Funkce komplexní proměnné - Matematika pro inženýry 21. století ...

FUNKCE KOMPLEXNÍPROMĚNNÉJiří BouchalaText byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílelaVysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeskáuniverzita v Plzni

Jiří BouchalaFunkce komplexní proměnnéc○ Jiří Bouchala, 18. září 2012ISBN

Můj dům by měl dveře bez petlicea okna nezasklená,aby každý mohl vejít dovnitř,...Jan Skáceliii

PředmluvaTento text vznikal tak, že jsem přepracovával své poznámky k přednáškám, kteréjsem vedl pro studenty Fakulty elektrotechniky a informatiky VŠB-TU Ostrava odroku 1994.Jistě v něm zůstaly nedostatky a možná i chyby. Prosím proto čtenáře o shovívavosta sdělení všech připomínek. 1Chci poděkovat svému kamarádovi Mgr. Jaroslavu Drobkovi, Ph.D., který celýtext pečlivě přečetl a svými připomínkami ho pomohl vylepšit.Tento i ostatní v rámci projektu Matematika pro inženýry 21. století připravovanévýukové materiály lze najít na stránkách http://mi21.vsb.cz/. Podívejte sena ně!V Orlové, 2012Jiří Bouchala1 Všechny připomínky (výhrady, komentáře, doporučení, výhružky a dary) zasílejte (prosím) namoji e-mailovou adresu: jiri.bouchala@vsb.cziv

ObsahPředmluvaiv1 Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina 11.1 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Geometrická interpretace, argument komplexního čísla . . . . . . . . 21.3 Nekonečno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Okolí bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Posloupnosti komplexních čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 82.1 Komplexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Některé důležité komplexní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Hyperbolické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.4 Logaritmická funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.5 Obecná mocninná funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.6 n-tá odmocnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Reálná a imaginární část funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Limita funkce komplexní proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Spojitost funkce komplexní proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky . . . . . . . . . . . . . . . 173 Derivace komplexní funkce komplexní proměnné 203.1 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce . . . . . . . . . . . . 233.3 Poznámka ke „geometrickému významu“ derivace . . . . . . . . . . . 254 Konformní zobrazení 274.1 Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Lineární lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28v

5 Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce. 305.1 Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné . . . . . . . . 305.2 Cauchyho věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Cauchyho integrální vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě . . . . . . . . . . . . 366 Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí. 406.1 Číselné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2 Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence . . . . . . . . 437 Mocninné řady. Taylorovy řady. 457.1 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Taylorovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů. 558.1 Laurentovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2 Izolované singularity a jejich klasifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.3 Laurentova řada o středu ∞, klasifikace bodu ∞ . . . . . . . . . . . . 609 Rezidua. Reziduová věta 639.1 Reziduum funkce a jeho výpočet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.2 Reziduová věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3 Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty . . . 6610 Příklady k procvičení 69Literatura 89Rejstřík 90vi

1Kapitola 1Komplexní čísla, rozšířenáGaussova rovina1.1 Komplexní číslaVšichni se už od střední školy setkáváme s komplexními čísly. Připomeňme si základnípojmy a vztahy, s nimiž budeme v dalším pracovat.∙ Komplexní číslo z je číslo tvaruz = x + iy, kde x, y ∈ R a i 2 = −1;číslo x resp. y nazýváme reálnou resp. imaginární částí komplexního čísla z a značímeRe z resp. Im z. 1∙ Speciálním případem komplexních čísel jsou čísla reálná a ryze imaginární. Reálnáčísla z jsou charakterizována podmínkou Im z = 0, ryze imaginární čísla podmínkouRe z = 0.∙ Dvě komplexní čísla z 1 a z 2 se rovnají právě tehdy, mají-li tytéž reálné a tytéžimaginární části, tj.z 1 = z 2 ⇔ [Re z 1 = Re z 2 ∧ Im z 1 = Im z 2 ] .∙ Pro každé komplexní číslo z = x + iy definujme jeho absolutní hodnotu jakonezáporné (reálné!) čísloa číslo komplexně sdružené vztahem|z| := √︀ x 2 + y 2 = √︀ (Re z) 2 + (Im z) 2z := x − iy = Re z − i Im z.1 Domluvme se: napíšeme-li z = x + iy, myslíme tím (nebude-li řečeno jinak), že x = Re z ∈ Ra y = Im z ∈ R.

Re z = − 4 5 a Im z = 7 5 . 2 Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina∙ Pro každá dvě komplexní čísla z 1 = x 1 + iy 1 a z 2 = x 2 + iy 2 definujemez 1 + z 2 := (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ),z 1 − z 2 := (x 1 − x 2 ) + i(y 1 − y 2 ),a je-li z 2 ≠ 0 = 0 + 0i, definujeme takyz 1 z 2 := (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ),z 1z 2:= 1|z 2 | 2 (z 1z 2 ).∙ Pro každé komplexní číslo z = x + iy platí:zz = (x + iy)(x − iy) = x 2 − (iy) 2 = x 2 + y 2 = |z| 2 .Poznámka 1.1. Jedním ze zásadních rozdílů mezi reálnými a komplexními čísly jeskutečnost, že komplexní čísla nejsou uspořádaná. Vztah z 1 < z 2 není mezi komplexnímičísly z 1 a z 2 definován, nejsou-li obě čísla z 1 a z 2 reálná.Příklad 1.2. Určete Re z a Im z, je-liz = 2 + 3i1 − 2i .Řešení.a protoz = 2 + 3i1 − 2i · 1 + 2i1 + 2i=−4 + 7i5= − 4 5 + 7 5 i,1.2 Geometrická interpretace, argument komplexníhočíslaProtože zřejmě existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi body R 2 a komplexnímičísly:(x, y) ↔ x + iy,je přirozené znázorňovat si komplexní čísla jako body roviny. Množinu všech komplexníchčísel budeme nazývat Gaussovou rovinou a značit C.

1.2 Geometrická interpretace, argument komplexního čísla 3S geometrickou interpretací souvisí i tzv. goniometrický tvar komplexního čísla z.Uvažujme z ∈ C, z ≠ 0. Pak zřejmě existuje φ ∈ R takové, že 1z = |z|(cos φ + i sin φ). (1.1)Z periodicity funkcí sinus a kosinus vyplývá, že číslo (úhel) φ není vztahem (1.1)určeno jednoznačně.Definice 1.3. Množinu všech reálných čísel φ, pro něž platí rovnost (1.1), nazývámeargumentem komplexního čísla z ∈ C ∖ {0} a značíme Arg z, tj.Arg z := {φ ∈ R : z = |z|(cos φ + i sin φ)}.Poznámka 1.4. Je-li z = 0, je i |z| = 0 a rovnost (1.1) platí při jakékoliv volběφ ∈ R. Z tohoto důvodu argument čísla 0 není definován!Věta 1.5. Buď z ∈ C ∖ {0} a φ ∈ Arg z. PotomArg z = {φ + 2kπ : k ∈ Z}.Důkaz. Z periodicity funkcí sinus a kosinus a z předpokladu φ ∈ Arg z plyne, že{φ + 2kπ : k ∈ Z} ⊂ Arg z.Přesvědčme se, že platí i opačná inkluse. Buď ψ ∈ Arg z libovolný bod. Chcemedokázat, že existuje k ∈ Z takové, že ψ = φ + 2kπ.φ, ψ ∈ Arg z ⇒⇒ [z = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|(cos ψ + i sin ψ) ∧ |z| ≠ 0] ⇒⎡⎤cos φ = cos ψ⇒ cos φ + i sin φ = cos ψ + i sin ψ ⇒ ⎣ ∧sin φ = sin ψ⎦ ⇒⎡⎤cos 2 φ = cos ψ cos φ⇒ ⎣ ∧sin 2 φ = sin ψ sin φ⎦ ⇒ cos 2 φ + sin 2 φ = cos ψ cos φ + sin ψ sin φ ⇒⇒ 1 = cos(ψ − φ) ⇒ [∃k ∈ Z : ψ − φ = 2kπ] ⇒ [∃k ∈ Z : ψ = φ + 2kπ] .1 Bystrý čtenář nepřehlédne souvislost s polárními souřadnicemi v R 2 .

4 Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovinaDefinice 1.6. Takovou hodnotu argumentu φ ∈ Arg z, pro kterou platí−π < φ ≦ π,nazýváme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z ∈ C ∖ {0} a značímearg z.Příklad 1.7. Určete Arg z a arg z, je-li z = − √ 3 − i.Řešení. Zřejmě 1π + arcsin 1 2 = π + π 6 = 7π 6∈ Arg z,a proto 2 Arg z = { 7π 6 + 2kπ : k ∈ Z}, arg z = −5π 6 . 1.3 NekonečnoPodobně jako je v reálném oboru užitečné doplnit konečná reálná čísla o +∞ a −∞,ukazuje se i v komplexním oboru potřeba rozšířit Gaussovu rovinu C. Nejúčelnějšíje přidat pouze jediný bod; budeme jej značit ∞ a nazývat nekonečno.Ukažme si ještě jednu geometrickou interpretaci komplexních čísel, tzv. stereografickouprojekci, která nám přiblíží volbu bodu ∞. Uvažujme kulovou plochu umístěnoutak, že se dotýká svým „jižním pólem“ roviny komplexních čísel právě v bodě0, a označme si její „severní pól“ N. Nyní přiřaďme každému nenulovému komplexnímučíslu z bod z * ≠ N ležící na dané kulové ploše tak, aby z * byl průsečíkemtéto plochy s přímkou spojující obraz čísla z s bodem N. Tímto způsobem získámevzájemně jednoznačnou korespondenci mezi (konečnými) komplexními čísly (nuleodpovídá „jižní pól“) a body dané kulové plochy (samozřejmě zmenšené o bod N).Všimněme si, že čím větší je |z|, tím menší je vzdálenost bodů z * a N danésféry. I to nás vede k tomu přidat k C pouze jediný bod (∞) a přiřadit mu při výšepopsané projekci právě bod N.MnožinuC ∪ {∞} =: C ∞budeme nazývat rozšířenou (nebo taky uzavřenou) Gaussovou rovinou.1 Rada čtenáři: nakreslete si obrázek.2 Viz větu 1.5 a definici hlavní hodnoty argumentu.

1.4 Okolí bodu 5Definujme nyní pro každé z ∈ C:∙ z ± ∞ = ∞ ± z = ∞,∙ z · ∞ = ∞ · z = ∞, je-li navíc z ≠ 0,∙ z = 0, ∞∙ z 0= ∞, je-li navíc z ≠ 0,∙ ∞ z = ∞,∙ ∞ n = ∞, ∞ −n = 0, 0 −n = ∞, je-li n ∈ N,∙ |∞| = ∞, ∞ = ∞. 11.4 Okolí boduDefinice 1.8. Okolím bodu z 0 ∈ C resp. ∞ s poloměrem ε ∈ R + rozumíme množinuU(z 0 , ε) := {z ∈ C : |z − z 0 | < ε}resp. množinuU(∞, ε) = {z ∈ C : |z| > 1 ε } ∪ {∞}.Prstencovým okolím bodu z ∈ C ∞ s poloměrem ε ∈ R + rozumíme množinuP (z, ε) := U(z, ε) ∖ {z}.Nezáleží-li nám na „velikosti“ okolí (tj. na konkrétní hodnotě ε), píšeme krátceU(z) resp. P (z) a mluvíme o okolí resp. prstencovém okolí bodu z.Definice 1.9. Množina M ⊂ C ∞ se nazývá otevřená, obsahuje-li s každým svýmbodem i nějaké okolí tohoto bodu. Tzn.M je otevřená ⇔ (∀z ∈ M) (∃U(z)) : U(z) ⊂ M.Příklady 1.10.a) ∅, C a C ∞ jsou otevřené množiny,1 Pozor, není definováno: ∞ ± ∞, 0 · ∞, ∞ · 0, 0 0 , ∞ ∞, Arg ∞, arg ∞.

6 Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovinab) {z ∈ C : |z − 3| < |z + 2 − i|} a {z ∈ C : Im z < 1} jsou otevřené množiny,c) {2 + √ 3i}, {z ∈ C : Re z + 2 Im z = 7} a {z ∈ C : Im z ≦ 1} nejsou otevřenémnožiny.1.5 Posloupnosti komplexních číselDefinice 1.11. Buď z ∈ C ∞ a buď (z n ) posloupnost v C ∞ . a Řekneme, žeposloupnost (z n ) má limitu z a píšeme lim z n = z nebo z n → z, platí-li(︀∀ε ∈ R+ )︀ (∃n 0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≧ n 0 ) : z n ∈ U(z, ε).Posloupnost (z n ) nazveme konvergentní, existuje-li číslo z ∈ C takové, želim z n = z.a Posloupností v C ∞ rozumíme – podobně jako u reálných posloupností – zobrazení z N doC ∞ , jehož definiční obor obsahuje všechna dost velká n ∈ N.Poznámka 1.12.∙ Definice limity posloupnosti vlastně říká, že vně libovolného (tzn. jakkoliv malého)okolí bodu z leží nejvýše konečně mnoho členů posloupnosti (z n ).∙ Uvažujme posloupnost (z n ) a bod z v C ∞ a – při stereografické projekci odpovídající– posloupnost (z * n) a bod z * na kulové ploše v R 3 . Pak platíz n → z (v C ∞ ) ⇔ z * n → z * (v R 3 ).Věta 1.13. Nechť z n = x n + iy n pro všechna dost velká n ∈ N a nechť z = x + iy.Potom platílim z n = z ⇔ [lim x n = x ∧ lim y n = y] .Příklad 1.14. Určetelim(2n − i)i.nŘešení.lim(2n − i)in(︂ )︂ 1= limn + 2i = lim 1 n + i lim 2 = 0 + 2i = 2i.

1.5 Posloupnosti komplexních čísel 7Poznámka 1.15. Definice limity je formálně stejná jako definice limity reálnýchposloupností. Platí proto i analogie mnoha vět. Uveďme pro ilustraci některé z nich.Věta 1.16. Každá posloupnost komplexních čísel má nejvýš jednu limitu.Věta 1.17. Posloupnost komplexních čísel má limitu z ∈ C ∞ právě tehdy, kdyžkaždá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu z.Věta 1.18. Je-li posloupnost (z n ) konvergentní a taková, že pro každé n ∈ N jez n ∈ C, je posloupnost (z n ) omezená (tzn. že existuje k ∈ R + takové, že pro každén ∈ N je |z n | ≦ k).

8Kapitola 2Komplexní funkce reálnéa komplexní proměnné2.1 Komplexní funkceDefinice 2.1. Komplexní funkcí (komplexní proměnné) rozumíme každé zobrazeníz C ∞ do množiny všech neprázdných podmnožin C ∞ . Jinými slovy: komplexnífunkcí f rozumíme předpis, který každému číslu z ∈ Df ⊂ C ∞ (a nikohonepřekvapí, že množinu Df nazýváme definičním oborem funkce f) přiřadí jednonebo více komplexních čísel z C ∞ . Toto nebo tato komplexní čísla značíme f(z)a nazýváme f – obrazem čísla z.Pokud je pro každé z ∈ Df množina f(z) jednoprvková, nazýváme funkci fjednoznačnou. Pokud tomu tak není, nazýváme funkci f mnohoznačnou, případně– podle počtu prvků f(z) – dvojznačnou, trojznačnou, . . . , nekonečněznačnou.Je-li Df ⊂ R, nazýváme funkci f komplexní funkcí reálné proměnné.Úmluva. Zadáme-li funkci pouze předpisem, rozumíme jejím definičním oboremmnožinu všech čísel z C ∞ , pro něž má daný předpis smysl. 1Příklady 2.2.a) f(z) := z 2 . . . jednoznačná funkce, Df = C ∞ ;b) f(z) := Arg z . . . nekonečněznačná funkce, Df = C ∖ {0}.1 Například: definičním oborem funkce f definované předpisemje množina Df = C ∪ {∞}.f(z) := 1 z

2.2 Některé důležité komplexní funkce 9Úmluva. Někdy budeme – nepříliš přesně – psátArg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z,místo správného zápisuArg z = {arg z + 2kπ : k ∈ Z}.(Podobně i pro jiné mnohoznačné funkce.)Definice 2.3. Buď f mnohoznačná funkce. Jednoznačnou funkci φ nazývámejednoznačnou větví (mnohoznačné) funkce f, platí-li současně(1) Dφ ⊂ Df,(2) ∀z ∈ Dφ : φ(z) ∈ f(z).Příklad 2.4. Funkceφ 1 (z) := arg z,φ 2 (z) := arg z + 2πjsou dvě – navzájem různé – jednoznačné větve funkce f(z) := Arg z.2.2 Některé důležité komplexní funkce2.2.1 Exponenciální funkceExponenciální funkci definujeme pro každé z = x + iy ∈ C předpisem 1e z = e x+iy := e x (cos y + i sin y).1 Pozorný čtenář může být touto definicí zneklidněn, značíme totiž symbolem „e“ dvě různéfunkce:e z : C → C ∖ {0} a e x : R → R + .Nemusíme se však bát, protože pro z = x + 0i = x jee z = e x+0i = e x (cos 0 + i sin 0) = e x ;jinak řečeno: „komplexní“ exponenciální funkce je rozšířením „reálné“ exponenciální funkce na C.Ze stejného důvodu nebudeme v dalším měnit označení ani některých jiných komplexních funkcí(např. sin, cos, sinh, cosh, ln, ... ).

