LaTeX - Alas

L A TEXJasmina Fijuljaninsmer:profesor matematike i računarstva;indeks: 05/044December 21, 2005

Poglavlje 1Matematika1.1 Prva godina1.1.1 Analitička geometrija• Sa obzirom na asocijativnost i komutativnost sabiranja vektorau vektorskom prostoru V , dobro je definisan sledeći vektora = α 1 a 1 + α 2 a 2 + . . . α m a m ,gde su a 1 , a 2 , . . . , a m , nenula vektori, a α 1 , α 2 , . . . , α m realnibrojevi. Vektor a nazivamo linearnom kombinacijom vektoraa 1 , a 2 , . . . , a m . Skup nenula vektora, W = {a 1 , a 2 , . . . a m } ⊂V, nazivamo linearno zavisnim ako postoje brojevi α 1 , α 2 , . . . , α mod kojih je bar jedan različit od nule, takvi da jeα 1 ∗ a 1 + α 2 ∗ a 2 + . . . α m ∗ a m = 0, a linearnonezavisnim ako takvi brojevi ne postoje. Izdefinicije neposredno sledi da su vektori a 1 , a 2 , . . . , a m linearnozavisni ako i samo ako je neki od njih linearna kombinacijapreostalih. Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora nekogvektorskog prostora naziva se njegovom /textbfdimenzijom, iza te vektore se kaže da čine bazu tog vektorskog prostora. Zavekotrski prostor kažemo da je konačnodimezionalan akoima barem jednu bazu koja ima konačan broj elemenata.• Neka je B = (e 1 , e 2 , . . . , e m ), (m = 1, 2, 3), baza nekog vektorskogprostora V. Tada važi:1

1. Dva vektora su jednaka ako i samo ako su jednake njihovekoordinate u odnosu na bazu B.2. Svaka koordinata sume dvaju vektora jednaka je sumi odgovarajućihkoordinata vektora sabiraka.3. Svaka koordinata proizvoda broja i vektora jednaka je proizvodutog broja i odgovarajuće koordinate vektora.Dokaz:1) Posledica je jedinstvenosti koordinata vektora u bazi.2) i 3) su posledice svojstava sabiranj i množenja vektora skalarom,tako da je npr.2) neka je x = ∑ mi=1 x ie i i y = ∑ i=1 my ie i , onda imamo redom:m∑m∑m∑x + y = x i e i + y i e i = (x i + y i )e i.i=1i=1• Neka su u ravni zadati vektor AB, osa s i prava s koja nijeparalelna osi. Paralelnom vektor-projekcijom vektora ABna osu s u odnosu na pravu l nazivamo vektor A’B’ čija sutemena tačke A’ i B’ ukojima prave kroz tačke A i B paralelnepravoj l seku s. Broj čija je apsolutna vrednost |A’B’|,a znak pozitivan ili negativan u zavisnosti od toga da li jeA’B’ istosmeran ili suprotnosmeran sa s, nazivamo paralelnomskalar-projekcijom vektora AB na osu s u odnosu napravu l i obeležavamo je sa pr l sAB.Ako je e jedinični vektor ose s, drugim rečima ako je vektor e istosmeransa s čiji je intenzitet jednak jedinici, vektor-projekcijutextbfA’B’ vektora AB na osu s u odnosu na pravu l možemoizraziti relacijomA ′ B ′ = (pr l sAB)e.1.2 Osnovi programiranja• Programski jezik CProgramski jezik C je mali jezik i može se jednostavno implementiratina malim mašinama.Programski jezik C potiče od jezika BCPL i B, koji su korišćeniza pisanje operativnih sistema i jezičkih procrsora. Ovi jezicii=12

obezbedjuju efikasan interfejs prema tehničkom sistemu računara(hardveru), nisu tipizirani i omogućuju različite interpretacijejednog podatka. Osnovni doprinos C-a, u odnosu na ove jezike,jesu tipizirane promenljive.Programski jezik C implementiran je 1972. godine (DennisRitchie), kao jezik za programiranje aplikacija pod UNIX operativnimsistemom. Godine 1977. izgradjena je verzija programskogjezika C, nezavisna od vrste računara, koja je omogućilaprenosivost programa napisanih u C-u.∗∗Primer programa koji, uz pomoć switchnaredbe, broji pojavljivanjesamoglasnika, suglasnika i belina (’ ’, ’\t’, ’\n’)u tekstu koji se unosi sa standardnog ulaza.#includemain( ){int c, sam, sug, bel;sam = sug = bel = 0;while ( (c = getchar( )) != EOF)switch{c}{case ’a’: case ’e’: case ’i’: case ’o’: case ’u’:sam++;break;case ’ ’: case ’\t’: case ’\n’:bel++;break;defalt: sug++;break;}printf("Broj samoglasnika, suglasnika i belina je: %d\n" ,sam}• HTMLPrimer jezika specifične namena - jezika za obeležavanje teksta-jeste HTML(Hyper Text Markup Language). To je pre-3

ciznije, jezik za opisivanje hipertekstualne strukture teksta, tj.strukture koja uključuje veze ili uputnice (engl.links) na drugetekstove ili delove istog teksta.HTML je pojednostavljena verzija SGML-a, namenjena opisivanjuhiperteksta; tu su još iXHTML-Expamdable HTML, XML-Extensible Markup Language...HTML je jednostavan jezik. Izvorna datoteka ima ekstenziju.html ili .htm, i kreira se nekim od editora teksta (EDIT,NOTEPAD, JOE, EMACS, itd), ili pomoću posebnih programa- kompozera. Vizuelni prikaz .html dokumenta dobija se uzpomoć programa navigatora.∗∗Primer HTML dokumenta: \Biografija align="center">Biografija align="center"> ukratko Rođena sam 7. maja 1986. godine u Beogradu. 2001. godine zavr&#35 "Vladislav Petković Dis" Radoslava Ljumovića 20

