PDF 349KB - Univerzitet u Novom Sadu

♣♦♥♠- konačna verzija -

MEROZNAČNA I APROKSIMATIVNA REŠENJAZAKONA ODRŽANJAseminarski radna drugoj godinipostdiplomskih studija iz matematičke analizePMF Novi Sad, Departman za matematiku i informatikustudent: Jelena AleksićKomisija za odbranu rada:1. Prof. Stevan Pilipović2. Prof. Marko NedeljkovNovi Sad, februar 2005.

Sadržaj1. Uvod 41.1. Održiv i neodrživ oblik sistema PDJ 41.2. Usrednjena superpozicija 51.3. Koncepti rešenja 61.4. Pregled rada 82. Meroznačna rešenja 142.1. Slaba i jaka konvergencija 142.2. Young-ova mera 212.3. Meroznačna rešenja - definicija 282.4. Parabolična aproksimacija 312.5. Skalarni zakon održanja 333. Aproksimativna rešenja zakona održanja i ekvivalencija sakonceptom meroznačnih rešenja 393.1. G s (Ω)-osnovni pojmovi 393.2. Ekvivalencija aproksimativnih i meroznačnih rešenja 44Dodatak A. O Radonovim merama 48Dodatak B. O funkcijama i merama ograničene varijacije 49B.1. BV funkcije 49B.2. BV loc 49B.3. BV mere 49Dodatak C. O kompenzovanoj kompaktnosti 51Literatura 52

6 UvodOva definicija odgovara uobičajenom množenju funkcija. Naime, svakojintegrabilnoj funkciji g(x) možemo dodeliti meru∫µ(E) := g(x) dx.Tada (4) dobija značenje∫λ(E) :=EEf(x)g(x) dx,i u potpunosti se slaže sa uobičajenim množenjem funkcija. Dalje,neka je f(x) neprekidna funkcija i u(x) = (u 1 (x), ..., u p (x)) vektorskafunkcija definisana na G ⊂ R n . Neka je f(u(x)) uobičajena superpozicija.Za x kažemo da je regularna tačka od u(x) i a definicioni vektor,ako postojiu a (x) := lim u(y),y→x, y∈Π a (x)gde je Π a (x) = {y : (y − x, a) ≥ 0}. U tom slučaju možemo definisatiusrednjenu superpoziciju kao¯f(u(x)) ==∫ 10∫ 10f(u a (x)t + u −a (x)(1 − t)) dt(f(lim u(y)) t + ()lim u(y)) (1 − t) dt.y→x, y∈Π a(x) y→x, y∈Π −a (x)Više o ovoj teoriji može se naći u [vh]. Za naš rad, potrebna nam jeVol’pert-ova usrednjena superpozicija u dva slučaja:1. Ako je v neprekidna funkcija, onda se usrednjena superpozicijasvodi na uobičajenu superpoziciju funkcija, tj. ¯h(v) = h(v), a proizvod¯h(v)∂ x w je proizvod mere i neprekidne funkcije.2. Ako su v, w funkcije skoka, tj.tada je proizvod¯h(v)∂ x w =v(x, t) = v l + (v r − v l )H(x − ct),w(x, t) = w l + (w r − w l )H(x − ct),∫ 10h(v l + α(v r − v l )) dα · (w r − w l )δ(x − ct).1.3. Koncepti rešenja. Dosadašnja priča navodi da posmatramo dvakoncepta rešenja: koncept meroznačnih rešenja, za koji je najzaslužnijiR.DiPerna 1 , i koncept aproksimativnih rešenja u algebrama uopštenihfunkcija J.F.Colombeau-a. Ova dva koncepta su ekvivalentna u smislu1 Ipak moramo pored DiPerne navesti i još neka imena kao što su Tartar, Ball,Murat...