10 Komplexní funkce reálné a komplexní proměnnéVěta 2.5 (Vlastnosti exponenciální funkce).(i) e z je funkce jednoznačná.(ii) Oborem hodnot funkce e z je C ∖ {0}.(iii) Funkce e z je periodická s periodou 2πi.Důkaz uvedených tvrzení plyne přímo z definice a vlastností reálných funkcí e x ,sin x, cos x. Ukažme si pro ilustraci, jak lze například dokázat 2πi-periodicitu exponenciálnífunkce:e z+2πi = e x+iy+2πi = e x (cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)) == e x (cos y + i sin y) = e x+iy = e z .2.2.2 Goniometrické funkceGoniometrické funkcejsou definovány předpisysin z := eiz − e −iz2i, cos z := eiz + e −iz2,tg z :=sin zcos z, cotg z :=cos z sin z .Věta 2.6 (Vlastnosti goniometrických funkcí).(i) Všechny goniometrické funkce jsou jednoznačné.(ii) sin z a cos z jsou funkce periodické s periodou 2π,tg z a cotg z jsou funkce periodické s periodou π.(iii) Pro každé z ∈ C platí:sin(−z) = − sin z, cos(−z) = cos z,tg(−z) = − tg z, cotg(−z) = − cotg z.(iv) Pro každé z ∈ C platí tzv. Eulerův vzorece iz = cos z + i sin z.(v)sin z = 0 ⇔ [∃k ∈ Z : z = kπ] ,cos z = 0 ⇔[︁∃k ∈ Z : z = π ]︁2 + kπ .

2.2 Některé důležité komplexní funkce 11Příklad 2.7. Určete Re z a Im z, je-li z = cos(4 + i).Řešení.z = cos(4 + i) = ei(4+i) + e −i(4+i)= e−1 (cos 4 + i sin 4) + e (cos(−4) + i sin(−4))2a proto2== e−1 + e2Re z = cosh 1 cos 4, Im z = − sinh 1 sin 4.cos 4 + i e−1 − e2sin 4,2.2.3 Hyperbolické funkceHyperbolické funkcedefinujeme předpisysinh z := ez − e −z2, cosh z := ez + e −z2,tgh z :=sinh zcosh z, cotgh z :=cosh z sinh z .Poznámka 2.8. Podobně jako v reálném oboru můžeme i pro komplexní funkcezavést pojem inverzní funkce. Na rozdíl od funkcí reálných však budeme definovatinverzní funkci i pro funkce, které nejsou prosté. V takovém případě pak budepříslušná inverzní funkce funkcí mnohoznačnou. Příkladem může být níže definovanálogaritmická funkce.2.2.4 Logaritmická funkceLogaritmickou funkcidefinujeme jako funkci inverzní k funkci exponenciální, tzn.Ln z := {w ∈ C : e w = z}.Z vlastnosti (ii) exponenciální funkce (viz větu 2.5) vyplývá, že definičním oboremfunkce Ln z je množina C ∖ {0}.Buďkde |z| > 0 a φ ∈ R, a položmez = |z|(cos φ + i sin φ),Ln z = u + iv.

12 Komplexní funkce reálné a komplexní proměnnéPotom jetj.e u+iv = z,e u (cos v + i sin v) = |z| (cos φ + i sin φ) ,a proto 1 u = ln |z| ∧ [∃k ∈ Z : v = φ + 2kπ] .Zjistili jsme, že pro každé z ∈ C ∖ {0} jeLn z = ln |z| + i(φ + 2kπ), k ∈ Z,neboli, žeLn z = ln |z| + iArg z.Příklad 2.9.Ln(−1 + i) = ln √ 2 + 3π 4i + 2kπi, k ∈ Z.Definice 2.10. Funkci hlavní hodnota logaritmu definujeme na C∖{0} předpisemln z := ln |z| + i arg z.Příklad 2.11.ln(−1 − i) = ln √ 2 − 3π 4 i.2.2.5 Obecná mocninná funkcePřipomeňme si: je-li n ∈ N resp. −n ∈ N, je funkce z ↦→ z n definovaná předpisemz n := zzz . . . z ⏟ ⏞n-krátresp. z n := 1z −n .Definujme nyní mocninnou funkci i pro a ∈ C takové, že ± a /∈ N:z a := {e as : s ∈ Ln z} ozn.= e a Ln z .Příklad 2.12.2 i = e i Ln 2 = e i(ln 2+2kπi) = e −2kπ+i ln 2 = e −2kπ (cos(ln 2) + i sin(ln 2)) , k ∈ Z.1 Symbol „ln“ zde znamená přirozený logaritmus, tj. funkci z R + do R.

2.3 Reálná a imaginární část funkce 132.2.6 n-tá odmocninaFunkci n-tá odmocnina(n ∈ N, n ≠ 1) definujeme předpisemn√ z := {w ∈ C : w n = z}.Cvičení 2.13.a) Dokažte, že pro každé 0 ≠ z ∈ C a 1 < n ∈ N platí:n√ z = z1na že funkce z ↦→ z 1 nje právě n-značná.b) Dokažte, že pro a = m , kde m ∈ Z ∖ {0} a n ∈ N jsou navzájem nesoudělnánčísla, je funkce z ↦→ z a právě n-značná.c) Dokažte, že pro a ∈ C ∖ Q je funkce z ↦→ z a nekonečněznačná.Příklad 2.14.4√i = i14 = e14 Ln i = e 1 4 ( π 2 i+2kπi) = e π 8 i+k π 2 i =(︁ π= cos8 + k π )︁ (︁ π+ i sin2 8 + k π )︁, k ∈ {0, 1, 2, 3}.22.3 Reálná a imaginární část funkceÚmluva. Pokud nebude řečeno jinak, budeme pojmem komplexní funkcefunkci jednoznačnou.rozumětPoznámka 2.15. Ukažme si, jak lze každou konečnou komplexní funkci f, pro nižplatí Df ⊂ C, tzn. žef : C → C,vyjádřit pomocí dvou reálných funkcí dvou reálných proměnných.

14 Komplexní funkce reálné a komplexní proměnnéDefinice 2.16. Buď f : C → C. Funkcidefinovanou na množiněpředpisemu : R 2 → R resp. v : R 2 → R{(x, y) ∈ R 2 : x + iy ∈ Df}u(x, y) := Re f(x + iy) resp. v(x, y) := Im f(x + iy)nazýváme reálnou resp. imaginární částí funkce f.Skutečnost, že u resp. v je reálnou resp. imaginární částí funkce f budeme zapisovatsymbolemf = u + iv.Příklad 2.17. Najděme reálnou a imaginární část funkcef(z) := z z .Řešení.x + iyf(z) = f(x + iy) =x − iy = x2 − y 2x 2 + y + i 2xy2 x 2 + y , 2a proto f = u + iv, kdeu(x, y) := x2 − y 2x 2 + y 2 a v(x, y) := 2xyx 2 + y 2 .2.4 Limita funkce komplexní proměnnéÚmluva. Píšeme-liz 0 ≠ z n → z 0 ,myslíme tím, že z n → z 0 a že pro všechna dost velká n ∈ N je z n ∈ C ∞ ∖ {z 0 }.

2.4 Limita funkce komplexní proměnné 15Definice 2.18. Řekneme, že funkce f : C ∞ → C ∞ má v bodě z 0 ∈ C ∞ limitua ∈ C ∞ a píšeme limz→z0f(z) = a, platí-li implikacez 0 ≠ z n → z 0⇒ f(z n ) → a(tím rozumíme: pro každou posloupnost (z n ) takovou, že z 0 ≠ z n → z 0 , platí, žef(z n ) → a).Věta 2.19. Nechť f : C ∞ → C ∞ a nechť z 0 , a ∈ C ∞ . Potom limz→z0f(z) = a právětehdy, platí-li(∀U(a)) (∃P (z 0 )) (∀z ∈ P (z 0 )) : f(z) ∈ U(a).Věta 2.20. Nechť f = u + iv : C → C a nechť z 0 = x 0 + iy 0Potom lim f(z) = a právě tehdy, platí-liz→z0a a = α + iβ.lim u(x, y) = α ∧ lim v(x, y) = β.(x,y)→(x 0 ,y 0 ) (x,y)→(x 0 ,y 0 )Příklady 2.21.a)(︂= lim(x,y)→(0,1)(︂ )︂ (︂ z − i1lim = limz→i z 2 + 1 z→i z + i(︂= limx+iy→i)︂(︂)︂1= limx+iy→i x + i(y + 1))︂xx 2 + (y + 1) + i −(y + 1)=2 x 2 + (y + 1) 2)︂x+ i limx 2 + (y + 1) 2 (x,y)→(0,1)=(︂ )︂−(y + 1)= 0 − 1 x 2 + (y + 1) 2 2 i = −1 2 i.b) limz→−1arg z neexistuje, protože)︁∙ −1 ≠ z n := cos(︁π + (−1)n + i sinn∙ arg (z 2n ) → −π,∙ arg (z 2n+1 ) → π.)︁(︁π + (−1)n → −1,n

16 Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné2.5 Spojitost funkce komplexní proměnnéDefinice 2.22. Řekneme, že funkce f : C ∞ → C ∞ je spojitá v bodě z 0 ∈ C ∞ ,platí-lilimz→z 0f(z) = f(z 0 ).Řekneme, že funkce fimplikaceje spojitá na množině M ⊂ C ∞ , platí-li pro každé z 0 ∈ Mz n → z 0∀n ∈ N : z n ∈ M}︃⇒ f(z n ) → f(z 0 ).Řekneme, že funkce fje spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru.Věta 2.23. Nechť f : C ∞ → C ∞ a nechť z 0 ∈ C ∞ . Potom následující tvrzeníjsou ekvivalentní:(i)(ii)(iii)f je spojitá v bodě z 0 ,z n → z 0 ⇒ f(z n ) → f(z 0 ),(∀U (f(z 0 ))) (∃U(z 0 )) (∀z ∈ U(z 0 )) : f(z) ∈ U (f(z 0 )) .Cvičení 2.24. Rozmyslete si, jak spolu souvisí spojitost funkcef = u + iv : C → Cse spojitostí funkcíu, v : R 2 → R.Příklady 2.25.a) Funkce arg z není spojitá, neboť není spojitá (např.) v bodě −1(viz příklad 2.21 b) ).b) Funkce arg z je spojitá na množině C ∖ (−∞, 0⟩ = {z ∈ C : z /∈ R − ∧ z ≠ 0}.

2.6 Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky 172.6 Komplexní funkce reálné proměnné. KřivkyBuď f komplexní funkcí reálné proměnné, tj. buď f zobrazením z R do C ∞ . Podobnějako u komplexních funkcí komplexní proměnné můžeme i zde zavést pojem limitya spojitosti.Definice 2.26. Buď f : R → C ∞ .Řekneme, že funkce f má v bodě t 0 ∈ R limitu a ∈ C ∞ a píšeme limt→t0f(t) = a,platí-lit 0 ≠ t n → t 0 (v R) ⇒ f(t n ) → a.Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě t 0 ∈ R, platí-liŘekneme, že funkce fimplikacelim f(t) = f(t 0 ).t→t 0je spojitá na množině M ⊂ R, platí-li pro každé t 0 ∈ Mt n → t 0∀n ∈ N : t n ∈ M}︃⇒ f(t n ) → f(t 0 ).Řekneme, že funkce fje spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru.Velice důležitou třídu spojitých funkcí tvoří křivky.Definice 2.27. Křivkou v C ∞ (resp. v C) rozumíme každou spojitou komplexnífunkci reálné proměnnéγ : I → C ∞(resp. γ : I → C),kde I = Dγ ⊂ R je interval.Množinu⟨γ⟩ := γ(I) = {γ(t) : t ∈ I} ⊂ C ∞pak nazýváme geometrickým obrazem křivky γ. Je-li M = ⟨γ⟩, říkáme, že γ jeparametrizací množiny M.Poznámka 2.28. Již jsme si všimli, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezibody R 2 a body C:(x, y) ↔ x + iy.Podobně si lze všimnout, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi křivkamiv R 2 a křivkami v C:γ = (γ 1 , γ 2 ) ↔ γ = γ 1 + iγ 2 .

18 Komplexní funkce reálné a komplexní proměnnéMůžeme proto i pro křivky v C považovat za známé pojmy zavedené pro křivky v R 2(viz [1]). Uveďme pro příklad některé z nich:∙ jednoduchá křivka,∙ uzavřená křivka,∙ jednoduchá uzavřená křivka,∙ opačně orientovaná křivka,∙ hladký oblouk,∙ po částech hladká křivka,∙ počáteční a koncový bod křivky,∙ derivace křivky v bodě,∙ tečný vektor křivky, ... .Cvičení 2.29. Znázorněte v Gaussově rovině geometrický obraz křivky γ, je-lia) γ(t) := 2 − 3i + 2e −2it , t ∈ ⟨0, 3π⟩;4⎧⎪⎨ 4e it , t ∈ ⟨0, π⟩,2b) γ(t) := i(4 + π 2 ⎪⎩− t), t ∈ ⟨ π, 4 + π⟩,2 2t − 4 − π, t ∈ ⟨4 + π, 8 + π⟩.2 2 2Definice 2.30.∙ Uzávěrem množiny M ⊂ C ∞ rozumíme množinuM := {z ∈ C ∞ : existuje posloupnost (z n ) v M taková, že z n → z}.(Rozumíme-li uzavřenými množinami doplňky množin otevřených, lze M ekvivalentnědefinovat jako nejmenší uzavřenou množinu obsahující M.)∙ Množiny A, B ⊂ C ∞ nazýváme oddělenými, platí-liA ∩ B = A ∩ B = ∅.∙ Množina M ⊂ C ∞ se nazývá souvislá, nelze-li ji napsat jako sjednocení dvouneprázdných oddělených množin. Tzn. že M ⊂ C ∞ je souvislá, platí-li implikace}︃M = A ∪ B⇒ [A = ∅ ∨ B = ∅] .A ∩ B = A ∩ B = ∅

2.6 Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky 19Definice 2.31. Množina Ω ⊂ C ∞ se nazývá oblastí, platí-li současně tyto dvěpodmínky:(1) Ω je otevřená množina (viz definici 1.9),(2) Ω je souvislá množina (tzn. – v případě otevřené množiny – že každé dva bodyΩ lze spojit křivkou v Ω; přesněji: pro každé dva body z 1 , z 2 ∈ Ω existujekřivka γ : ⟨a, b⟩ → Ω taková, že γ(a) = z 1 , γ(b) = z 2 ).Definice 2.32. Buď M ⊂ C ∞ . Množinu K ⊂ M nazýváme komponentou množinyM, má-li současně tyto dvě vlastnosti:(1) K je souvislá množina;(2) je-li K * ⊂ M souvislá množina obsahující K (tzn. K ⊂ K * ), je K = K * . aa Komponentou množiny tedy nazýváme každou její maximální souvislou podmnožinu.Poznámka 2.33. Dá se ukázat, 1 že každá množina M ⊂ C ∞ je sjednocením systémuvšech svých komponent; tento systém je přitom disjunktní.Definice 2.34. Oblast Ω ⊂ C ∞ , jejíž doplněk v C ∞ (tj. množina C ∞ ∖ Ω) máprávě n různých komponent, se nazývá n–násobně souvislá oblast. Jednonásobněsouvislá oblast se nazývá jednoduše souvislá oblast.Příklady 2.35.a) ∅, C, C ∞ , U(z), kde z ∈ C ∞ , jsou jednoduše souvislé oblasti.b) P (z), C ∖ {z}, kde z ∈ C, jsou dvojnásobně souvislé oblasti.c) U(1, 2010) ∖ {2, 4, 5 + i} je čtyřnásobně souvislá oblast.d) U(3, 2) ∪ U(4i, 3) není oblast (není souvislá).e) C ∞ ∖ {z ∈ C : arg z ∈ ⟨0, π ⟩} není oblast (není otevřená).41 Viz např. [4].

20Kapitola 3Derivace komplexní funkcekomplexní proměnné3.1 Derivace funkceDefinice 3.1. Buď f : C → C.Derivaci funkce f v bodě z 0 ∈ C definujeme rovnostíf ′ (z 0 ) := limz→z0f(z) − f(z 0 )z − z 0,existuje-li limita vpravo a je-li konečná.Řekneme, že funkce f je holomorfní na množině Ω, je-li Ω ⊂ C otevřená množinaa existuje-li f ′ (z) pro každé z ∈ Ω.Řekneme, že funkce f je holomorfní v bodě z 0 ∈ C, je-li f holomorfní na nějakémokolí bodu z 0 (tj. má-li derivaci v každém bodě nějakého okolí U(z 0 )).Poznámka 3.2. Všimněme si, že definice derivace je formálně totožná s definicíderivace reálné funkce reálné proměnné. Formálně stejné by byly formulace i důkazymnoha vět o „počítání“ derivací. 1 Nebudeme je proto uvádět.Věta 3.3. Má-li funkce f : C → C derivaci v bodě z 0 ∈ C, je f v bodě z 0 spojitá.Důkaz. Z předpokladuf ′ (z 0 ) = limz→z0f(z) − f(z 0 )z − z 01 Máme na mysli např. věty o derivování součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce, ... .∈ C

3.1 Derivace funkce 21plyne existence prstencového okolí P (z 0 ) takového, že platía proto taky∀z ∈ P (z 0 ) :⃒ f(z) − f(z 0 ) ⃒⃒⃒⃒< |f ′ (z 0 )| + 1,z − z 0∀z ∈ P (z 0 ) : 0 ≦ |f(z) − f(z 0 )| < (|f ′ (z 0 )| + 1) |z − z 0 |.Vezměme nyní libovolnou posloupnost (z n ) takovou, že z n → z 0 . Z výše uvedenéhotvrzení pak vyplývá, že |f(z n ) − f(z 0 )| → 0, a proto f(z n ) → f(z 0 ).Právě jsme dokázali spojitost funkce f v bodě z 0 (viz větu 2.23).Věta 3.4. Funkce f = u + iv má v bodě z 0 = x 0 + iy 0 derivaci právě tehdy, platí-lityto dvě podmínky:(i) u a v jsou diferencovatelné v bodě (x 0 , y 0 ), a(ii) u a v splňují v bodě (x 0 , y 0 ) tzv. Cauchyho–Riemannovy podmínky:Navíc, pokud f ′ (z 0 ) existuje, platí∂∂u∂∂x (x 0, y 0 ) = ∂∂v∂∂y (x 0, y 0 ),− ∂∂u∂∂y (x 0, y 0 ) =∂∂v∂∂x (x 0, y 0 ).f ′ (z 0 ) = ∂∂u∂∂x (x 0, y 0 ) + i ∂∂v∂∂x (x 0, y 0 ) = ∂∂v∂∂y (x 0, y 0 ) − i ∂∂u∂∂y (x 0, y 0 ).a Připomeňme si důležité tvrzení - postačující podmínku diferencovatelnosti:Buď φ : R 2 → R. Jsou-li funkce ∂∂φ∂∂x a ∂∂φ∂∂y spojité v bodě (x 0, y 0 ),je funkce φ diferencovatelná v bodě (x 0 , y 0 ).Poznámka 3.5. Vyjádření f ′ pomocí parciálních derivací funkcí u a v a z něho plynoucíCauchyho–Riemannovy podmínky by neměly být po prohlédnutí následujícíchřádků žádným překvapením. 11 Je třeba si ovšem domyslet smysl výrazů typu: „ lim . . .“ .h→0h∈R

