Czyste zginanie

4. CZYSTE ZGINANIE 14. 4. Czyste zginanie4.1 Podstawowe definicjeMomentem M siły P względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego roraz wektora siły P .M=r ×P . (4.1)Wektor r jest promieniem wodzącym dowolnego punktu linii działania siły (prostej, na której leży wektorsiły) o początku w punkcie O. Przedstawia to rysunek 4.1.ZMPaYr 0rXORys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.Wartość bezwzględna momentu siły wynosiM =P⋅r⋅sin , (4.2)gdzie a jest kątem zawartym między wektorami r i P , a r 0 – rzutem wektora r na prostą prostopadłądo wektora P , czyli ramieniem siły. Wektor M jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektoryr i P , a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Reguła ta mówi, że przy obrocie wektorar zgodnie z obrotem śruby prawoskrętnej o kąt a mniejszy od 180 0 do pokrycia się z wektorem P , śrubapostępuje w kierunku wektora M . Na rysunku 4.2 obrót wektora r w kierunku wektora P zostałprzedstawiony za pomocą strzałki. Moment siły względem punktu nazywamy momentem statycznym. Zależyon od położenia punktu O, względem którego moment ten obliczamy, nie zależy natomiast od przesunięcia siływzdłuż jej linii działania. Moment M układu sił dowolnie rozmieszczonych na płaszczyźnie względemdowolnego punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem tego punktu.Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 2ZYMPaXOrRys. 4.2. Reguła śruby prawoskrętnej.Jeżeli siła P znajdowałyby się w przestrzeni to w takim przypadku oblicza się moment siły względem osi.Wartość bezwzględna momentu wynosiM =P '⋅r 0, (4.3)w którym P' jest rzutem siły P na płaszczyznę P prostopadłą do osi natomiast r 0 jest ramieniem siłyP' . Przedstawia to rysunek 4.3.r 0PP 'PRys. 4.3. Moment statyczny siły względem osi.Parą sił nazywamy dwie siły P równoległe i równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Momentpary sił względem punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił P względem punktu O.Przedstawia to rysunek 4.4.Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

aa4. CZYSTE ZGINANIE 3xOPPRys.4.4. Para sił.Jako dodatni został przyjęty moment, który kręci zgodnie ze wskazówkami zegara. Momenty statyczneposzczególnych sił wynosząM 1=P⋅x , (4.4)M 2=−P xa . (4.5)Momenty statyczne obu sił zostały przedstawione na rysunku 4.5. Zamiast wektora momentu, który byłbyniewidoczny zastosowano strzałki, które pokazują jak kręciłaby się śruba prawoskrętna. Moment M 1 jestdodatni więc wektor jego wkręcałby się w kartkę. Moment M 2 jest ujemny więc jego wektor wykręcałby się zkartki. Moment M 2 jako ujemny został narysowany ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara,natomiast jako opis wektora została podana wartość bezwzględna tego momentu.xPOM 1=P⋅xM 2=P xa PRys. 4.5. Momenty statyczne poszczególnych sił względem punktu O.Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 10Wzory (4.12), (4.13) i (4.14) obowiązują w konfiguracji aktualnej (odkształconej). Zgodnie jednak zprzyjętymi założeniami, że odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, co pozwala przyrównaćkonfigurację pierwotną i aktualną. Naprężenia będziemy więc obliczać dla konfiguracji pierwotnej. PrawoHooke'a w przypadku pręta poddanego czystemu zginaniu będzie miało postać identyczną jak dla osiowegodziałania siły czyli X=E⋅ X. (4.15)Zgodnie z prawem Bernouliego funkcję odkształceń liniowych przedstawia wzór (4.11). Jeżeli uwzględnimyprawo Hooke'a (4.15) to funkcja naprężeń normalnych będzie miała postać X y 0, z 0 =b 0b 1⋅y 0b 2⋅z 0. (4.16)Po wstawieniu (4.16) do wzoru (4.12) moment zginający M Y0 będzie miał postaćM Y0=∫ b 0b 1⋅y 0b 2⋅z 0 ⋅z 0⋅dA . (4.17)APo rozwinięciu wyrażeń pod całką wzór (4.17) będzie miał postaćM Y0=∫ b 0⋅z 0b 1⋅y 0⋅z 0b 2⋅z 02⋅dA . (4.18)ACałkę z sumy zamieniamy na sumę całek. Ponieważ b 0, b 1 oraz b 2 są pewnymi stałymi można je wyciągnąćprzed znak całki. Wzór (4.18) będzie miał postaćM Y0=b 0⋅∫ z 0⋅dAb 1⋅∫AAy 0⋅z 0⋅dAb 2⋅∫ z 2 0⋅dA . (4.19)AInterpretując poszczególne całki wzór (4.19) będzie miał postaćM Y0=b 0⋅S Y0b 1⋅I Y0Z0b 2⋅I Y0. (4.20)Po wstawieniu (4.16) do wzoru (4.13) moment zginający M Z0 będzie miał postaćM Z0=−∫ b 0b 1⋅y 0b 2⋅z 0 ⋅y 0⋅dA . (4.21)AProf. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 12N =b 0⋅∫ dAb 1⋅∫AAy 0⋅dAb 2⋅∫ z 0⋅dA=0 . (4.29)AInterpretując poszczególne całki wzór (4.29) będzie miał postaćN =b 0⋅Ab 1⋅S Z0b 2⋅S Y0=0 . (4.30)Ponieważ osie Y 0 oraz Z 0 są osiami środkowymi więc momenty statyczne S Y0 i S Z0 są równe zero. Stała b 0będzie w tej sytuacji równa zero. Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń normalnych w przekroju zginanymbędzie miał postać X=− M ⋅I M ⋅I Y0 Y0Z0 Z0 Y0y2 0 M ⋅I M ⋅I Y0 Z0 Z0 Y0Z0z .2 0 (4.31)I Y0⋅I Z0−I Y0Z0I Y0⋅I Z0−I Y0Z0Jest to ogólny wzór na naprężenia normalne wywołane przez moment zginający M o składowych M Y0 i M Z0 wukładzie dowolnych osi środkowych. Jeżeli przyrównamy naprężenia normalne do zera otrzymamy równanieosi obojętnej w postaciz 0= M Y0 ⋅I Y0Z0 M Z0 ⋅I Y0M Y0⋅I Z0M Z0⋅I Y0Z0y 0. (4.31)1Rozkład naprężeń normalnych w przekroju przedstawia rysunek 4.17. Widać z niego. że oś obojętna wogólnym przypadku nie pokrywa się z wektorem momentu M. Ekstremalne naprężenia normalne występują wpunktach przekroju pręta najbardziej oddalonych od osi obojętnej.Zależność (4.31) uprości się znacznie jeżeli układ Y 0Z 0 będzie układem osi głównych Y glZ gl, w którym momentdewiacyjny I YglZgl wynosi zero. Wzór (4.31) będzie miał postać X=− M ZglI Zgly gl M YglI Yglz gl. (4.32)Równanie osi obojętnej w osiach głównych będzie miało postaćz gl= M Zgl ⋅I YglM Ygl⋅I Zgly gl. (4.33)Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 13Płaszczyznaobciążenia-Oś obojętnaY 0M Y0MZ 0+s XM Z0PłaszczyznazginaniaRys. 4.17. Naprężenia normalne w przekroju zginanym momentem zginającym M.Rozkład naprężeń w przekroju zginanym, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osigłównych (Z gl)) przedstawia rysunek 4.18. Jest to jeden z najczęściej występujących przypadków zginania,występujący na przykład w belkach i nazywa się zginaniem prostym.Płaszczyzna obciążenia==Płaszczyzna zginaniaM(x)-XY=Y 0=Y glOś obojętnaZ=Z 0M(x)=M YglZ=Z 0=Z gls X+Rys. 4.18. Rozkład naprężeń w przekroju zginanym.Naprężenia normalne oblicza się ze wzoru (M Zgl = 0) X= M YglI Yglz gl. (4.34)Ekstremalne naprężenia normalne występują na krawędzi dolnej i górnej przekroju. Oblicza się je ze wzorów Xd = M YglI Ygld z ,gl(4.35)Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 14 X g = M YglI Yglgz ,gl(4.36)w których z gl(d)oraz z gl(g)oznaczają