Uvod 7da svako rešenje, ograničeno na odred¯eni način, u smislu jednog oddva koncepta, indukuje rešenje u drugom konceptu. Kako smo u prvomseminarskom radu proučili aproksimativna rešenja, cilj ovog seminarskograda je proučavanje mv-rešenja i uspostavljanje relacija izmed¯uova dva koncepta rešenja.Neka je Ω otvoren podskup od R n . Posmatrajmo skalarni zakonodržanjan∑ ∂(5) div f(u) ≡ f j (u) = 0,∂x jj=1gde je f = (f 1 , ..., f n ) : R → R n glatka funkcija i u : Ω → R. Takod¯eposmatrajmo i perturbovanu jednačinu (5),(6) div f(u) = εL(u),gde je L linearan parcijalni diferencijalni operator sa glatkim koeficijentimai ε > 0. Jednačina (5) biće hiperbolični zakon održanja, a (6)njegova parabolična aproksimacija. Za njihova rešenja zahtevaćemo dabudu ograničena u odgovarajućem konceptu.Meroznačna (kraće mv-) rešenja koristiće za rešavanje problema konvergencijeu problemu (6). Najvažnije osobine su sledeće:(i) Ako je u ∈ L ∞ (Ω) slabo rešenje jednačine (5), tada je familijaDirac-ovih mera {δ u(x) } x∈Ω meroznačno rešenje.(ii) Ako je (u ε ) ε>0 ograničen niz rešenja jednačine (6), tada je asociranaYoung-ova mera mv-rešenje.Uopštena rešenja su rešenja u diferencijalnim algebrama koje sadržedistribucije i kao podalgebru imaju algebru glatkih funkcija. Mi ćemoraditi sa verzijom G s (Ω) čiji elementi su klase ekvivalencije nizova glatkihfunkcija na Ω. Kako su predstavnici elemenata iz G s (Ω) nizovi glatkihfunkcija, u G s (Ω) jednačina (5) može da se interpretira kao(7)n∑j=1f ′ j(u) ∂u∂x j= 0.Svi izvodi i operacije su u smislu G s (Ω). u ∈ G s (Ω) koje zadovoljavajednačinu (7) zvaćemo jako rešenje. Napomenimo još da ovaj konceptfunkcioniše i za neodržive sisteme. Ipak, ovaj koncept ima i svojihmana. Naime, ova stroga formulacija ne dozvoljava prekidna rešenja.Razlog tome je što različite održive forme od (7) mogu biti ekvivalentneu G s (Ω), a mogu implicirati različite uslove skoka (uslove na

8 Uvodliniji prekida). Iz tih razloga se koristi asociranost, ≈, umesto jednakosti.Naime, dva elementa u, v iz G s (Ω) su asocirani ako i samo akorazlika nizova njihovih predstavnika u ε − v ε konvergira slabo ka nuli.To je nova relacija ekvivalencije, grublja od one koja definiše faktoralgebru G s (Ω). Dve distribucije su asocirane u G s (Ω) ako i samo akosu jednake.u ∈ G s (Ω) koje zadovoljava jednačinu (7) u kojoj je jednakost zamenjenaasociranošću, zvaćemo aproksimativno rešenje, tj. u ∈ G s (Ω)je aproksimativno rešenje ako zadovoljava(8)n∑j=1f ′ j(u) ∂u∂x j≈ 0.Svako jako rešenje je aproksimativno. Ako je u ∈ L ∞ slabo rešenjejednačine (5), kao element iz G s (Ω), u je aproksimativno rešenje. Akoniz (u ε ) ε>0 koji je predstavnik nekog u ∈ G s (Ω), zadovoljava (6), ondaje u aproksimativno rešenje.J.F.Colombeau i M.Oberguggenberger pokazali su ekvivalenciju ovadva koncepta rešenja u sledećem smislu:(1) Ako je u ∈ G s (Ω) aproksimativno rešenje, u odred¯enom smislu,tada je Young-ova mera koja se dobija iz (u ε ) ε>0 predstavnika od u,mv-rešenje za (5).(2)Ako je µ mv-rešenje za (5), tada se može naći niz glatkih funkcija,koji ima µ kao Young-ovu meru, a koji je predstavnik uopštene funkcijeu ∈ G s (Ω), tako da je u aproksimativno rešenje.Napomenimo da, u ovom kontekstu, do sada nisu posmatrani početniproblemi zakona održanja, kao ni pitanje jedinstvenosti. Takod¯e poboljšanjegore pomenutih rezultata može se odvijati u smeru zamene L ∞ -ograničenja, L p -ograničenjima, uz pojačanje uslova rasta funkcije f.1.4. Pregled rada. Sada ćemo ukratko opisati sadržaj ovog seminarskograda.Potsetimo se, pojam zakon održanja govori da je brzina promenetotalne količine supstance sadržane u nekom fiksiranom domenu Gjednaka njenom fluksu na rubu domena G. Ako gustinu te supstanceoznačimo sa u, fluks sa f, zakon održanja je jednačina(9)ddt∫G∫udx = −∂Gf · ndS,