22 Derivace komplexní funkce komplexní proměnnéVšimněme si: existuje-li f ′ (z 0 ), jea podobněf ′ (z 0 ) = limz→z0f(z) − f(z 0 )z − z 0= limh→0h∈R= limh→0h∈Rf(x 0 + h + iy 0 ) − f(x 0 + iy 0 )(x 0 + h + iy 0 ) − (x 0 + iy 0 )u(x 0 + h, y 0 ) + iv(x 0 + h, y 0 ) − u(x 0 , y 0 ) − iv(x 0 , y 0 )(x 0 + h − x 0 ) + i(y 0 − y 0 )u(x 0 + h, y 0 ) − u(x 0 , y 0 ) v(x 0 + h, y 0 ) − v(x 0 , y 0 )= lim+ i limh→0 hh→0 h= ∂∂u∂∂x (x 0, y 0 ) + i ∂∂v∂∂x (x 0, y 0 ),f ′ (z 0 ) = limz→z0f(z) − f(z 0 )z − z 0= lims→0s∈R= lims→0s∈Rf(x 0 + i(y 0 + s)) − f(x 0 + iy 0 )(x 0 + i(y 0 + s)) − (x 0 + iy 0 )u(x 0 , y 0 + s) + iv(x 0 , y 0 + s) − u(x 0 , y 0 ) − iv(x 0 , y 0 )(x 0 − x 0 ) + i(y 0 + s − y 0 )v(x 0 , y 0 + s) − v(x 0 , y 0 )= lim+ 1s→0 si lim u(x 0 , y 0 + s) − u(x 0 , y 0 )s→0s= ∂∂v∂∂y (x 0, y 0 ) − i ∂∂u∂∂y (x 0, y 0 ).======Příklad 3.6. Zjistěme, ve kterých bodech má funkcederivaci, a vyjádřeme ji.f(z) := e zŘešení.Pro každé x + iy ∈ C platí:f(x + iy) = e x+iy = e x cos y⏟ ⏞=:u(x,y)+i e x sin y,⏟ ⏞=:v(x,y)∂∂u∂∂x (x, y) = ex cos y = ∂∂v (x, y),∂∂y− ∂∂u∂∂y (x, y) = ex sin y = ∂∂v (x, y).∂∂x

3.2 Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce 23Protože funkce u a v jsou navíc zřejmě diferencovatelné v každém bodě (x, y) ∈ R 2 ,platí pro každé z = x + iy ∈ C, žef ′ (z) = f ′ (x + iy) = ∂∂u (x, y) + i∂∂v (x, y) =∂∂x ∂∂x= e x cos y + ie x sin y = e x+iy = f(x + iy) = f(z).3.2 Harmonické funkce,harmonicky sdružené funkceDefinice 3.7. Buď M ⊂ R 2 otevřená množina. Řekneme, že funkce φ : R 2 → R jeharmonická na množině M, platí-li pro každý bod (x, y) ∈ M tyto dvě podmínky:(1) φ má v bodě (x, y) spojité všechny parciální derivace až do druhého řáduvčetně (tj. φ je třídy C 2 na M),(2) Δφ(x, y) := ∂∂2 φ∂∂x 2 (x, y) + ∂∂2 φ∂∂y 2 (x, y) = 0.Příklady 3.8.a) Funkce φ(x, y) := x + y + e x cos y je harmonická na R 2 .b) Funkce φ(x, y) := Im (ln(x + iy)) není harmonická na R 2 ∖ {(0, 0)}. 1Úmluva. V dalším budeme psát zkráceně (ale nepříliš přesně), že „funkce φ jeharmonická na množině Ω ⊂ C“, místo správného „funkce φ je harmonická namnožině {(x, y) ∈ R 2 : x + iy ∈ Ω}“.Pozorování 3.9. Předpokládejme, že funkce f = u + iv má v každém bodě oblastiΩ ⊂ C derivaci druhého řádu 2 a že funkce u a v jsou třídy C 2 na množině{(x, y) ∈ R 2 : x + iy ∈ Ω}. Z věty 3.4 pak plyne, že pro každý bod x + iy ∈ Ω platítj.1 Otázka čtenáři: Proč?2 Buď n ∈ N. Definujme (n + 1)–ní derivaci funkce f v bodě z 0 ∈ C indukcí(︁f (n+1) (z 0 ) = f (n))︁ ′(z0 ),f (n+1) (z 0 ) = limz→z 0f (n) (z) − f (n) (z 0 )z − z 0,existuje-li limita vpravo a je-li konečná.

24 Derivace komplexní funkce komplexní proměnnéf ′ (x + iy) = ∂∂u∂∂x(x, y) + i∂∂v∂∂x(x, y) =∂∂v∂∂y(x, y) − i∂∂u(x, y),∂∂yf ′′ (x + iy) = ∂∂2 u∂∂x (x, y) + v2 i∂∂2 ∂∂x (x, y) = u2 −∂∂2 ∂∂y (x, y) − v2 i∂∂2 (x, y).∂∂y2 Zaměřme nyní svoji pozornost na poslední z uvedených rovností: porovnánímreálných a imaginárních částí zjistíme, že∀x + iy ∈ Ω : Δu(x, y) = 0 = Δv(x, y),neboli, že funkce u a v jsou na oblasti Ω harmonické.Následující věta toto pozorování ještě zobecňuje.Věta 3.10. Nechť funkce f = u + iv je holomorfní na oblasti Ω ⊂ C. Pak funkceu a v jsou harmonické na Ω.Definice 3.11. Řekneme, že funkce u, v : R 2 → R jsou harmonicky sdružené naoblasti Ω ⊂ C, platí-li současně:(1) u a v jsou harmonické na Ω,(2) u a v splňují na Ω Cauchyho–Riemannovy podmínky.Pozorování 3.12. Všimněme si, že harmonicky sdružené funkce tvoří právě reálnéa imaginární části holomorfních funkcí.Příklad 3.13. Najděme (existuje-li) holomorfní funkci f = u + iv, je-liu(x, y) := x 2 − y 2 + 2xy.Řešení. Hledejme funkci v : R 2 → R „svázanou“ Cauchyho–Riemannovými podmínkamis funkcí u:∂∂u∂∂v(x, y) = 2x + 2y =∂∂x ∂∂y (x, y) ⇒ v(x, y) = 2xy + y2 + φ(x),kde φ : R → R. Nyní dosaďme do druhé z Cauchyho–Riemannových podmínek:− ∂∂u∂∂v(x, y) = 2y − 2x =∂∂y ∂∂x (x, y) = 2y + φ′ (x),

3.3 Poznámka ke „geometrickému významu“ derivace 25a protoφ(x) = −x 2 + c, kde c ∈ R,v(x, y) = 2xy + y 2 − x 2 + c.Snadno se lze přesvědčit, 1 že funkcef(x + iy) := x 2 − y 2 + 2xy + i(2xy + y 2 − x 2 + c)je při každé volbě c ∈ R holomorfní na C.Věta 3.14. Nechť u resp. v je harmonická funkce na jednoduše souvisléoblasti Ω ⊂ C. Potom existuje až na ryze imaginární resp. reálnou konstantujednoznačně určená funkce f : C → C taková, že(i) f je holomorfní na Ω,(ii) pro každé x+iy ∈ Ω platí: u(x, y) = Re f(x+iy) resp. v(x, y) = Im f(x+iy).Cvičení 3.15.a) Najděte všechny na oblasti C ∖ {0} holomorfní funkce f = u + iv, kdev(x, y) :=yx 2 + y 2 .b) Dokažte, že je funkcev(x, y) := ln(x 2 + y 2 )harmonická na oblasti C ∖ {0}, a že přesto neexistuje funkce u : R 2 → R taková,aby f := u + iv byla holomorfní na C ∖ {0}.3.3 Poznámka ke „geometrickému významu“derivacePředpokládejme, že je funkce f : C → Cholomorfní v bodě z 0 ∈ C a žeZ definice derivace pak plyne, že1 Stačí ověřit podmínky (i) a (ii) z věty 3.4.0 ≠ f ′ (z 0 ) = |f ′ (z 0 )| e i arg f ′ (z 0 ) .⃒ ⃒ ⃒⃒⃒ f(z) − f(z 0 ) ⃒⃒⃒lim= |f ′ (z 0 )| ∈ R + ,z→z 0 z − z 0

26 Derivace komplexní funkce komplexní proměnnéa proto pro z „blízké“ bodu z 0 je číslo |f(z) − f(z 0 )| „blízké“ číslu |f ′ (z 0 )| · |z − z 0 |.Jinak řečeno: pro „malá“ δ > 0 se f–obraz kružnice {z ∈ C : |z − z 0 | = δ} „máloliší“ od kružnice {w ∈ C : |w − f(z 0 )| = |f ′ (z 0 )| · δ}.Ukažme si nyní, jak lze geometricky interpretovat arg f ′ (z 0 ). Buď γ libovolnýhladký oblouk v C takový, že γ(t 0 ) = z 0 . Pak číslo arg γ ′ (t 0 ) udává úhel, kterýsvírá tečný vektor γ ′ (t 0 ) s kladnou částí reálné osy. 1 Teď uvažujme (na „dostatečněmalém“ okolí bodu t 0 korektně definovanou) křivku Γ(t) := f(γ(t)) a zkoumejmeodchylku tečného vektoru Γ ′ (t 0 ) od kladné části reálné osy, tj. argument Γ ′ (t 0 ).Protože Γ ′ (t 0 ) = f ′ (γ(t 0 )) γ ′ (t 0 ) = f ′ (z 0 )γ ′ (t 0 ), jearg f ′ (z 0 ) + arg γ ′ (t 0 ) ∈ Arg Γ ′ (t 0 ).Jinak řečeno: číslo arg f ′ (z 0 ) udává úhel, o který je třeba otočit směrový vektortečny hladkého oblouku γ v bodě γ(t 0 ) = z 0 tak, abychom dostali směrový vektortečny křivky Γ := f ∘ γ v bodě Γ(t 0 ) = f(z 0 ), přičemž na konkrétní volbě křivky γnezáleží.Tyto úvahy nás vedou k následující definici.Definice 3.16. Buď funkce f : C → C holomorfní v bodě z 0 a buď f ′ (z 0 ) ≠ 0.Číslo |f ′ (z 0 )| nazýváme koeficientem roztažnosti funkce f v bodě z 0 . aČíslo arg f ′ (z 0 ) nazýváme úhlem otočení funkce f v bodě z 0 .a Je-li navíc |f ′ (z 0 )| < 1 resp. |f ′ (z 0 )| > 1, mluvíme někdy o kontrakci resp. dilataci funkce fv bodě z 0 .1 Kreslete si obrázek!

27Kapitola 4Konformní zobrazení4.1 Základní vlastnostiDefinice 4.1. Řekneme, že funkce f : C ∞ → C ∞ je konformní na otevřenémnožině G ⊂ C ∞ , platí-li současně:(1) f je spojitá a prostá na G,(2) f ′ existuje ve všech bodech množiny G s výjimkou nejvýše konečně mnoha.Cvičení 4.2. Rozmyslete si, na jakých oblastech jsou konformní funkce:e z , ln z, sin z, z 2 , z 4 , ... .Definice 4.3. Řekneme, že otevřené množiny G 1 , G 2 ⊂ C ∞ jsou konformněekvivalentní, existuje-li funkce f : C ∞ → C ∞ taková, že(1) f je konformní na G 1 ,(2) f(G 1 ) = G 2 .Vlastnosti konformních funkcíi) Je-li f konformní na G, je 0 ≠ f ′ (z) ∈ C pro všechna z ∈ G s výjimkou nejvýšedvou bodů: bodu ∞ (pokud patří do G) a bodu (je-li v G takový), jehožf–obrazem je ∞. 1ii) Funkce inverzní ke konformnímu zobrazení je konformní.1 Všimněme si, že odtud vyplývá, že konformní funkce f zachovává úhly mezi křivkami vycházejícímiz bodu z 0 (z 0 ∈ G, z 0 ≠ ∞ ≠ f(z 0 )) – viz geometrický význam arg f ′ (z 0 ) na straně26. Této vlastnosti funkce f se říká konformnost v bodě z 0 .

28 Konformní zobrazeníiii) Obrazem oblasti při konformním zobrazení je oblast.iv) Rozdělme nyní všechny jednoduše souvislé oblasti v C ∞ do čtyř skupin:1. skupina obsahuje pouze prázdnou množinu,2. skupina obsahuje pouze C ∞ ,3. skupina obsahuje všechny oblasti tvaru C ∞ ∖ {z 0 }, kde z 0 ∈ C ∞ ,4. skupina obsahuje všechny ostatní jednoduše souvislé oblasti. 1Pak platí: jednoduše souvislé oblasti Ω 1 a Ω 2 jsou konformně ekvivalentní právětehdy, patří-li obě do stejné skupiny.Prozkoumejme nyní podrobněji jeden velice důležitý typ konformních zobrazení.4.2 Lineární lomené funkceDefinice 4.4. Lineární lomenou funkcí rozumíme každé zobrazení f : C ∞ → C ∞ ,k němuž existují čísla a, b, c, d ∈ C taková, že ad − bc ≠ 0 a žef(z) ={︃az+bcz+dac, je-li z ∈ C,, je-li z = ∞.Vlastnosti lineárních lomených funkcíi) Lineární lomené funkce jsou jediná konformní zobrazení C ∞ na C ∞ .ii) Inverzní zobrazení k lineární lomené funkci je lineární lomená funkce.iii) Obrazem zobecněné kružnice při lineárním lomeném zobrazení je zobecněnákružnice. (Zobecněnou kružnicí rozumíme kružnici (v C) nebo přímku – k tépočítáme i bod ∞.)iv) Nechť každá z množin {z 1 , z 2 , z 3 }, {w 1 , w 2 , w 3 } obsahuje tři navzájem různáčísla z C ∞ . Pak existuje právě jedna lineární lomená funkce f, pro niž je f(z 1 ) == w 1 , f(z 2 ) = w 2 a f(z 3 ) = w 3 .v) Speciálním případem lineárních lomených zobrazení jsou lineární funkce,tj. funkce definované předpisem f(z) := az + b, kde a, b ∈ C, a ≠ 0. 21 Tzn. všechny neprázdné jednoduše souvislé oblasti, jejichž doplněk obsahuje alespoň dvabody.2 Rozmyslete si, že každou lineární funkci lze získat složením tří zobrazení:otočení (z ↦→ e i arg a z), stejnolehlosti (z ↦→ |a|z) a posunutí (z ↦→ z + b).

4.2 Lineární lomené funkce 29Příklad 4.5. Najděte obraz kružniceK = {z ∈ C : |z − 1| = 1}při zobrazeníf(z) := 1 z .Řešení. Protože pro body 0, 2, 1+i ∈ K platí: f(0) = ∞, f(2) = 1 2 , f(1+i) = 1 2 − 1 2 i,je obrazem kružnice K přímka: 1f(K) = {z ∈ C : Re z = 1 2 } ∪ {∞}.1 Viz vlastnost iii) lineárních lomených funkcí.

30Kapitola 5Integrál komplexní funkce.Cauchyho věty. Cauchyho vzorce.5.1 Integrál komplexní funkce reálné a komplexníproměnnéVěta 5.1 (Jordanova). Nechť γ je jednoduchá uzavřená křivka v C. PotomC ∞ ∖ ⟨γ⟩ = Ω 1 ∪ Ω 2 ,kde Ω 1 a Ω 2 jsou dvě disjunktní, a neprázdné a jednoduše souvislé oblasti, jejichžspolečnou hranicí je ⟨γ⟩.a Tzn. Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅.Definice 5.2. Uvažujme situaci z Jordanovy věty. Tu z oblastí Ω 1 , Ω 2 , která neobsahuje∞, nazýváme vnitřkem křivky γ a značíme int γ, tu, která ∞ obsahuje,nazýváme vnějškem křivky γ a značíme ext γ.Definice 5.3. Buď funkce f = u + iv : R → C spojitá na intervalu ⟨a, b⟩(a, b ∈ R; a < b). a Pak definujeme∫︁ baf(t) dt =∫︁ bau(t) + iv(t) dt :=∫︁ bau(t) dt + i∫︁ bav(t) dt.a Tzn., že funkce u(t) := Re f(t), v(t) := Im f(t) : R → R jsou spojité na ⟨a, b⟩.