1.3 Analiza• Limes nizaZa tačku a ∈ R kažemo da je limes ili granična vrednostniza (a n ) realnih brojeva i pišemo a = lim a n , ako za svakun→∞okolinu U tačke a postoji prirodan broj n 0 , takav da je a n ∈ Uza sve prirodne brojeve n veće od n 0 .Dakle,a = limn→∞a n ⇔ (∀U )(∃n 0 ∈ N)(n > n 0 ⇔ a n ∈ U ).U tom slučaju još kažemo da niz a n teži ka a kad n → ∞ ipišemo a n → a(n → ∞). U slučaju da je a konačan broj, zaniz (a n ) kažemo da je konvergentan(ili da konvergira ka a), au slučaju kada je a = ±∞ ili da granična vrednost ne postoji,kažemo da niz (a n ) divergira.Uzimajući u obzir definicije okolina konačnih i beskonačnih elemenataskupa R, uslov dat u definiciji može se protumačiti nasledeće načine:Ako je a ∈ R, tada:a = limn→∞a n ⇔ (∀ε > 0)(∃n 0 ∈ N)(n > n 0 → |a n − a| < ε).Dakle, niz (a n ) teži ka a ako su mu članovi a n proizvoljno blizubroju a čim je n dovoljno veliko. Još se kaže da se u tom slučajuu svakoj okolini tačke a nalaze svi članovi niza počev od nekogili skoro svi članovi niza (tj. svi osim njih konačno mnogo).• Košijev princip konvergencijeZa niz (a n ) realnih brojeva kažemo da je Košijev ako za svakoε > 0 postoji indeks n 0 ∈ N, takav da je ‖a m − a n ‖ < ε čim suindeksi m i n veći od n 0 . Dakle, (a n ) je Košijev⇔ (∀ε > 0)(∃n 0 ∈ N)(∀m, n > n 0 → |a m − a n | < ε).Sledeće osobine Košijevog niza su jednostavne za dokaz.5

1. Svaki konvergentan niz je Košijev.2. Svaki Košijev niz je ograničen.3. Ako Košijev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan.Neka je lim a n = a ∈ Riε > 0 proizvoljno. Neka je n 0 ∈ Nn→∞izabrano tako da je |a n − a| < ε| za n > n 2 0 . Tada je za svem, n > n 0|a m − a n | ≤ |a m − a| + |a n − a| < ε 2 + ε 2 = ε,pa je niz (a n ) Košijev.• Štolcova teoremaNeka je (y n ) strogo rastući niz (počev od nekog n) i limn→∞y n =±∞; neka je (x n ) proizvoljan niz u R i neka postojix n − x n−1lim= l.n→∞ y n − y n−1Tada je.x nlim = ln→∞ y n1.4 Linearna algebra• Kao funkcija svijih n-vrsta determinanta je:1. aditivna;2. homogena;3. antisimetrična;4. normirana: detE = 1.Vrste matrica su elementi F. U F važi sabiranje n-torki i množenjeskalarom.(x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n )α ∗ (x 1 , . . . , x n ) = (α ∗ x 1 , . . . , α ∗ x n )6

• Koši-Bineova teorema Ako su A i B dve kvadratne matricetipa n × n, tada je:det(A ∗ B) = detA + detB• Kramerovo pravilo Neka je A ∗ x = b, linearni sistem n × n.Tada:1. ako je detA ≠ 0, sistem je odredjen i njegovo jedino rešenjedato formulama:, gde je D = detA, a;x 1 = D 1D , . . . , x n = D nDD i = det(a 1 . . . a i−1 ba i+1 . . . a n )2. ako je det A = 0, a bar jedna od D 1 do D n , različita odnule, sistem je nesaglasan;3. ako je detA = 0 i sve ostale D = D 1 = ... = D n = 0-NEMA ZAKLJUČKA;PAŽNJA!!! Sistem ne mora biti neodredjen!7

1.5 BiografijaRodjena sam 7. maja 1986. godine u Beogradu.2001. godine završila sam osnovnu školu ”Vladislav Petković Dis”u Velikom Mokrom Lugu.Od tada sam svoje dragoceno vreme provodila u Šestoj beogradskojgimnaziji. Od oktobra 2005.godine me svakog radnog dana, čak isubotom, možete videti na Matematičkom fakultetu.Nadam se da ću jednoga dana biti uspešan profesor tj. profesorkamatematike i računarstva.Inače živim sa roditeljima i bratom u Kaludjerici.8

Sadržaj1 Matematika 11.1 Prva godina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Analitička geometrija . . . . . . . . . . . . 11.2 Osnovi programiranja . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Linearna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Biografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89