. Znaleźćodległość tego punktu od wierzchołka paraboli. Odp. 16.16. W parabolę y 2 = 2px wpisano trójkąt równoboczny w ten sposób, żejeden z wierzchołkow znajduje się w wierzchołku paraboli. Znaleźć długośćjego boków. Odp. 4p √ 3.