5.1 Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 31Definice 5.4. Buď γ : ⟨a, b⟩ → C po částech hladká křivka a buď funkcef = u + iv : C → C spojitá na ⟨γ⟩. Pak definujeme a∫︁∫︁∫︁f(z) dz := u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy,γ(γ)(γ)kde integrály na pravé straně rovnosti jsou křivkové integrály 2. druhu b (γ zdechápeme jako křivku v R 2 ).a Pomůcka pro snadnější zapamatování:f(z) dz = (u + iv)( dx + i dy) = u dx − v dy + i(v dx + u dy).b Definici křivkového integrálu 2. druhu si lze připomenout v [1].Věta 5.5. Nechť γ : ⟨a, b⟩ → C je hladký oblouk a nechť funkce f : C → C jespojitá na ⟨γ⟩. Potom platí∫︁γf(z) dz =∫︁ baf(γ(t))γ ′ (t) dt.Důkaz. Označme f = u + iv a γ = γ 1 + iγ 2 . Potom platí∫︁ ∫︁∫︁f(z) dz = u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy =γ(γ)(γ)∫︁ b=∫︁ b=+ia∫︁ b=a∫︁ bu(γ 1 (t), γ 2 (t))γ ′ 1(t) − v(γ 1 (t), γ 2 (t))γ ′ 2(t) dt+v(γ 1 (t), γ 2 (t))γ ′ 1(t) + u(γ 1 (t), γ 2 (t))γ ′ 2(t) dt =a(u(γ 1 (t), γ 2 (t)) + iv(γ 1 (t), γ 2 (t))) γ ′ 1(t)++i (u(γ 1 (t), γ 2 (t)) + iv(γ 1 (t), γ 2 (t))) γ ′ 2(t) dt =f (γ 1 (t) + iγ 2 (t)) (γ ′ 1(t) + iγ ′ 2(t)) dt =∫︁ baaf(γ(t))γ ′ (t) dt.Příklad 5.6. Vypočtěte∫︁γ1z dz,

32 Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce.kde γ(t) := 5e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩.Řešení.– užitím definice 5.4:∫︁1z∫︁(γ)dz = xx 2 + y dx + 2γ=∫︁ 2π0−25 sin t cos t25+yx 2 + y 2 dy + i ∫︁(γ)25 sin t cos t25dt + i∫︁ 2π∫︁ 2π= 0 + i 1 dt = 2πi ;00−yx 2 + y dx + x2 x 2 + y dy = 225 sin 2 t25+ 25 cos2 t25dt =– pomocí věty 5.5:∫︁γ∫︁12π∫︁z dz = 12π0 5e it 5ieit dt = i dt = 2πi .05.2 Cauchyho větyVěta 5.7 (Cauchyho). Nechť funkce f je holomorfní na jednoduše souvisléoblasti Ω ⊂ C. Pak pro každou uzavřenou po částech hladkou křivku γ v Ω (tzn.⟨γ⟩ ⊂ Ω) platí∫︁f(z) dz = 0.γDůkaz. Označme f = u + iv a definujme vektorová polef 1 (x, y) := (u(x, y), −v(x, y)) ,f 2 (x, y) := (v(x, y), u(x, y)) .Potom f 1 a f 2 jsou třídy C 2 na jednoduše souvislé oblastiΩ * = {(x, y) ∈ R 2 : x + iy ∈ Ω}(viz větu 3.10), a protože navíc v Ω * platí∂∂u∂∂y = ∂∂(−v)∂∂xa∂∂v∂∂y = ∂∂u∂∂x

5.2 Cauchyho věty 33(viz větu 3.4), jsou i potenciální na Ω * (viz [1]). Proto∫︁ ∫︁∫︁f(z) dz = f 1 (x, y)ds + i f 2 (x, y)ds = 0 + i0 = 0.γ(γ)(γ)Věta 5.8 (zobecnění Cauchyho věty). Nechť Ω = int γ, kde γ je jednoducháuzavřená po částech hladká křivka v C. Pak pro každou funkci f : C → C, která jeholomorfní na Ω a spojitá na Ω = Ω ∪ ⟨γ⟩, platí a∫︁γf(z) dz = 0.a Všimněme si souvislosti s Greenovou větou – viz [1].Pozorování 5.9. Buďteγ, γ 1 , γ 2 , . . . , γ ntakové jednoduché uzavřené po částech hladké a kladně orientované křivky v C, žepro každé i, j ∈ {1, 2, . . . , n} platí:Pak množinaje (n + 1)-násobně souvislou oblastí. 1⟨γ i ⟩ ⊂ ext γ j , je-li i ≠ j,⟨γ i ⟩ ⊂ int γ.Ω = int γ ∩ ext γ 1 ∩ ext γ 2 ∩ . . . ∩ ext γ nVěta 5.10 (Cauchyho věta pro vícenásobně souvislou oblast). Nechť Ωje (n + 1)-násobně souvislou oblastí výše popsaného typu a nechť f : C → C jeholomorfní na Ω a spojitá naΩ = Ω ∪ ⟨γ⟩ ∪ ⟨γ 1 ⟩ ∪ ⟨γ 2 ⟩ ∪ . . . ∪ ⟨γ n ⟩.Pak platí∫︁γf(z) dz =n∑︁∫︁i=1γ if(z) dz.1 Namalujte si obrázek!

34 Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce.5.3 Cauchyho integrální vzorceVěta 5.11. Nechť γ je jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovanákřivka v C a nechť funkce f : C → C je holomorfní na Ω = int γ a spojitá naΩ = Ω ∪ ⟨γ⟩. Potom pro každé z 0 ∈ Ω platíf(z 0 ) = 1 ∫︁2πif(z)dz.z − z 0(♣)γNavíc: je-li n ∈ N, existuje f (n) (z 0 ) pro každé z 0 ∈ Ω a platíf (n) (z 0 ) = n! ∫︁f(z)dz.2πi (z − z 0 ) (♠)n+1γDůkaz. Dokažme pouze tvrzení (♣).Buď z 0 ∈ Ω libovolný bod. Definujme pro každé r > 0 křivkuZ věty 5.10 pak plyne, že∫︁∫︁f(z)dz = limz − z 0 r→0+γplyneZ předpokladuγ rγ r (t) := z 0 + re it , t ∈ ⟨0, 2π⟩.[︂∫︁∫︁ ]︂f(z)f(z) − f(z 0 ) f(z 0 )dz= limdz + dz .z − z 0 r→0+γ rz − z 0 γ rz − z 0f ′ (z 0 ) = limz→z0f(z) − f(z 0 )z − z 0(∃δ > 0, k > 0)(∀z ∈ C : 0 < |z − z 0 | < δ) :a proto pro všechna „dost malá“ r > 0 platí 1∈ C∫︁f(z) − f(z 0 )⃒dzγ rz − z 0⃒ ≦ k2πr,⃒ f(z) − f(z 0 ) ⃒⃒⃒⃒≦ k,z − z 01 Využíváme tohoto odhadu křivkového integrálu: Buď γ : ⟨a, b⟩ → C hladký oblouk a buď funkcef : C → C spojitá na ⟨γ⟩. Potom platí∫︁∫︁ b⃒ f(z) dz⃒ ≦ sup |f(z)| · |γ ′ (t)| dt .γz∈⟨γ⟩a⏟ ⏞... délka křivky γ

5.3 Cauchyho integrální vzorce 35neboli∫︁f(z) − f(z 0 )limdz = 0.r→0+γ rz − z 0Navíc platí∫︁limr→0+f(z 0 )dz = limγ rz − z 0 r→0+(︂ ∫︁ 2πf(z 0 )0a proto (stačí „zkombinovat“ podtržená tvrzení)∫︁f(z)dz = f(z 0 )2πi.z − z 0γ)︂1re it rieit dt = lim (f(z 0)2πi)= f(z 0 )2πi,r→0+Pozorování 5.12.∙ Z věty 5.11 vyplývá, že derivací holomorfní funkce získáme opět holomorfní funkci;jinak řečeno: je-li funkce f holomorfní na otevřené množině Ω a n ∈ N, je funkcef (n) holomorfní na Ω.∙ Uvažujme situaci z věty 5.11 Pak hodnoty funkce f na Ω jsou jednoznačněurčeny hodnotami f na ⟨γ⟩.∙ Vzorec (♠) můžeme získat, zderivujeme-li formálně n-krát podle z 0 obě stranyrovnosti (♣).Příklad 5.13. Vypočtětekde γ(t) := 3 2 eit , t ∈ ⟨0, 2π⟩.Řešení. Z věty 5.10 plyne, že∫︁e z ∫︁z(1 − z) dz = 3kdeγNyní aplikujme tvrzení věty 5.11:∫︁γ 1e zz(1 − z) 3 dz = ∫︁∫︁γγ 1e zz(1 − z) 3 dz,e z ∫︁z(1 − z) dz + 3γ 1 (t) := 1 4 eit , t ∈ ⟨0, 2π⟩;γ 2γ 2 (t) := 1 + 1 4 eit , t ∈ ⟨0, 2π⟩.γ 1e zz(1 − z) 3 dz,e z[︂(1−z) 3z − 0 dz = 2πi e z= 2πi,(1 − z)]︂z=03

36 Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce.a proto∫︁γ 2e zz(1 − z) 3 dz = ∫︁∫︁γ 2γ− ez z2πidz =(z − 1)32!e zdz = πi(2 − e).z(1 − z)3)︂ ′′ ]︂ [︂(︂− ez= πi(−e),zz=15.4 Primitivní funkce, nezávislost integráluna cestěDefinice 5.14. Řekneme, že funkce F : C → C je primitivní k funkci f : C → Cna oblasti Ω ⊂ C, platí-li pro každé z ∈ Ω, že F ′ (z) = f(z).Věta 5.15. Nechť F je primitivní funkcí k f na oblasti Ω. Pak funkce tvaru F +k,kde k ∈ C, tvoří právě všechny primitivní funkce k f na Ω.Důkaz. Máme dokázat:i) k ∈ C ⇒ F + k je primitivní k f na Ω,ii) Φ je primitivní k f na Ω ⇒ ∃k ∈ C : Φ = F + k.Ad i). (F + k) ′ = F ′ + 0 = f v Ω.Ad ii). Definujme funkci G = u + iv : C → C předpisemG(z) := Φ(z) − F (z).Pak pro každé z ∈ Ω platí G ′ (z) = 0, a proto 1a tedy taky∀x + iy ∈ Ω : 0 = G ′ (x + iy) = ∂∂u (x, y) + i∂∂v (x, y),∂∂x ∂∂x∀x + iy ∈ Ω :∂∂u∂∂x(x, y) =∂∂v∂∂y(x, y) = 0 =∂∂v∂∂x(x, y) = −∂∂u(x, y) = 0.∂∂yOdtud plyne, že funkce u a v jsou na množině {(x, y) ∈ R 2 : x+iy ∈ Ω} konstantní.Dokázali jsme, že funkce G = u + iv = Φ − F je na Ω konstantní.1 Viz větu 3.4

5.4 Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě 37Definice 5.16. Řekneme, že integrál funkce f : C → C nezávisí v oblasti Ω ⊂ Cna cestě, platí-li pro každé dvě po částech hladké křivky γ 1 a γ 2 takové, že∙ ⟨γ 1 ⟩ ∪ ⟨γ 2 ⟩ ⊂ Ω,∙ p.b.γ 1 = p.b.γ 2ozn.= z 1 ,∙ k.b.γ 1 = k.b.γ 2ozn.= z 2 ,rovnost∫︁∫︁f(z) dz =γ 1f(z) dz ozn.=γ 2∫︁ z2z 1f(z) dz.Věta 5.17. Nechť funkce f : C → C je holomorfní na jednoduše souvisléoblasti Ω ⊂ C. Pak integrál funkce f nezávisí v Ω na cestě.Důkaz ponechme jako cvičení; dokazované tvrzení je přímým důsledkem věty 5.7.Věta 5.18 (Morerova). Nechť funkce f : C → C je spojitá na oblasti Ω ⊂ Ca nechť pro každou jednoduchou uzavřenou po částech hladkou křivku γ v Ω platí∫︁f(z) dz = 0.Pak f je holomorfní na Ω.γVěta 5.19. Nechť integrál spojité funkce f : C → C nezávisí v oblasti Ω ⊂ Cna cestě. Pak existuje primitivní funkce k f na Ω.Navíc: je-li z 0 ∈ Ω libovolný bod, je funkce F definovaná předpisem aprimitivní funkcí k f na Ω.F (z) :=∫︁ zz 0f(ξ) dξa Symbolem „ ∫︀ zz 0f(ξ) dξ“ rozumíme integrál ∫︀ f(ξ) dξ, kde γ je libovolná po částech hladkáγkřivka v Ω, pro niž je p.b.γ = z 0 a k.b.γ = z.Důkaz. Buď z 0 ∈ Ω a F (z) := ∫︀ zz 0f(ξ) dξ.Máme dokázat, že pro každé z ∈ Ω platí:lim⃒h→0F (z + h) − F (z)h− f(z)⃒ = 0.

38 Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce.Buď z ∈ Ω libovolný bod.Vezměme P (0) takové, aby∀h ∈ P (0) : z + h ∈ Ω,a definujme pro každé h ∈ P (0) křivku γ h předpisemγ h (t) := z + th, t ∈ ⟨0, 1⟩.Pak pro každé h ∈ P (0) platí:0 ≦F (z + h) − F (z)⃒− f(z)h⃒ = 1∫︁ z+h|h| ⃒ f(ξ) dξ − f(z)h⃒ =z= 1∫︁∫︁|h| ⃒ f(ξ) dξ − f(z) 1 dξ⃒ = 1∫︁γ h γ h|h| ⃒ f(ξ) − f(z) dξ⃒ ≦γ h≦ 1|h| · sup |f(ξ) − f(z)| · |h| = sup |f(ξ) − f(z)| → 0 pro h → 0,ξ∈⟨γ h ⟩ξ∈⟨γ h ⟩protože f je podle předpokladů spojitá v bodě z.Příklad 5.20. Funkcef(z) := 1 zje holomorfní na jednoduše souvislé oblasti Ω = C ∖ {z ∈ R :(integrujeme přes křivky ležící v Ω) funkceF (z) :=∫︁ z1f(ξ) dξ =∫︁ |z|je primitivní funkcí k funkci f na Ω. 11∫︁1zx dx +|z|1ξdξ = [ln x]|z| 1 + i∫︁ arg z0z ≦ 0}, a protodt = ln zPozorování 5.21. Buď funkce F primitivní k funkci f na jednoduše souvisléoblasti Ω a buď z 1 , z 2 ∈ Ω. Zkoumejme ∫︀ z 2z 1f(z) dz. 2Zvolme libovolně bod z 0 ∈ Ω. Pak existuje konstanta k ∈ C taková, že∀z ∈ Ω : F (z) =(viz věty 5.15, 5.17 a 5.19), a proto∫︁ zz 0f(ξ) dξ + k∫︁ z2f(z) dz =z 1(︂∫︁ z1)︂= − f(z) dz + k +z 0(︂∫︁ z2z 0∫︁ z0f(z) dz +z 1)︂f(z) dz + k∫︁ z2z 0f(z) dz == F (z 2 ) − F (z 1 ) ozn.= [F (z)] z 2z 1.1 Promyslete si podrobně!2 Opět integrujeme přes po částech hladké křivky ležící v Ω.

5.4 Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě 39Toto pozorování lze zobecnit:Věta 5.22. Nechť existuje primitivní funkce k funkci f : C → C na oblasti Ω ⊂ C.Pak integrál funkce f nezávisí v oblasti Ω na cestě. Navíc: je-li F primitivní funkcík funkci f na oblasti Ω a je-li γ po částech hladká křivka v Ω, je∫︁f(z) dz = F (k.b. γ) − F (p.b. γ).γPříklady 5.23.a) Buď γ(t) := e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩. Pak ∫︀ γC ∖ {0}.1dz = 0, protože (︀ )︀− 1 ′= 1z 2 z z 2v oblastib) ∫︀ 1+isin z cos z dz = ∫︀ 1+i 1sin(2z) dz = 1 [− cos(2z)]1+i0 0 2 4 0= 1 (1 − cos(2 + 2i)) .4c) ∫︀ 2πi0ze z dz = [ze z ] 2πi0− ∫︀ 2πi0e z dz = 2πi − [e z ] 2πi0= 2πi(počítali jsme „per partes“).

40Kapitola 6Číselné řady. Posloupnosti a řadyfunkcí.6.1 Číselné řadyDefinice 6.1. Řadou (komplexních čísel) rozumíme výrazz 1 + z 2 + · · · + z n + . . .ozn.=∞∑︁z n ,n=1(♡)kde pro každé n ∈ N je z n ∈ C.Číslo z n nazýváme n-tým členem řady (♡), posloupnost (s n ) definovanou předpisemozn.s n := z 1 + z 2 + · · · + z n =nazýváme posloupností částečných součtů řady (♡).Říkáme, že řada (♡) konverguje, existuje-li (konečná) lim s n ∈ C; v takovém případěpak číslos = lim s nnazýváme součtem řady (♡) a píšeme as =∞∑︁z n .n=1(Řadu, která není konvergentní, nazýváme divergentní řadou.)a ∑︀Zde nepřehlédněme, že symbolem ∞ z n značíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale nebojme se,z kontextu bude vždy jasné, o které z těchto dvou možností právě mluvíme.n=1n∑︁k=1z k

6.1 Číselné řady 41∑︀Věta 6.2. Uvažujme řadu ∞ z n . Pak platí: an=1(i) (nutná podmínka konvergence)∞∑︁z n konverguje ⇒ lim z n = 0.n=1(ii) („konvergence řady = konvergence řady reálných a řady imaginárních částí“)∞∑︁(x n + iy n ) konverguje ⇔ konvergují řadyn=1n=1∑︀navíc, konverguje-li řada ∞ (x n + iy n ), platí pro její součet:n=1(iii) (Bolzanova–Cauchyho podmínka)∞∑︁∞∑︁ ∞∑︁(x n + iy n ) = x n + i y n .n=1n=1 n=1∞∑︁x na∞∑︁y n ;n=1∞∑︁z n konverguje ⇔n=1⇔ (︀ ∀ε ∈ R +)︀ (∃n 0 ∈ N) (∀n, m ∈ N; n, m > n 0 ) : |s n − s m | < εn∑︁(s n := z k ).k=1(iv) („absolutní konvergence řady ⇒ konvergence řady“)∞∑︁|z n | konvergujen=1⇒∞∑︁z n konverguje .∑︀(Řekneme, že řada ∞ ∑︀z n konverguje absolutně, konverguje-li řada ∞ |z n |.n=1Řadu, která konverguje, ale nekonverguje absolutně, nazýváme neabsolutněkonvergentní řadou.)n=1n=1(v) (srovnávací kritérium)⎫∀n ∈ N : |z n | ≦ a n ⎬∞∑︀a n konverguje ⎭ ⇒n=1∞∑︁n=1z n konverguje absolutně.a Doporučuji čtenáři, aby si prohlédl [2].