współrzędne z gl punktów krawędzi dolnej i górnej. Wzory (4.35) i (4.36)możemy zapisać w postaci Xd = M YglI Ygld z gl,(4.37) X g = M YglI Ygl. (4.38)gz glWyrażenia w mianowniku ułamka nazywają się wskaźnikami wytrzymałości na zginanie włókien dolnych igórnych. Oblicza się więc ze wzorówdW Ygl= I Ygld z gl,(4.39)W g Ygl=− I Yglgz gl. (4.40)Znak minus we zworze (4.40) wynika z tego. że współrzędna włókien górnych jest ujemna a wskaźnikwytrzymałości musi być dodatni. Wskaźniki wytrzymałości przekroju na zginanie znajdują się w tablicach doprojektowania konstrukcji metalowych (należy zwrócić uwagę na oznaczenia osi w tablicach) i mogą byćpomocne w przyjęciu przekroju pręta, w którym płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną z osi głównych.Znając wartość momentu zginającego M Ygl i wartość naprężenia dopuszczalnego można wyznaczyć wartośćminimalną (potrzebną) wskaźnika wytrzymałości na zginanieW pot Ygl= ∣M ∣ Ygldop X. (4.41)Następnie w tablicach szuka się przekroju, który posiada wskaźnik wytrzymałości na zginanie większy niżobliczony ze wzoru (4.41). Ekstremalne naprężenia normalne oblicza się ze wzorówProf. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 15d X= M Ygld W Ygl g X=− M YglgW Ygl, (4.42). (4.43)Znak minus we wzorze (4.43) wynika z tego, że dodatni moment zginający wywołuje we włóknach górnychnaprężenia ujemne (ściskające), a wskaźnik wytrzymałości ma zawsze wartość dodatnią. W innychprzypadkach projektowanie przekroju polega za zasadzie prób i błędów.Tensor naprężenia w przypadku pręta zginanego momentem zginającym będzie miał postaćX0 0=[ ].0 0 00 0 0(4.44)Wykorzystując prawo Hooke'a (4.15) można wyznaczyć odkształcenia liniowe. Tensor odkształcenia będziemiał postaćX0 0=[ 0 −⋅ X0X].0 0 −⋅(4.45)4.4 Zależności energetyczneWartość całki objętościowej z iloczynu tensorów naprężenia (4.44) i odkształcenia (4.45) przy zginaniupręta wynosi∫V⋅⋅dV =∫ X⋅ X⋅dV =∫Vs[ ∫ X⋅ X⋅dA ]ds , (4.46)Aw którym s jest długością pręta, a ds jest elementem pręta mierzonym na osi pręta. Dla bardzo małychodkształceń zgodnie z hipotezą płaskich można przyjąć zależność (4.10) jako (e=e') X=⋅e . (4.47)Odkształcenia liniowe są wprost proporcjonalne do odległości od osi obojętnej, natomiast napręzenia normalnemogą mieć dowolny rozkład (dowolne związki fizyczne). Ograniczymy się tylko do przypadku, w którymwektor M=M Ygl. Przyjęto odległość osi obojętnej od osi środkowej jako c, więc e=z gl +c. Przedstawia torysunek 4.19.Prof. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater

4. CZYSTE ZGINANIE 16Y=Y 0=Y glPłaszczyzna obciążenia==Płaszczyzna zginaniaez gl cRys. 4.19. Przekrój zginany.--Oś obojętnaM(x)=M Ygl++Z=Z 0=Ze Xs X glPo tych wszystkich założeniach wzór (4.46) będzie miał postać∫⋅⋅dV =∫Vs[ ∫ X⋅ X⋅dA ∫]ds= As[ ∫ X⋅⋅e⋅dA ∫]ds= As[ ∫ X⋅⋅ z glc⋅dA ]ds . (4.48)APonieważ krzywizna jest stała na całym polu powierzchni przekroju A można więc ją wyciągnąć przed całkępo polu powierzchni przekroju, wzór (4.48) będzie miał więc postać∫V⋅⋅dV =∫ [∫ X⋅ z glc⋅dA ]ds . (4.49)s ACałkę sumy zamieniono na sumę całek (odległość c jako stałą można wyciągnąć przed znak całki)∫V⋅⋅dV =∫s [∫ X⋅z gl⋅dAc⋅∫ X⋅dA ]ds . (4.50)A APonieważ∫ X⋅z gl⋅dA=M Ygl, (4.51)A∫ X⋅dA=N =0 , (4.52)AotrzymanoProf. dr hab. inż. Andrzej GarsteckiDr inż. Janusz DębińskiAlmaMater