42 Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí.(vi) (d’Alembertovo kritérium)(vii) (Cauchyho kritérium)⃒ lim ⃒ z n+1 ⃒⃒ ∞∑︀z n< 1 ⇒ z n konverguje absolutně,⃒n=1lim ⃒ z n+1 ⃒⃒ ∞∑︀z n> 1 ⇒ z n diverguje.n=1lim n√︀ |z n | < 1lim n√︀ |z n | > 1∑︀⇒ ∞ z n konverguje absolutně,n=1∑︀⇒ ∞ z n diverguje.n=1(viii) (integrální kritérium)Nechť funkce f : R → R je nezáporná, nerostoucí a spojitá na intervalu⟨1, +∞) a nechť pro každé n ∈ N je |z n | = f(n). Pak platí∞∑︁|z n | < +∞ ⇔n=1∫︁ +∞1f(x) dx < +∞ .(ix) (Leibnizovo kritérium)∀n ∈ N : 0 ≦ z n+1 ≦ z nlim z n = 0}︃⇒∞∑︁(−1) n+1 z nn=1konverguje.(x) (tvrzení o konvergenci geometrické řady)∑︀Řada ∞ q n−1 , kde q ∈ C, konverguje právě tehdy, je-lin=1případě pak platí∞∑︁n=1q n−1 = 11 − q .|q| < 1. V takovémPříklady 6.3.a) Řada∞∑︁n=1konverguje absolutně, protožen+1⃒ (1 + i) n+13 ⃒⃒⃒ ⃒n+1 n=1(1 + i)3 n ⃒3nn(1 + i)n3n n + 1n(1 + i) ⃒ ⃒⃒⃒→√23 < 1.

6.2 Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence 43b) Řada∞∑︁n=1e i π n√ ndiverguje, protože pro každé n ∈ N je ei nπ √ n= √ 1ncos π + i √ 1n nsin π n∞∑︀√1ncos π diverguje. 1nn=1a současně řada6.2 Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrnákonvergenceDefinice 6.4. Řekneme, že posloupnost komplexních funkcí (f n ) konvergujebodově na množině Ω ⊂ C ∞ k funkci f, a píšeme f n → f na Ω, platí-litj. platí-li∀z ∈ Ω : lim f n (z) = f(z),(∀z ∈ Ω) (︀ ∀ε ∈ R +)︀ (∃n 0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≧ n 0 ) : f n (z) ∈ U(f(z), ε).Poznámka 6.5. Přirozené číslo n 0 vyskytující se ve výše uvedené podmínce závisíobecně na volbě z ∈ Ω a ε ∈ R + . Jestliže lze číslo n 0 zvolit nezávisle na volbě boduz ∈ Ω a jsou-li funkce f n a f konečné, mluvíme o stejnoměrné konvergenci na Ω.Řekněme to přesněji:Definice 6.6. Buďte pro každé n ∈ N funkce f n a f konečné a definovanéna množině Ω ⊂ C ∞ . Řekneme, že posloupnost funkcí (f n ) konvergujestejnoměrně na množině Ω k funkci f, a píšeme f n→ → f na Ω, platí-li[︂]︂lim sup |f n (z) − f(z)|z∈Ω= 0,tj. platí-li(︀∀ε ∈ R+ )︀ (∃n 0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≧ n 0 ) (∀z ∈ Ω) : f n (z) ∈ U(f(z), ε).Věta 6.7. Nechť f n→ → f na Ω a nechť pro každé n ∈ N je funkce f n spojitá na Ω.Pak funkce f je spojitá na Ω.1 Rozmyslete si podrobně!

44 Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí.Definice 6.8. Buďte pro každé n ∈ N funkce f n a f konečné a definované namnožině Ω ⊂ C ∞ . Řekneme, že funkční řadaf 1 (z) + f 2 (z) + · · · + f n (z) + . . . ozn.=∞∑︁f n (z)n=1(♠)konverguje bodově resp. stejnoměrně na množině Ω ke svému součtu f,konverguje-li posloupnost (s n ) částečných součtů funkční řady (♠) a bodově resp.stejnoměrně na Ω k funkci f.a s n (z) :=n ∑︀k=1f k (z).Věta 6.9 (Weierstrassova). Nechť pro každé n ∈ N je funkce f n holomorfní na∑︀oblasti Ω ⊂ C a nechť funkční řada ∞ f n (z) konverguje na Ω lokálně stejnoměrně,tzn. že(∀z ∈ Ω) (∃U(z) ⊂ Ω) :n=1∞∑︁f n (z) konverguje stejnoměrně na U(z).n=1Potom je funkce f definovaná předpisemf(z) :=∞∑︁f n (z)holomorfní na oblasti Ω a pro každé p ∈ N a z ∈ Ω platí rovnostf (p) (z) =n=1∞∑︁n=1f n(p) (z).Navíc: je-li γ po částech hladká křivka v Ω, platí∫︁∞∑︁∫︁f(z)dz = f n (z)dz.γn=1 γaa Zapsáno symbolicky:(︁∑︁. . .)︁ ′=∑︁(. . . ) ′ ,∫︁ (︁ ∑︁. . .)︁= ∑︁ (︂∫︁ )︂. . . .

45Kapitola 7Mocninné řady. Taylorovy řady.7.1 Mocninné řadyDefinice 7.1. Mocninnou řadou o středu z 0 ∈ C rozumíme funkční řadu tvarua 0 + a 1 (z − z 0 ) + a 2 (z − z 0 ) 2 + . . . ozn.=∞∑︁a n (z − z 0 ) n ,n=0(♣)kde pro každé n ∈ N ∪ {0} je a n ∈ C.Zabývejme se nyní konvergencí řady (♣), tj. zkoumejme, pro jaká z ∈ C danářada konverguje. Je zřejmé, že řada (♣) konverguje pro z = z 0 , tj. ve svém středu,a má tam součet a 0 . Předpokládejme nyní, že řada (♣) konverguje v bodě z 1 ≠ z 0 ,a buď z ∈ C takový bod, že |z − z 0 | < |z 1 − z 0 |. Pak pro každé n ∈ N platí⃒ |a n (z − z 0 ) n | = |a n (z 1 − z 0 ) n |z − z 0 ⃒⃒⃒n⃒ . (⋆)z 1 − z 0∑︀Nyní aplikujme větu 6.2. Z předpokladu, že řada ∞ a n (z 1 −z 0 ) n konverguje, vyplývá,žen=0lim (a n (z 1 − z 0 ) n ) = 0,a proto existuje k ∈ R + takové, ⃒ že pro každé n ∈ N je |a n (z 1 − z 0 ) n | ≦ k.Navíc, z předpokladu ⃒ z−z 0 ⃒⃒z 1 −z 0< 1 plyne konvergence (geometrické) řady⃒ ∞∑︁kz − z 0 ⃒⃒⃒n⃒ ,z 1 − z 0a proto ze vztahu (⋆) (a srovnávacího kritéria) vyplývá, že řadan=0absolutně konverguje. Toto zjištění je zobecněno v následující větě.∞ ∑︀n=0a n (z − z 0 ) n

46 Mocninné řady. Taylorovy řady.Věta 7.2 (Abelova). Nechť mocninná řada∞ ∑︀n=0a n (z − z 0 ) nkonverguje v boděz 1 ≠ z 0 . Pak konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně v U (z 0 , |z 1 − z 0 |) .∑︀Důsledek. Pokud mocninná řada ∞ a n (z −z 0 ) n diverguje v bodě z 2 ∈ C, divergujei v každém bodě množinyn=0{z ∈ C : |z − z 0 | > |z 2 − z 0 |}.Věta 7.3. Pro každou mocninnou řadu (♣) o středu z 0 existuje právě jedno čísloR ∈ ⟨0, +∞)∪{+∞} (říkejme mu poloměr konvergence mocninné řady (♣) takové,že(i) řada (♣) konverguje absolutně, je-li |z − z 0 | < R,(ii) řada (♣) diverguje, je-li |z − z 0 | > R.Důkaz. Dokazované tvrzení je snadným důsledkem předchozí věty 7.2. Stačí definovat{︃}︃∞∑︁R := sup |z − z 0 | : z ∈ C ∧ a n (z − z 0 ) n konverguje .n=0Definice 7.4. Platí-li pro poloměr konvergence R mocninné řady (♣), že0 < R < +∞, nazýváme U(z 0 , R) kruhem konvergence mocninné řady (♣);je-li R = +∞, rozumíme kruhem konvergence mocninné řady (♣) množinuU(z 0 , +∞) := C.Poznámka 7.5. Předpokládejme, že pro poloměr konvergence R mocninné řady∞∑︀a n (z − z 0 ) n platí, že 0 < R < +∞. Uvědomme si, že obecně nelze říci nicn=0o konvergenci této řady v bodech kružnice{z ∈ C : |z − z 0 | = R}.Situaci ilustrujme těmito třemi mocninnými řadami: 1∞∑︁z n ,n=1∞∑︁n=1z nn ,1 ∑︀Jedná se ve všech třech případech o mocninné řady tvaru ∞ a n (z − z 0 ) n , kde z 0 = 0 a a 0 = 0.∞∑︁n=1z nn 2 .n=0

7.1 Mocninné řady 47Protože⃒ z n+1 ⃒⃒⃒⃒ → |z|,z n⃒z n+1n+1z n n⃒ → |z|,⃒ ⃒⃒⃒⃒ z n+1(n+1) 2z nn 2⃒ ⃒⃒⃒⃒→ |z|,je (viz d’Alembertovo kritérium) poloměr konvergence každé z těchto mocninnýchřad roven 1. Navíc platí:∑︀∙ řada ∞ z n diverguje v každém bodě kružnice {z ∈ C : |z| = 1} (pro žádné z ∈ C,n=1∑︀|z| = 1, není totiž splněna nutná podmínka konvergence řady ∞ z n , tj. podmínkan=1z n nlim z n = 0);∑︀∙ řada ∞ konverguje (neabsolutně) pro z = −1 (viz Leibnizovo kritérium) a divergujepro z = 1 (viz integrální kritérium);∑︀∙ řada ∞ konverguje (absolutně) pro každé z ∈ C, |z| = 1 (viz integrální kritérium).n=1z nn 2n=1Věta 7.6. Nechť existujelim⃒a n+1a n⃒ ⃒⃒⃒ozn.= L, resp. lim n√︀ |a n | ozn.= K.∑︀Pak pro poloměr konvergence R mocninné řady ∞ a n (z − z 0 ) n platí:⎧1⎪⎨, je-li L ∈ L R+ ,R = 0, je-li L = +∞,⎪⎩ +∞, je-li L = 0,n=0⎧1⎪⎨, je-li K ∈ K R+ ,resp. R = 0, je-li K = +∞,⎪⎩ +∞, je-li K = 0.Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro z ≠ z 0 je⃒ lima n+1 (z − z 0 ) n+1 ⃒⃒⃒⃒= L|z − za n (z − z 0 ) n 0 |, resp. lim n√︀ |a n (z − z 0 ) n | = K|z − z 0 |,a užít d’Alembertovo, resp. Cauchyho kritérium.Příklad 7.7. Určete obor konvergence mocninné řady 1∞∑︁n=0n2 n zn .1 Tzn. určete množinu všech z ∈ C, pro něž daná řada konverguje.

48 Mocninné řady. Taylorovy řady.Řešení.lim n √︂ n2 n = lim n √ n2 = 1 2 ,a proto R = 2; daná řada konverguje (absolutně) pro každé z ∈ U(0, 2) a divergujepro každé z ∈ C, |z| > 2.Je-li |z| = 2, jelim ⃒ n ⃒ ⃒⃒2 n zn = lim n = ∞ ≠ 0,a proto řada ∞ ∑︀n=0nz n diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence).2 nPříklad 7.8. Určete poloměr konvergence mocninné řady∞∑︁n=0(2n)!(n!) 2 zn .Řešení.a proto R = 1 4 .(2(n+1))!((n+1)!) 2(2n)!(n!) 2 =(2n + 2)(2n + 1)(n + 1)(n + 1)→ 4,∑︀Věta 7.9. Nechť mocninná řada ∞ a n (z − z 0 ) n má poloměr konvergence R > 0.n=0Pak je funkce f definovaná předpisemf(z) :=∞∑︁a n (z − z 0 ) nn=0holomorfní na oblasti U(z 0 , R).Navíc: pro každé p ∈ N a z ∈ U(z 0 , R) platí rovnostf (p) (z) =∞∑︁n (n − 1) . . . (n − p + 1) a n (z − z 0 ) n−pn=p∑︀a mocninná řada ∞ n (n − 1) . . . (n − p + 1) a n (z − z 0 ) n−p má taky poloměr konvergenceR.n=p

7.1 Mocninné řady 49Důkaz. Věta je přímým důsledkem Weierstrassovy a Abelovy věty (viz věty 6.9a 7.2).Příklad 7.10. Určete součet mocninné řadyv kruhu konvergence.∞∑︁(−1)n=1n−1 znnŘešení. Protože1n+11n→ 1,je kruhem konvergence dané mocninné řady oblast U(0, 1). Definujme funkci f předpisem∞∑︁n−1 znf(z) := (−1)n .Pak pro každé z ∈ C, |z| < 1, platíf ′ (z) =∞∑︁(−1) n−1 z n−1 =n=1n=1∞∑︁(−z) n−1 =n=1a proto existuje c ∈ C takové, že pro každé z ∈ U(0, 1) jef(z) = ln(1 + z) + c.11 − (−z) = 11 + z ,Protože ale zřejmě platí:0 = f(0) = ln 1 + c = c,je pro každé z ∈ U(0, 1)f(z) =∞∑︁(−1) n−1 z nn=1n= ln(1 + z).

50 Mocninné řady. Taylorovy řady.n=0∑︀Věta 7.11 (Abelova). Nechť mocninná řada ∞ a n (z − z 0 ) n má poloměr konvergenceR ∈ (0, +∞) a nechť tato řada konverguje v boděPak je funkce f definovaná předpisemz 1 = z 0 + Re iφ , kde φ ∈ R.f(z) :=∞∑︁a n (z − z 0 ) nspojitá na úsečce s krajními body z 0 a z 1 , tj. na množině{︀z0 + re iφ : r ∈ ⟨0, R⟩ }︀ = {z 0 + (z 1 − z 0 ) t : t ∈ ⟨0, 1⟩} .n=0Speciálně:f(z 1 ) = f (︀ z 0 + Re iφ)︀ = limr→R− f (︀ z 0 + re iφ)︀ = limt→1−f (z 0 + (z 1 − z 0 ) t) .Příklad 7.12. Vypočtěte součet řady∞∑︁(−1) n−1 1 n .n=1Řešení. Předně si uvědomme, že uvedená řada konverguje. 1 Uvažujme nyní funkcif definovanou předpisem:f(z) :=∞∑︁(−1)n=1n−1 znZ věty 7.11 a předcházejícího příkladu pak vyplývá, žen .∞∑︁(−1) n−1 1 nn=1= f(1) = lim f(z) = lim (ln(1 + z)) = ln 2.z→1− z→1−1 Viz Leibnizovo kritérium.

7.2 Taylorovy řady 517.2 Taylorovy řadyDosud jsme ukázali, že součtem mocninné řady je (v kruhu konvergence) holomorfnífunkce. Následující věta říká, že každá holomorfní funkce je (alespoň lokálně) součtemjisté mocninné řady.Věta 7.13 (o rozvoji holomorfní funkce do Taylorovy řady).Nechť funkce f je holomorfní na U(z 0 , R), kde z 0 ∈ C a R ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}.Pak existuje právě jedna mocninná řadaz ∈ U(z 0 , R) platíf(z) =∞ ∑︀n=0∞∑︁a n (z − z 0 ) n .n=0a n (z − z 0 ) ntaková, že pro každéNavíc, je-li ρ libovolné reálné číslo takové, že 0 < ρ < R, platí pro koeficienty výšeuvedené (tzv. Taylorovy) řadya n = f (n) (z 0 )n!= 1 ∫︁2πi γf(z)dz,(z − z 0 )n+1kdeγ(t) := z 0 + ρ e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩(n ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }) .Pozorování 7.14. Je-li f holomorfní na C, je poloměr konvergence její Taylorovyřady (o středu v libovolném bodě z 0 ∈ C) roven +∞. Příklady takovýchto funkcí(a jejich Taylorových řad o středu 0):e z =∞∑︁n=0z nn! ,∞ sin z = ∑︁(−1) n z 2n+1(2n + 1)! ,n=0∞ cos z = ∑︁(−1) n z2n(2n)! .Příklad 7.15. Najděte Taylorovu řadu funkce f o středu z 0 , je-lia) f(z) := 13−z , z 0 = 0,b) f(z) := 13−z , z 0 = −1 + 3i,c) f(z) := ln z, z 0 = 2.Řešení.Ad a) Předně si uvědomme, že funkce f je holomorfní na U(0, 3). Při hledání jejíTaylorovy řady nám dobře poslouží tvrzení o konvergenci geometrické řady: 1∀z ∈ U(0, 3) : f(z) = 13 − z = 1 31 Viz větu 6.2.11 − z 3= 1 3n=0n=0∞∑︁ (︁ z n ∑︁ ∞z =3)︁ n3 . n+1n=0

52 Mocninné řady. Taylorovy řady.Ad b) Postupujme podobně jako před chviličkou. Pro každéplatíz ∈ U (−1 + 3i, |3 − (−1 + 3i)| ) = U (−1 + 3i, 5)f(z) = 13 − z = 14 − 3i − (z − (−1 + 3i)) = 14 − 3i11 − z+1−3i4−3i=∞∑︁n=0(z + 1 − 3i) n(4 − 3i) n+1 .Ad c) Funkce f je zřejmě holomorfní na U(2, 2). Pro každé z ∈ U(2, 2) platí:f ′ (z) = 1 z = 1 211 + z−22= 1 2∞∑︁n=0(−1) n (︂ z − 22)︂ n=∞∑︁n=0(−1) n2 n+1 (z − 2)n ,a proto existuje c ∈ C takové, že pro každé z ∈ U(2, 2) platíf(z) =∞∑︁n=0(−1) n (z − 2) n+1+ c.2 n+1 n + 1Protože zřejmějef(2) = ln 2 = c,∞∑︁ (−1) n−1∀z ∈ U(2, 2) : f(z) = ln 2 +2 n n (z − 2)n .n=1Věta 7.16 (Liouvillova). Nechť funkce f je na C holomorfní a omezená (tzn.,že existuje M ∈ R + takové, že pro každé z ∈ C je |f(z)| ≦ M). Pak je f na Ckonstantní.Důkaz.Už víme (viz větu 7.13), že∀z ∈ C : f(z) =∞∑︁a n z n ,n=0kde – pro každé n ∈ N ∪ {0} a každé ρ ∈ (0, +∞) –a n = 1 ∫︁2πi γ∫︁f(z) 1 2πdz =zn+1 2πi 0(︀γ(t) := ρ e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩ )︀ .f(ρ e it )(ρ e it ) n+1 ρ ieit dt

7.2 Taylorovy řady 53Odtud plyne (opět pro každé n ∈ N ∪ {0} a každé ρ ∈ (0, +∞)), že|a n | = 1∫︁ 2πf(ρ e it )2π ⃒ (ρ e it ) n i dt⃒ ≦ 1 ∫︁ 2πM2π ρ dt = M n ρ . n0Protože konstantu ρ ∈ R + lze volit libovolně velkou, plyne z odhadů |a n | ≦ M ρ n , žepro každé n ∈ N je a n = 0. Dokázali jsme, že pro každé z ∈ C je f(z) = a 0 ; funkcef je tedy konstantní.0Věta 7.17 (Základní věta algebry). Každý polynom kladného stupně má v Calespoň jeden kořen. Jinak řečeno: buď funkce f : C → C definovaná předpisem:f(z) := a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 ,kden ∈ N, a 0 , a 1 , . . . , a n ∈ C, a n ≠ 0.Pak existuje z ∈ C takové, že f(z) = 0.Důkaz.Předpokládejme sporem, žea uvažujme funkciPak zřejmě platí:∙ F je holomorfní na C(︁∀z ∈ C : F ′ (z) = − f ′ (z)f 2 (z))︁,∀z ∈ C : f(z) ≠ 0,F (z) := 1f(z) .∙ F(︁je omezená na C1lim F (z) = lim= 1 = 1z→∞ z→∞ z n 1(a n+a n−1 z +···+a 0 1z n ) ∞ (a n))︁, = 0 ∞a proto je (viz větu 7.16) funkce F na C konstantní. To je však spor s definicífunkce F .Definice 7.18. Buď funkce f holomorfní v bodě z 0 ∈ C a buď p ∈ N. Řekneme, žez 0 je p – násobným kořenem (nebo p – násobným nulovým bodem) funkce f, je-lif(z 0 ) = f ′ (z 0 ) = f ′′ (z 0 ) = · · · = f (p−1) (z 0 ) = 0 ≠ f (p) (z 0 ).

54 Mocninné řady. Taylorovy řady.Věta 7.19. Nechť funkce f je holomorfní v bodě z 0 ∈ C a nechť f(z 0 ) = 0. Pakexistuje U(z 0 ) takové, že platí právě jedna z možností:(i) f je nulová na U(z 0 ),(ii) f(z) ≠ 0 pro každé z ∈ U(z 0 ) ∖ {z 0 }.Důkaz. Jak víme, z výše uvedených předpokladů vyplývá, že funkce f je na nějakémokolí bodu z 0 rovna součtu své Taylorovy řady (o středu z 0 ). Není-li tato řada nulová(tj. není-li f nulová na žádném okolí bodu z 0 ), existuje zřejmě p ∈ N takové, že z 0je p – násobným kořenem funkce f; tj. na nějakém okolí bodu z 0 platí:f(z) =∞∑︁n=pf (n) (z 0 )n!(z − z 0 ) n = (z − z 0 ) p∞∑︁n=pf (n) (z 0 )n!(z − z 0 ) n−p = (z − z 0 ) p φ(z),kde funkceφ(z) :=∞∑︁n=pf (n) (z 0 )n!(z − z 0 ) n−pje holomorfní (a proto spojitá) a nenulová v bodě z 0 . 1 Odtud plyne, že existujeU(z 0 ) takové, že funkce φ je nenulová v U(z 0 ), a proto∀z ∈ U(z 0 ) ∖ {z 0 } : f(z) = (z − z 0 ) p φ(z) ≠ 0.Ukažme si jeden důležitý důsledek věty 7.19.Věta 7.20. Nechť funkce f a g jsou holomorfní na oblasti Ω ⊂ C a nechť γ jetaková jednoduchá křivka v Ω, že f = g na ⟨γ⟩. Pak f = g na Ω.Cvičení 7.21. Dokažte pomocí věty 7.20, že pro každé z ∈ C platí:a) sin 2 z + cos 2 z = 1,b) sin(2z) = 2 sin z cos z,c) cos 2 z = 1+cos(2z)2, sin 2 z = 1−cos(2z)2,d) Re z > 0 ⇒ ln (z 2 ) = 2 ln z.1 φ(z 0 ) = f (p) (z 0)p!≠ 0

55Kapitola 8Laurentovy řady. Klasifikacesingulárních bodů.8.1 Laurentovy řadyDefinice 8.1. Laurentovou řadou o středu z 0 ∈ C rozumíme výraz tvaru∞∑︁n=−∞a n (z − z 0 ) n ,(♠)kde pro každé n ∈ {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } je a n ∈ C.Mocninnou řadu∞∑︁a n (z − z 0 ) nn=0nazýváme regulární částí Laurentovy řady (♠), funkční řadu∞∑︁a −n (z − z 0 ) −n =n=1∞∑︁n=1a −n1(z − z 0 ) nhlavní částí Laurentovy řady (♠).Řekneme, že Laurentova řada (♠) konverguje na množině Ω ⊂ C, konverguje-li naΩ její regulární i hlavní část. V takovém případě pak funkci f definovanou na Ωpředpisem f(z) := f 1 (z) + f 2 (z), kde f 1 resp. f 2 je součtem regulární resp. hlavníčásti Laurentovy řady (♠), nazýváme součtem Laurentovy řady (♠).Zabývejme se nyní konvergencí Laurentovy řady (♠); a podívejme se nejdříve nakonvergenci její hlavní části. Položíme-liξ = 1z − z 0,

56 Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů.bude∞∑︁ 1a −n(z − z 0 ) = ∑︁ ∞a n −n ξ n ,n=1kde řada napravo je mocninnou řadou o středu 0 („v proměnné“ ξ). Buď ρ jejípoloměr konvergence. Pak platí: 1n=1∑︀∙ je-li |ξ| < ρ, řada ∞ a −n ξ n konverguje absolutně,n=1∑︀∙ je-li |ξ| > ρ, řada ∞ a −n ξ n diverguje.n=1Definujeme-li číslotak z předchozích úvah plyne:∙ je-li |z − z 0 | > r, řada ∞ ∑︀⎧ 1, je-li 0 < ρ < +∞,⎪⎨ ρr := 0, je-li ρ = +∞,⎪⎩+∞, je-li ρ = 0,n=1∙ je-li |z − z 0 | < r, řada ∞ ∑︀n=1a −n1(z−z 0 ) na −n1(z−z 0 ) nkonverguje absolutně,diverguje.Nyní si označme R poloměr konvergence mocninné řady∞∑︁a n (z − z 0 ) n ,n=0tj. regulární části Laurentovy řady (♠). Nastane právě jedna z možností:r < R, r = R, r > R.i) Je-li r < R, konverguje Laurentova řada (♠) absolutně (a lokálně stejnoměrně)na mezikružíP (z 0 , r, R) := {z ∈ C : r < |z − z 0 | < R}a diverguje v každém bodě množiny1 Viz větu 7.3.{z ∈ C : |z − z 0 | < r nebo |z − z 0 | > R}.

8.1 Laurentovy řady 57Navíc se dá ukázat, že součet f Laurentovy řady (♠) je funkce holomorfní naP (z 0 , r, R) a že pro každé p ∈ N a z ∈ P (z 0 , r, R) platíf (p) (z) =∞∑︁n=−∞a nd p ((z − z 0 ) n )dz p .ii) Při rovnosti r = R Laurentova řada (♠) diverguje v každém bodě množiny{z ∈ C : |z − z 0 | ≠ r = R}.iii) V posledním z případů, tj. je-li r > R, neexistuje žádné z ∈ C, ve kterémLaurentova řada (♠) konverguje.Situace je podobná té z podkapitoly 7.1. Ukázali jsme, že součtem Laurentovyřady je (samozřejmě za předpokladu r < R) funkce holomorfní na mezikružíP (z 0 , r, R). Následující věta říká, že každá funkce holomorfní na mezikružíP (z 0 , r, R) je součtem jisté Laurentovy řady.Věta 8.2 (o rozvoji holomorfní funkce do Laurentovy řady).Nechť funkce f je holomorfní na P (z 0 , r, R), kde z 0 ∈ C a 0 ≦ r < R ≦ +∞.∞∑︀Pak existuje právě jedna Laurentova řada a n (z − z 0 ) n taková, že pro každéz ∈ P (z 0 , r, R) platíf(z) =∞∑︁n=−∞n=−∞a n (z − z 0 ) n .Navíc, je-li ρ libovolné reálné číslo takové, že r < ρ < R, platí pro koeficienty výšeuvedené Laurentovy řady (tzv. Laurentova rozvoje funkce f), žea n = 1 ∫︁f(z)dz,2πi (z − z 0 )n+1γkdeγ(t) := z 0 + ρ e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩(n ∈ {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }) .Příklad 8.3. Najděte Laurentův rozvoj funkcef(z) :=1(z − 1)(z − 2)na všech maximálních mezikružích se středem z 0 = 0, na nichž je f holomorfní.

58 Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů.Řešení. Laurentův rozvoj funkce f máme zřejmě najít na těchto třech mezikružích:P (0, 0, 1), P (0, 1, 2), P (0, 2, +∞).Nejdříve si uvědomme, že pro každé z ∈ C ∖ {1, 2} jef(z) = 1z − 2 − 1z − 1 .Nyní přistupme zvlášť k jednotlivým mezikružím.a) Protože platí implikace:|z| < 2 ⇒ 1 = − 1 z−2 211− z 2= − 1 2|z| < 1 ⇒ − 1z−1 = 11−z = ∞ ∑︀n=0z n ,∞∑︀ (︀ z n∞∑︀2)︀=n=0je pro každé z ∈ P (0, 0, 1) = {z ∈ C : 0 < |z| < 1} :f(z) =∞∑︁n=0(︂1 − 12 n+1 )︂z n .n=0− 12 n+1 z n ,(Všimněme si, že jsme našli – jak bylo lze čekat – Taylorovu řadu.)b) Již víme (viz část a), že pro každé z ∈ C takové, že 1 < |z| < 2, platíProtože navíc platí|z| > 1 ⇒ − 1z − 1 = −1 z∞1z − 2 = ∑︁− 12 n+1 zn .n=011 − 1 z= − 1 z∞∑︁(︂ )︂ n 1=zn=0je pro každé z ∈ P (0, 1, 2) = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} :f(z) =∞∑︁n=0− 12 n+1 zn +c) Z implikace uvedené v části b) a z pozorování|z| > 2 ⇒ 1z − 2 = 1 z11 − 2 z= 1 z∞∑︁n=1− 1z n .∞∑︁(︂ )︂ n 2=zn=0∞∑︁n=0∞∑︁n=0− 1z n+1 ,2 nz n+1snadno plyne, že pro každé z ∈ P (0, 2, +∞) = {z ∈ C : 2 < |z|} platíf(z) =∞∑︁n=1(︀2 n−1 − 1 )︀ 1z n .

8.2 Izolované singularity a jejich klasifikace 59Cvičení 8.4. Najděte Laurentův rozvoj funkcef(z) :=1(z − 1)(z − 2)na všech maximálních mezikružích se středem z 0 = 1, na nichž je f holomorfní.8.2 Izolované singularity a jejich klasifikaceDefinice 8.5. Bod z 0 ∈ C nazýváme izolovanou singularitou funkce f, jsou-lisplněny tyto dvě podmínky:(1) funkce f není holomorfní v bodě z 0 ,(2) existuje prstencové okolí P (z 0 ), na němž je f holomorfní.Je-li bod z 0 izolovanou singularitou funkce f, existuje číslo R ∈ R + takové, že f jeholomorfní na P (z 0 , R) = P (z 0 , 0, R), a proto a∀z ∈ P (z 0 , R) : f(z) =∞∑︁n=−∞a n (z − z 0 ) n .Podle počtu nenulových koeficientů hlavní části této Laurentovy řady rozlišme třipřípady:a) všechny koeficienty hlavní části jsou nulové (tj. a −n = 0 pro každé n ∈ N),b) existuje aspoň jeden ale nejvýše konečně mnoho nenulových koeficientů hlavníčásti (tzn. existuje n ∈ N takové, že a −n ≠ 0 a že pro každé k ∈ N, k > n, jea −k = 0),c) existuje nekonečně mnoho nenulových koeficientů hlavní části.Nastane-li případ a), nazýváme bod z 0 odstranitelnou singularitou funkce f, v případěb) se bod z 0 nazývá pólem (násobnosti n) funkce f b a za situace c) budemebodu z 0 říkat podstatná singularita funkce f.a Viz větu 8.2.b Pól násobnosti 1 nazýváme taky jednoduchým pólem.Věta 8.6. Buď z 0 ∈ C izolovanou singularitou funkce f. Pak platí:(i) z 0 je odstranitelnou singularitou funkce f právě tehdy, je-lilim f(z) ∈ C;z→z 0

60 Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů.(ii) z 0 je pólem funkce f (resp. pólem násobnosti n funkce f) právě tehdy,je-lilimz→z 0f(z) = ∞(︂resp. je-li)︂lim [(z − z 0 ) n f(z)] ∈ C ∖ {0} ;z→z0(iii) z 0 je podstatnou singularitou funkce f právě tehdy, jestliže limz→z0f(z) neexistuje.Věta 8.7 (Velká Picardova). Nechť z 0 ∈ C je podstatnou singularitoufunkce f. Pak f nabývá na libovolném prstencovém okolí bodu z 0 všech hodnotz C s výjimkou nejvýš jedné, tzn.(∀P (z 0 )) (∃z ∈ C) : C ∖ {z} ⊂ f (P (z 0 )) .8.3 Laurentova řada o středu ∞,klasifikace bodu ∞Definice 8.8. Laurentovou řadou o středu ∞ rozumíme výraz tvaru∞∑︁n=−∞a nz n ,(♠)kde pro každé n ∈ {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } je a n ∈ C.Mocninnou řadu∞∑︁a −n z nn=1nazýváme hlavní částí Laurentovy řady (♠), funkční řaduregulární částí Laurentovy řady (♠). a∞∑︁n=0a Všimněme si, že formálně není rozdíl mezi Laurentovou řadou o středu 0 a Laurentovouřadou o středu ∞. Chceme-li tyto dva případy rozlišit, je nutno udat střed řady nebo určit jejíhlavní resp. regulární část.a nz n

8.3 Laurentova řada o středu ∞, klasifikace bodu ∞ 61Podobně jako u Laurentových řad o středu z 0 ∈ C zavádíme pojem konvergenceLaurentovy řady o středu ∞ a jejího součtu; podobně bychom dospěli k mezikružíkonvergence – tentokrát tvaruP (∞, r, R) := {z ∈ C :1R < |z| < 1 r }.I zde platí: konverguje-li Laurentova řada (♠) na mezikruží P (∞, r, R) ≠ ∅, je součettéto řady na P (∞, r, R) holomorfní funkcí. Platí i analogie věty 8.2:Věta 8.9. Nechť funkce f je holomorfní na P (∞, r, R) ≠ ∅. Pak existuje právě∞∑︀jedna Laurentova řada taková, že pro každé z ∈ P (∞, r, R) platín=−∞a nz nf(z) =∞∑︁n=−∞Navíc, je-li ρ libovolné reálné číslo takové, že1R < ρ < 1 r ,a nz n .platí pro koeficienty výše uvedené Laurentovy řadya n = 1 ∫︁∫︁f(z) 1dz = f(z)z n−1 dz,2πi z−n+1 2πiγγkdeγ(t) := ρ e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩(n ∈ {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }) .Definice 8.10. Řekneme, že ∞ je izolovanou singularitou funkce f, existuje-liP (∞), na němž je f holomorfní.Je-li ∞ izolovanou singularitou funkce f, můžeme na nějakém P (∞) funkci frozložit v Laurentovu řadu o středu ∞; tzn.∀z ∈ P (∞) : f(z) =∞∑︁n=−∞Stejně jako u konečných izolovaných singularit i zde podle počtu nenulových koeficientůhlavní části této Laurentovy řady klasifikujeme bod ∞. Platí i analogie věty8.6:a nz n .

62 Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů.Věta 8.11. Buď ∞ izolovanou singularitou funkce f. Pak platí:(i) ∞ je odstranitelnou singularitou funkce f právě tehdy, je-lilim f(z) ∈ C;z→∞(ii) ∞ je pólem funkce f (resp. pólem násobnosti n funkce f) právě tehdy,je-lilimz→∞ f(z) = ∞(︂resp. je-lif(z)limz→∞ z n∈ C ∖ {0} )︂;(iii) ∞ je podstatnou singularitou funkce f právě tehdy, jestliže limz→∞f(z) neexistuje.

63Kapitola 9Rezidua. Reziduová věta9.1 Reziduum funkce a jeho výpočetDefinice 9.1. Buď z 0 ∈ C (resp. ∞) izolovanou singularitou funkce f a buď∞∑︁n=−∞a n (z − z 0 ) n(resp.∞∑︁n=−∞a nz n )Laurentův rozvoj funkce f na nějakém prstencovém okolí bodu z 0 (resp. ∞).Číslo a −1 (resp. −a 1 ) nazýváme reziduum funkce f v bodě z 0 (resp. ∞) a značímeres f(z 0 ) (resp. res f(∞)). aa Někdy budeme používat i značení:res f(z) (resp. res f(z)).z=z 0 z=∞Poznámka 9.2. Na místě je přirozená otázka, proč se číslo a −1 (resp. −a 1 ) nazývá„reziduum funkce“. 1 K odpovědi si stačí uvědomit, že za situace z výše uvedenédefinice platí 2res f(z 0 ) = 1 ∫︁f(z)dz = 12πi γ 2πi∫︁(resp. res f(∞) = − 12πiγ∫︁γ(︃∞∑︁n=−∞f(z)dz = − 12πia n (z − z 0 ) n )︃dz∫︁γ(︃∞∑︁n=−∞)︃a ndz).z n1 „Reziduum“ znamená „zbytek“ nebo „zůstatek“.2 Viz větu 8.2 (resp. větu 8.9).

64 Rezidua. Reziduová větaVěta 9.3. Platí:(i) Je-li z 0 ∈ C odstranitelnou singularitou funkce f, je res f(z 0 ) = 0. a(ii) Je-li funkce f holomorfní v bodě z 0 ∈ C a má-li funkce g v bodě z 0 jednoduchýpól, jeres (f(z)g(z)) = f(z 0 ) res g(z).z=z 0 z=z 0(iii) Jsou-li funkce f a g holomorfní v bodě z 0 ∈ C a je-li bod z 0 jednonásobnýmkořenem funkce g, b je (︂ )︂ f(z)res = f(z 0)z=z 0 g(z) g ′ (z 0 ) .(iv) Je-li bod z 0 ∈ C, resp. ∞ pólem násobnosti k funkce f, jeresp.res f(z) =z=z 0res f(z) =z=∞(︂1 dk−1(k − 1)! lim(︀f(z)(z − z0 ) k)︀)︂ ,z→z 0 dz k−1)︂(−1)kk+1(︂z(k + 1)! lim k+2 dz→∞ dz f(z) .k+1(v) Je-li funkce f holomorfní v C ∖ {z 1 , z 2 , . . . , z n }, kde z 1 , z 2 , . . . , z n(navzájem různé) izolované singularity funkce f, je∈ C jsoures f(∞) +n∑︁res f(z i ) = 0.i=1a Varovný příklad! Uvažujeme-li funkci f(z) := 1 z, je ∞ odstranitelnou singularitou funkcef, a přesto platí: res f(∞) = −1 ≠ 0.b Tzn. g(z 0 ) = 0 ≠ g ′ (z 0 ).Cvičení 9.4. Pokuste se o důkaz věty 9.3.Příklady 9.5. Vypočtěte(︂a) res z 2 sin 1 )︂,z=0 zb) resz= π 4c) resz=2πiz 3 sin zcos(2z) ,1(e z − 1) 2 .

9.2 Reziduová věta 65Řešení.Ad a)Pro každé z ∈ C ∖ {0} platía protoz 2 sin 1 z = z2∞∑︁n=0(−1) n 1(2n + 1)!(︂res z 2 sin 1 )︂= −1z=0 z 3!1z = ∑︁ ∞ 2n+1n=0= − 1 6 .(−1) n(2n + 1)!1z 2n−1 ,Ad b)Protože π 4je zřejmě jednonásobným kořenem funkceg(z) := cos(2z),je 1resz= π 4[︂ ]︂z 3 sin z z 3cos(2z) = sin z−2 sin(2z)z= π 4= −√2π3256 .Ad c)Protože 2πi je zřejmě pólem násobnosti 2 funkce, jejíž reziduum počítáme, je 2resz=2πi1(e z − 1) 2 = 1 1![︂ ]︂ (z − 2πi)2 ′lim= · · · = −1.z→2πi (e z − 1) 29.2 Reziduová větaVěta 9.6 (Reziduová). Nechť Ω ⊂ C je jednoduše souvislá oblast, nechť γ jejednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka v Ω a nechť funkcef je holomorfní na Ω ∖ {z 1 , z 2 , . . . , z n }, kde {z 1 , z 2 , . . . , z n } ∈ int γ jsou (navzájemrůzné) izolované singularity funkce f.Potom platí:∫︁n∑︁f(z)dz = 2πi res f(z i ) .γi=1Důkaz je snadným důsledkem definice rezidua a vět 5.10 a 8.2.1 Viz větu 9.3 – část (iii).2 Viz větu 9.3 – část (iv).

66 Rezidua. Reziduová větaPříklad 9.7. Vypočtětekde∫︁γz 2 sin1z + 1 dz,γ(t) := 2e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩.Řešení.Z reziduové věty plyne, že∫︁z 2 sinγ1dz = 2πi resz + 1 z=−1 z2 sin1z + 1 .Protože pro každé z ∈ C ∖ {−1} platí:z 2 sin1z + 1 = (︀ (z + 1) 2 − 2(z + 1) + 1 )︀ ∑︁∞n=0(−1) n(2n + 1)!1(z + 1) 2n+1 ,je 1 ∫︁γz 2 sin(︂)︂11dz = 2πi resz + 1 z=−1 z2 sinz + 1 = 2πi 1 (−1)1 + 0 + 1 (−1)0 = 5 3!1! 3 πi. 9.3 Výpočet integrálů funkcí reálné proměnnépomocí reziduové větya) Integrály typu ∫︀ 2π0R(sin x, cos x) dx,kde R : R 2 → R je racionální funkce dvou proměnných a integrovaná funkce (tj.funkce x ↦→ R(sin x, cos x)) je spojitá na intervalu ⟨0, 2π⟩.Zvolme substituciPak (zatím pouze formálně) dostaneme:e ix = z.a protosin x = z − 1 z2i∫︁ 2π0, cos x = z + 1 z2∫︁R(sin x, cos x) dx =, dz = e ix i dx, tj. dx = 1iz dz,γ(︂ z −1zR , z + 1 z2i 2)︂ 1dz, (9.1)iz1 Rozmyslete si podrobně!

9.3 Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty 67kdeγ(x) := e ix ,x ∈ ⟨0, 2π⟩.Správnost rovnosti (9.1), kterou jsme získali pouze „formálním dosazením“,plyne přímo z věty 5.5. Integrál vystupující napravo lze často spočítat pomocí reziduovévěty.Příklad 9.8.= − 2 i∫︁γ∫︁ 2πdx50 − cos x dx = 1 14∫︁γ 5− z+ 1 z iz dz =4 2(︂)︂dz(z − 2)(z − 1) = −2 112πi resi2z= 1 (z − 2)(z − 1) = −4π1− 2 = 8 3 π22 2(︀γ(x) = e ix , x ∈ ⟨0, 2π⟩ )︀ .b) Integrály typu∫︁ +∞−∞P (x)Q(x) dx,kde P, Q : R → R jsou polynomy, pro něž platí:∙ Q nemá reálný kořen,∙ stupeň polynomu Q je alespoň o 2 větší než stupeň polynomu P .Z výše uvedených předpokladů vyplývá, že∫︁∫︁P (z)k∫︁limk→+∞α kQ(z) dz = lim P (x)+∞k→+∞−k Q(x) dx = P (x)−∞ Q(x) dx,kdea žekdeProto platí∫︁ +∞−∞α k (t) := t, t ∈ ⟨−k, k⟩,∫︁P (z)lim dz = 0,k→+∞β kQ(z)β k (t) := ke it , t ∈ ⟨0, π⟩.∫︁P (x)Q(x) dx = lim P (z)k→+∞γ kQ(z) dz,

68 Rezidua. Reziduová větakde 1 γ k (t) :={︃αk (t + k), je-li t ∈ ⟨−2k, 0),β k (t),je-li t ∈ ⟨0, π⟩.Nyní uvažujme kruh U(0, r) ⊂ C tak velký, aby obsahoval všechny kořeny polynomuQ (takový jistě existuje!). Pak pro každé reálné číslo k > r platí∫︁∫︁P (z)γ kQ(z) dz =P (z)γ rQ(z) dz,a proto∫︁ +∞−∞∫︁∫︁P (x)Q(x) dx = lim P (z)k→+∞γ kQ(z) dz = P (z)γ rQ(z) dz.A teď aplikujme reziduovou větu:∫︁ +∞−∞∫︁P (x)Q(x) dx = P (z)γ rQ(z)dz = 2πi∑︁z k ∈C:Q(z k )=0,Im z k >0(︂ )︂ P (z)res .z=z k Q(z)Příklad 9.9.∫︁ +∞∫︁dx+∞−∞ (x 2 + 2x + 2) dx = dx2 −∞ ((x − (−1 + i)) (x − (−1 − i))) 2 dx =(︂)︂ ′1= 2πi resz=−1+i ((z − (−1 + i)) (z − (−1 − i))) 2 = 2πi lim 1z→−1+i (z − (−1 − i)) 2 =[︂1= 2πi −2(z − (−1 − i))]︂z=−1+i3 = π 2 .1 Namalujte si geometrické obrazy křivek α k , β k , γ k .

69Kapitola 10Příklady k procvičeníPříklad 10.1.Určete reálnou a imaginární část daného komplexního číslaa) z = (1 + i)(3 − 2i) ;b) z = 2−3i3+4i ;c) z = 1+i1−i ;d) z = 2i − 2−4i2.Příklad 10.2.Zapište dané komplexní číslo v goniometrickém tvarua) z = −1 + √ 3i ;b) z = i ;c) z = −8 ;d) z = −1 − √ 3i ;e) z = 2+i3−2i ;f) z = 3−i2+i .Příklad 10.3.Dokažte (matematickou indukcí) tzv. Moivrovu větu:(∀n ∈ N) (∀φ ∈ R) :(︀cos φ + i sin φ)︀ n= cos(nφ) + i sin(nφ).

70 Příklady k procvičeníPříklad 10.4.Buď φ ∈ R. Vyjádřete sin(4φ) a cos(4φ) pomocí sin φ a cos φ.Příklad 10.5.(︁Určete Re z a Im z, je-li z =1−i1+ √ 3i)︁ 24.Příklad 10.6.Určete Arg z a arg z, je-lia) z = (︀√ 3 + i )︀ 126;b) z = (1 + i) 137 ;c) z = −1 − 5i.Příklad 10.7.Znázorněte v Gaussově rovině množinua) {z ∈ C ∞ : Re z ≦ 1};b) {z ∈ C ∞ : Re (z 2 ) = 2};c) {z ∈ C ∞ : Im 1 z = 1 4 };d) {z ∈ C ∞ : |Im z| < 1};e) {z ∈ C ∞ : |z| = Re z + 1};f) {z ∈ C ∞ : |z − 2| = |1 − 2z|};g) {z ∈ C ∞ : ⃒ z−2⃒ = 1};z−3h) {z ∈ C ∞ : |1 + z| < |1 − z|};i) {z ∈ C ∞ : |z + 1| = 2|z − 1|};j) {z ∈ C ∞ : 2 < |z + 2 − 3i| < 4};k) {z ∈ C ∞ :π4 ≦ arg (z + 2i) ≦ π 2 };l) {z ∈ C ∞ : |z| + Re z ≦ 1 ∧ − π 2 ≦ arg z ≦ π 4 }.

71Příklad 10.8.Buď z 1 , z 2 ∈ C ∖ {0}. Dokažte následující implikace:a) φ }︂1 ∈ Arg z 1φ 2 ∈ Arg z 2b) φ }︂1 ∈ Arg z 1φ 2 ∈ Arg z 2⇒ φ 1 + φ 2 ∈ Arg (z 1 z 2 );⇒ φ 1 − φ 2 ∈ Arg(︁ )︁z 1z 2.Příklad 10.9.Rozhodněte, zda daná limita existuje, a pokud ano, vypočtěte jia) lim(3 − 4i) n ,b) lim (︀ (−1) n + i n)︀,c) lim(︁1+i √2)︁ n,(︁1−d) lim√ )︁ 6n3i2 .Příklad 10.10.Buď (z n ) posloupnost komplexních čísel. Dokažte následující tvrzení:a) z n → 0 ⇔ 1z n→ ∞;}︂|zb) n | → r ∈ R⇒ zarg z n → φ ∈ Rn → r (︀ cos φ + i sin φ )︀ ;a ukažte, že implikaci v tvrzení b) nelze obrátit.Příklad 10.11.Najděte všechna z ∈ C ∞ , pro která platía) z 3 = 1;b) z 2 = i;c) z 2 = 24i − 7;d) (︀ z−1z+1)︀ 2= 2i;

72 Příklady k procvičeníe) z 4 = −1;f) z 3 = i − 1;g) z 5 = 1;h) z 2 = −11 + 60i;i) z 2 = 3 + 4i.Příklad 10.12.Určete a znázorněte množinu M = { 1 z: z ∈ Ω}, je-lia) Ω = {z ∈ C : arg z = α}, α ∈ (−π, π⟩;b) Ω = {z ∈ C : |z − 1| = 1};c) Ω = {z ∈ C : Re z = Im z};d) Ω = {x + iy ∈ C : x = 1};e) Ω = {x + iy ∈ C : y = 0}.Příklad 10.13.Určete a znázorněte množinu M = {f(z) : z ∈ Ω}, je-lia) Ω = {z ∈ C : |arg z| ≦ π}, f(z) := 6 z2 ;b) Ω = {z ∈ C : |Im z| < π}, f(z) := 2 ez ;c) Ω = {z ∈ C : 0 < Re z < π ∧ Im z > 0}, f(z) := e iz ;d) Ω = {z ∈ C : Im z = 1}, f(z) := 2 z2 .Příklad 10.14.Vypočtětea) sin(2 − 3i);b) cos i;c) cosh i;d) Ln (−5 + 3i) a ln(−5 + 3i);

73e) Ln (−4 − √ 3i) a ln(−4 − √ 3i);f) Ln (ie 2 ).Příklad 10.15.Najděte všechna z ∈ C, pro která platía) sin z = 3;b) cos z = √ 32 ;c) sin z + cos z = 2;d) sin z − cos z = 3;e) z 2 + 2z + 9 + 6i = 0.Příklad 10.16.Vypočtětea) 2 i ;b) (−2) √2 ;c)(︁ )︁1−i 1+i;√2d) i 3 4 ;e) (−1) √3 ;f) (− √ 3i + 1) −3 .Příklad 10.17.Najděte reálnou a imaginární část funkce f : C → C definované předpisema) f(z) := sin z;b) f(z) := z 2 cos z;c) f(z) := z 3 + 5z − 1;d) f(z) := |z| z;

74 Příklady k procvičeníe) f(z) := z 2 z;f) f(z) := 1 z .Příklad 10.18.Zjistěte, zda je funkce f(z) := z 3 prostá na množině Ω, je-lia) Ω = {z ∈ C : Re z > 0};b) Ω = {z ∈ C : arg z ∈ ⟨0, π 4 )}.Příklad 10.19.Určete, zda existuje daná limita, a pokud ano, vypočtěte jia) limz→0Re zz ;b) limz→0Im (z 2 )zz;c) limz→0zIm z|z|;zd) lim2;z→0 |z| 2ze) lim3;z→0 |z| 2zf) lim2 +z(2−i)−2i;z→i z 2 +1g) limz→0Re z1+|z| .Příklad 10.20.Znázorněte množinu ⟨φ⟩ := {φ(t) : t ∈ Dφ}, je-lia) φ(t) := 1 − it, Dφ = ⟨0, 2⟩;b) φ(t) := t − it 2 , Dφ = ⟨−1, 2⟩;c) φ(t) := 1 + e −it , Dφ = ⟨0, 2π⟩;d) φ(t) := e 2it − 1, Dφ = ⟨0, 2π⟩;

75e) φ(t) :=f) φ(t) :={︃e iπt , t ∈ ⟨0, 1⟩,t − 2, t ∈ ⟨1, 3⟩;{︃e it , t ∈ ⟨− π 2 , π⟩,3tπ− 4, t ∈ ⟨π, 2π⟩.Příklad 10.21.Parametrizujte množinu Ω (tzn. najděte křivku φ : R → C takovou, aby ⟨φ⟩ = Ω),je-lia) Ω = {z ∈ C : |z − 2 + 3i| = 2};b) Ω úsečka s krajními body a, b ∈ C, a ≠ b;c) Ω = {z ∈ C : Re z = 2 Im z};d) Ω = {z ∈ C : Re (︀ 1z)︀= 2}.Příklad 10.22.Znázorněte množinu Ω a rozhodněte, zda je Ω oblastí a zda je Ω otevřenou množinou,je-lia) Ω = {z ∈ C : |z − i| < 1 ∨ |z + i| < 1};b) Ω = {z ∈ C : |z − 1| < 1 ∧ |z − 2| < 2};c) Ω = {z ∈ C : |z − 1| < |z + 1|};d) Ω = {z ∈ C : |z + 1| > 2|z|};e) Ω = {z ∈ C : 1 < |z| < 2};f) Ω = {︀ z ∈ C : |z| < 1 ∧ arg z ∈ (−π, π⟩ ∖ {0} }︀ ;g) Ω = {z ∈ C : |2z| < |1 + z 2 |}.Příklad 10.23.Zjistěte, ve kterých bodech má funkce f derivaci a ve kterých bodech je funkce fholomorfní, je-lia) f(z) := Re z;

76 Příklady k procvičeníb) f(z) := |z 2 |;c) f(z) := ze z ;d) f(z) := z|z|;e) f(z) :=Re zz ;f) f(z) := z 2 z;g) f(z) := z 2 + 2z − 1.Příklad 10.24.Zjistěte, zda je funkce Φ harmonická na oblasti Ω, je-lia) Φ(x, y) := x 2 − y 2 + 2011, Ω = C;b) Φ(x, y) := xx 2 +y 2 + x 2 − y 2 + x − y, Ω = C ∖ {0}.Příklad 10.25.Najděte (existuje-li) na oblasti Ω holomorfní funkci f = u + iv, je-lia) u(x, y) := x 3 − 3xy 2 − 2y, Ω = C;b) u(x, y) := xx 2 +y 2 , Ω = C ∖ {0};c) u(x, y) := 3x 2 − y 2 + 3x + y, Ω = C;d) u(x, y) := x 2 − y 2 + 5x + y − yx 2 +y 2 , Ω = C ∖ {0}.Příklad 10.26.Buď u(x, y) := x 3 − 3xy 2 − 2y + 2. Najděte (existuje-li) na C holomorfní funkcif = u + iv, pro niž platía) f(0) = i;b) f(1) = 3 − i.

77Příklad 10.27.Najděte (existuje-li) na oblasti Ω holomorfní funkci f = u + iv, je-lia) v(x, y) := −3xy 2 + x 3 + 5, Ω = C;b) v(x, y) := arctg y , Ω = {z ∈ C : Re z > 0}.xPříklad 10.28.Buď v(x, y) := 1 + arctg y . Najděte (existuje-li) na oblasti {z ∈ C : Re z > 0}xholomorfní funkci f = u + iv, pro niž platía) f(3) = ln 3 + 6 + i;b) f(e) = 1 − i.Příklad 10.29.Dokažte, že je funkcev(x, y) := ln(x 2 + y 2 )harmonická na (dvojnásobně souvislé) oblasti C ∖ {0}, a že přesto neexistujefunkce u : R 2 → R taková, aby funkce f := u + iv byla holomorfní na C ∖ {0}.Příklad 10.30.Určete úhel otočenía koeficient roztažnosti funkce f v bodě z 0 , je-lia) f(z) := e z , z 0 = −1 − π 2 i;b) f(z) := z 3 , z 0 = −3 + 4i;c) f(z) := z+iz−i , z 0 = 2i.Příklad 10.31.Určete, ve kterých bodech Gaussovy roviny dochází při daném zobrazení kekontrakcia) f(z) := 2 z ;b) f(z) := ln(z + 4).

78 Příklady k procvičeníPříklad 10.32.Znázorněte množiny Ω a f(Ω) = {f(z) : z ∈ Ω}, je-li 1a) Ω = U(1, 2), f(z) := 1 − 2iz;b) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := (1 + i)z + 1;c) Ω = U(1, 2), f(z) := 1 z ;d) Ω = U(1, 2), f(z) := 2izz+3 ;e) Ω = U(1, 2), f(z) := z−12z−6 ;f) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := 1 z ;g) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := zz−1+i ;h) Ω = {z ∈ C : Re z < 1}, f(z) := zz−2 ;i) Ω = {z ∈ C : Re z < 0 ∧ Im z < 0}, f(z) := 1 z ;j) Ω = {z ∈ C : Re z > 0 ∧ Im z > 0}, f(z) := z−1z+1 ;k) Ω = {z ∈ C : −1 < Re z < 0 ∧ Im z < 0}, f(z) := z−iz+i ;l) Ω = {z ∈ C : |z| < 1 ∧ Re z < 0 ∧ Im z > 0}, f(z) := zz−i .Příklad 10.33.Najděte lineární lomenou funkci f takovou, abya) f(−1) = 0, f(i) = 2i, f(1 + i) = 1 − i;b) f(i) = ∞, f(6) = 0, f(∞) = 3;c) f(0) = i, f(i) = 0, f(−1) = −i.Příklad 10.34.Najděte lineární funkci, která zobrazí čtverec s vrcholy 0, 1 − i, 2, 1 + i na čtverecs vrcholy 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i.1 Nápověda k některým z níže uvedených příkladů. Uvědomte si (a dokažte), že platí tvrzení:}︃f je konformní na oblasti Ω ⊂ C ∞ ,A, B ⊂ Ω⇒ f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

79Příklad 10.35.BuďΩ = {z ∈ C : Re z > Im z}.Najděte lineární lomenou funkci f takovou, aby f(Ω) = U(0, 1).Příklad 10.36.Najděte konformní zobrazení, které zobrazí oblast{z ∈ C : |z| < 1 ∧ Re z > 0}na oblast{z ∈ C : Im z > 0}.Příklad 10.37.BuďΩ = {z ∈ C : Re z > 0 ∧ Im z < 0}.Najděte lineární lomenou funkci f takovou, abyf(Ω) = {z ∈ C : |z| < 1 ∧ Re z < 0}.Příklad 10.38.Najděte konformní zobrazení, které zobrazí oblast{z ∈ C : Re z > Im z > 0}na oblast U(0, 1).Příklad 10.39.Nalezněte obrazy přímek rovnoběžných s reálnou resp. imaginární osou při zobrazeníf(z) := 1 (přímky uvažujte včetně bodu ∞).zPříklad 10.40.Nalezněte obrazy množinM α = {z ∈ C : arg z = α},N r = {z ∈ C : |z| = r},kde α ∈ (−π, π⟩, r ∈ R + , při zobrazení f(z) := ln z.

80 Příklady k procvičeníPříklad 10.41.Vypočtěteje-li∫︁|z| dz,γ⎧3e⎪⎨it , t ∈ ⟨0, π⟩,2γ(t) := i (︀ 3 + π − t)︀ , t ∈ ⟨ π, π + 3⟩,2 2 2⎪⎩t − π − 3, t ∈ ⟨ π + 3, π + 6⟩.2 2 2Příklad 10.42.Vypočtěteje-li∫︁γz 3 dz,⎧e⎪⎨it , t ∈ ⟨− π, π⟩, 23γ(t) := t − 4, t ∈ ⟨π, 2π⟩,π⎪⎩t + 6 + 2i, t ∈ ⟨2π, 3π⟩.− 2+iπPříklad 10.43.Vypočtěte∫︁γ|z|z dz,je-li γ taková jednoduchá uzavřená po částech hladká a kladně orientovaná křivka,že ⟨γ⟩ je hranicí množiny{z ∈ C : |z| < 2 ∧ Im z > 0}.Příklad 10.44.Vypočtěte pomocí Cauchyho integrálních vzorců daný integrál 1a)∫︁kz 2 + izdz, kde k = {z ∈ C : |z − 2i| = 1};1 Úmluva. Symbolem ∫︀ k f(z) dz, kde k ⊂ C, rozumíme ∫︀ f(z) dz, kde γ je taková jednoducháγuzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka, že ⟨γ⟩ = k.

81b) ∫︁c) ∫︁d) ∫︁e) ∫︁kksin zdz, kde k = {z ∈ C : |z + i| = 1};z + isin zdz, kde k = {z ∈ C : |z| = 3};z 2 − 7z + 10kksin zdz, kde k = {z ∈ C : |z| = 3};(z − 2i)3cos zdz, kde k = {z ∈ C : |z| = 4};z 2 − π2 f)∫︁ke 1 zdz, kde k = {z ∈ C : |z − 2| = 1};(z 2 − 4)2g)∫︁γe z cos(πz)z 2 + 2z dz, kde γ(t) := 3 2 eit , t ∈ ⟨0, 2π⟩;h)∫︁γdz(z 2 − 1) 3 ,−2 + e−4πitkde γ(t) := , t ∈ ⟨0, 4⟩;2i) ∫︁γdz(1 − z)(z + 2)(z − i) 2 ,kde γ je taková jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka,že −2 ∈ int γ, i ∈ int γ, 1 ∈ ext γ.Příklad 10.45.Vypočtětea) ∫︀ 1+i0e z dz;b) ∫︀ 1+i0z 3 dz;c) ∫︀ i0 z2 sin z dz;d) ∫︀ iz sin z dz.0

82 Příklady k procvičeníPříklad 10.46.Rozhodněte, zda daná řada konvergujea) ∞ ∑︀n=1b) ∞ ∑︀n=1c) ∞ ∑︀n=1i nn2 n ;n(1 + i) n ;3 n(−i) n3n−17 .Příklad 10.47.Určete obor konvergence dané řady 1a) ∞ ∑︀n=1b) ∞ ∑︀n=11n 2 (︀ z+1z−1)︀ n;(︁z nn!+ n2z n )︁.Příklad 10.48.Určete poloměr konvergence dané mocninné řadya) ∞ ∑︀n=1z nn 2011 ;∑︀b) ∞ n n (z − 1) n ;n=1c) ∞ ∑︀n=1d) ∞ ∑︀n=0e) ∞ ∑︀n=13 n (z−1) n√(3n−2)2 n ;(z+1+i) n3 n (n−i) ;n nn! zn ;∑︀f) ∞ (︀ )︀cos(in) z n ;n=01 Tzn. najděte všechna z ∈ C , pro která daná řada konverguje.

83∑︀g) ∞ (n 2 − n − 2)z n ;n=0h) ∞ ∑︀n=0z n(n+8)! .Příklad 10.49.Najděte součet dané mocninné řady v kruhu konvergence∑︀a) ∞ nz n ;n=1b) ∞ ∑︀n=1c) ∞ ∑︀n=0d) ∞ ∑︀n=1z n n ;z 2n+12n+1 ;n+1 zn(−1)n+1 ;∑︀e) ∞ (n 2 − n − 2)z n .n=0Příklad 10.50.Najděte součet dané řadya) ∞ ∑︀n=1b) ∞ ∑︀n=11;n2 n(−1) nn2 n .Příklad 10.51.Najděte Taylorovu řadu funkce f o středu z 0 a určete její poloměr konvergence, je-lia) f(z) := z+1z 2 +4z−5 , z 0 = −1;b) f(z) := zz 2 +i , z 0 = 0;c) f(z) := ln 1+z1−z , z 0 = 0;d) f(z) := e 3z−2 , z 0 = 1;

84 Příklady k procvičeníe) f(z) := sin(3z 2 + 2), z 0 = 0;f) f(z) := 1(z−1) 3 , z 0 = 3;g) f(z) := sin 2 z, z 0 = 0.Příklad 10.52.Určete obor konvergence dané Laurentovy řady 1a)b)∞∑︀n=−∞∞∑︀n=−∞2 −|n| z n ;(z−i) nn 2 +1 .Příklad 10.53.Najděte Laurentovu řadu funkce f na daném „mezikruží“a) f(z) :=cos zz 2 , 0 < |z| < 1;b) f(z) := 1 , |z| > 1;z 2 +1c) f(z) := z2 +1, 1z(z−i) 2d) f(z) := 12z−5 , |z| > 5 2 ;< |z − i| < 1;e) f(z) := 1 , 1 < |z − 2| < 2;z(z−2)f) f(z) := z(z 2 +1) 2 , 0 < |z − i| < 2;g) f(z) :=z−sin zz 4 , 0 < |z| < ∞;h) f(z) := z+2 , 2 < |z − 1| < ∞;z 2 −4z+3i) f(z) := 1z(z−3) 2 , 1 < |z − 1| < 2.Příklad 10.54.Najděte Laurentův rozvoj funkce f na všech „maximálních mezikružích“ se středemz 0 , na nichž je f holomorfní, je-li1 Tzn. najděte všechna z ∈ C , pro která daná řada konverguje.

85a) f(z) := z2 −z+3z 3 −3z+2 , z 0 = 0;b) f(z) := z+1 , zz 2 0 = 1 + i.Příklad 10.55.Určete typ každé z izolovaných singularit funkce f, je-lia) f(z) := z 5 + 4z 3 − 2 + 2 z + 3z 2 ;b) f(z) := z2 −4z−2 ;c) f(z) := 1z−z 3 ;d) f(z) := z4z 4 +1 ;e) f(z) := ezz 2 +4 ;f) f(z) := z2 +4e z ;g) f(z) := 1−ez2+e z ;h) f(z) := e 1z 2 ;i) f(z) :=1(z−3) 2 (2−cos z) ;j) f(z) := zsin z ;k) f(z) := z 2 sin zz+1 ;l) f(z) :=1−cos zsin 2 z .Příklad 10.56.Dokažte l’Hospitalovo pravidlo:Nechť funkce f a g jsou holomorfní a nekonstantní na nějakém prstencovém okolíbodu z 0 ∈ C a nechť lim f(z) = lim g(z) = 0.z→z0 z→z0Potom platíf(z)limz→z 0 g(z) = lim f ′ (z)z→z 0 g ′ (z) .Příklad 10.57.Vypočtěte reziduum funkce f ve všech jejích izolovaných singularitách, je-li

86 Příklady k procvičenía) f(z) := 1z+z 3 ;b) f(z) := z2(1+z) 3 ;c) f(z) := 1(z 2 +1) 3 ;d) f(z) := z3 +1z−2 ;e) f(z) :=1z 6 (z 2 +1) 2 ;f) f(z) := tg z;g) f(z) := 1sin z ;h) f(z) := cotg 3 z;i) f(z) := sin z sin 1 z ;j) f(z) := sin(πz)(z−1) 3 .Příklad 10.58.Vypočtěte pomocí reziduové věty daný integrála)∫︁γcos zz 3 dz, kde γ(t) := 3e it , t ∈ ⟨0, 2π⟩;b)∫︁γ1z + 2 cos 1 z dz,kde γ(t) := 18eit , t ∈ ⟨0, 2π⟩;c)d)∫︁∫︁kkz 3dz, kde k = {z ∈ C : |z| = 2};z 4 − 1z 3z + 1 e 1 z dz, kde k = {z ∈ C : |z| = 2};e)∫︁γz sin z + 1z − 1 dz,kde γ(t) := 2e−it , t ∈ ⟨0, 6π⟩;

87f)∫︁γe πz2z 2 − i dz,kde γ je taková jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka,žeint γ = {z ∈ C : |z| < 1 ∧ 0 < arg z < π 2 };g)∫︁kdz, kde k = {z ∈ C : |z| = 2}.z 5 (z 10 − 2)Příklad 10.59.Vypočtěte pomocí reziduové věty daný integrál 1a)b)c)d)e)f)g)∫︁ π∫︁ ∞−∞−π∫︁ ∞0∫︁ ∞0∫︁ π−π∫︁ 2π0dx5 + 3 cos x ;x 2 dxx 4 + 6x 2 + 25 ;x 4 + 1x 6 + 1 dx;x 2(x 2 + 1) 3 dx;cos x3 + 2 sin x dx;cos 2 (2x)5 − 4 cos x dx;∫︁ ∞−∞dx1 + x 6 ;1 Uvedené integrály je třeba chápat jako „reálné“ integrály z funkce reálné proměnné.

88 Příklady k procvičeníh) ∫︁ ∞−∞dxx 2 + x + 1 .

89Literatura[1] J. Bouchala, O. Vlach Křivkový a plošný integrál, http://mi21.vsb.cz/, 2011.[2] J. Bouchala, P. Vodstrčil: Řady, http://mi21.vsb.cz/, 2011.[3] I. Černý: Analýza v komplexním oboru, Academia, Praha, 1983.[4] I. Černý: Základy analysy v komplexním oboru, Academia, Praha, 1967.[5] M. Dont, B. Opic: Matematická analýza III – úlohy, skripta ČVUT, Praha,1989.[6] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, R. Šulka: Zbierka úloh z vyššej matematiky 4,Alfa, Bratislava, 1979.[7] P. Galajda, Š. Schrötter: Funkcie komplexnej premennej a operátorový počet,Alfa, Bratislava, 1991.[8] I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika II., SVTL, Bratislava, 1965.[9] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus,Praha, 1995.[10] J. Veselý: Komplexní analýza pro učitele, Karolinum, Univerzita Karlova, Praha,2001.

90Rejstříkčíslo komplexně sdružené, 1číslo komplexní, 1absolutní hodnota, 1argument, 3hlavní hodnota argumentu, 4imaginární část, 1reálná část, 1derivace funkcev bodě, 20vyššího řádu, 23funkcen-tá odmocnina, 13exponenciální, 9vlastnosti, 10goniometrické, 10vlastnosti, 10harmonická, 23harmonicky sdružené, 24hlavní hodnota logaritmu, 12holomorfnína množině, 20v bodě, 20hyperbolické, 11jednoznačná, 8koeficient roztažnosti v bodě, 26komplexníimaginární část, 14komplexní proměnné, 8reálná část, 14reálné proměnné, 8konformnína množině, 27v bodě, 27kořen, 53p-násobný kořen, 53lineární, 28lineární lomená, 28logaritmická, 11mnohoznačná, 8jednoznačná větev, 9mocninné, 12vlastnosti, 13nekonečněznačná, 8omezená, 52primitivní, 36úhel otočení v bodě, 26integrálfunkce komplexní proměnné, 31funkce reálné proměnné, 30komponenta množiny, 19kruh konvergence mocninné řady, 46kružnicezobecněná, 28křivka, 17geometrický obraz, 17v C, 17v C ∞ , 17v R 2 , 17limitafunkce komplexní proměnné, 15funkce reálné proměnné, 17posloupnosti, 6posloupnosti funkcíbodová, 43stejnoměrná, 43mezikruží konvergence Laurentovy řady,56

Rejstřík 91množinaotevřená, 5parametrizace, 17souvislá, 18uzávěr, 18uzavřená, 18množinykonformně ekvivalentní, 27oddělené, 18nekonečno, 4operace s ∞, 5nezávislost integrálu na cestě, 37oblast, 19n–násobně souvislá, 19jednoduše souvislá, 19obor konvergence mocninné řady, 47okolí bodu, 5prstencové, 5podmínkyCauchyho–Riemannovy, 21poloměr konvergence mocninné řady,46posloupnostčástečných součtů řady, 40komplexních čísel, 6konvergentní, 6omezená, 7reziduum funkce, 63rovinaGaussova, 2rozšířená Gaussova, 4řadakomplexních čísel, 40absolutně konvergentní, 41divergentní, 40konvergentní, 40neabsolutně konvergentní, 41součet, 40komplexních funkcí, 44bodově konvergentní, 44Laurentova, 55Laurentova-hlavní část, 55Laurentova-regulární část, 55mocninná, 45stejnoměrně konvergentní, 44Taylorova, 51singularita funkceizolovaná, 59odstranitelná, 59podstatná, 59póljednoduchý, 59násobnosti n, 59součet řady, 40spojitost funkce komplexní proměnné,16na množině, 16v bodě, 16spojitost funkce reálné proměnné, 17na množině, 17v bodě, 17větaAbelova, 46, 50Cauchyho, 32Cauchyho integrální vzorce, 34Jordanova, 30Liouvillova, 52Morerova, 37o konvergenci geometrické řady, 42o konvergenci řadyBolzanova–Cauchyho podmínka,41Cauchyho kritérium, 42d’Alembertovo kritérium, 42integrální kritérium, 42Leibnizovo kritérium, 42nutná podmínka, 41srovnávací kritérium, 41o rozvoji do Laurentovy řady, 57,61o rozvoji do Taylorovy řady, 51reziduová, 65

92 Rejstříkvelká Picardova, 60Weierstrassova, 44Základní věta algebry, 53zobecněná Cauchyho, 33zobecněná Cauchyho pro vícenásobněsouvislou oblast, 33vnějšek křivky, 30vnitřek křivky, 30vzorecEulerův, 10