Uvod 9gde je n spoljašnja normala na G, a dS element površine ∂G. Kadaprimenimo teoremu o divergenciji na desnu stranu jednačine (9) i diferenciramopod integralom sa leve strane, dobijamo∫ ∫u t dx = − divfdx,odnosno,G∫GG(u t + divf)dx = 0.Ako su svi parcijalni izvodi od u i f neprekidni, dobijamo zakon održanjau divergentnom oblikuu t + divf = 0.Zakon održanja i njegove regularizacijeSistem u održivom obliku je(10) u t + f(u) x = 0,gde je f glatka vektorska funkcija. Najčešće pretpostavljamo da je sistemhiperboličan, tj. da ∇f ima n različitih realnih karakterističnihkorena. U kontekstu o kom ćemo pričati, takod¯e je moguće posmatratii Caushy-jev problem za sistem mešivitog tipa (sistem koji menja tipiz hiperboličnog u eliptični).Parabolična regularizacija (difuzioni proces) sitema (10) je(11) u t + f(u) x = εu xx .Regularizacija trećeg reda (disperzioni proces) sitema (10) je(12) u t + f(u) x = δu xxx .Napomenimo da sa desne strane jednakosti mogu da se nad¯u i opštijioperatori sa više parametara.Obeležimo sa u(x, t), u(x, t; ε), u(x, t; δ) redom rešenja od (10),(11), (12).Zašto uvodimo meroznačna rešenja?Cilj nam je rešiti problem singularnih limesa rešenja regularizacijazakona održanja, odnosno odgovoriti na sledeća pitanja:

10 Uvod1. Kada i kako nizovi rešenja u(x, t; ε), u(x, t; δ) (ili bar neki njihovpodniz) konvergiraju, kada parametar ε, odnosno δ, teži ka nuli.2. Da li dobijeni limes rešava jednačinu (10), tj. da li je lim ε→0 u(x, t; ε)= u(x, t), odnosno lim δ→0 u(x, t; δ) = u(x, t), u odred¯enoj topologiji.PrimeriOvaj problem javlja se već u skalarnim jednačinama.1. Burger-ova jednačina, nula-difuzioni limesU ovom primeru u(x, t; ε) su rešenja parabolične jednačineu t + ( u22 ) x = εu xx ,gde je ε > 0 tzv. difuzioni parametar. Kada on teži nuli, rešenjau(x, t; ε) konvergiraju ka u(x, t), rešenju hiperbolične jednačineu t + ( u22 ) x = 0.Postojanje tzv. nula-difuzionig limesa dobija se klasičnom teorijomkompaktnosti ili novijom teorijom kompenzovane kompaktnosti. Ovajproblem je rešen za sve skalarne jednačine u jednoj prostornoj dimenziji.2. KdV jednačina, nula-disperzioni limesU ovom primeru u(x, t; δ) su rešenja jednačineu t + ( u22 ) x = δu xxx ,gde je δ > 0 tzv. disperzioni parametar. Kada δ → 0, pojavljujuse oscijacije (skokovi), te rešenja u(x, t; δ) neće konvergirati ka rešenjuhiperbolične jednačine u t + ( u2 ) 2 x = 0. Lax i Levermore su pokazali darešenja u(x, t; δ) konvergiraju jako ka u(x, t), do trenutka kada se pojaveudarni talasi (šokovi). U prisustvu udarnih talasa, konvergencija

Uvod 11postoji samo u slaboj topologiji i limes je rešenje malo modifikovanejednačine [ll].Kako se uvode mv-rešenja?Posmatramo preslikavanje(x, t) ∈ R 2 + ↦→ ν (x,t) ∈ P(R n ),gde je P(R n ) prostor probabilističkih mera. Ovakvo preslikavanje zovese uopšteno ili meroznačno rešenje ako jednačina(13) u t + f x = 0važi u smislu distribucija. Tada kažemo da očekivana vrednost vektorskogpolja (u, f) ima divergenciju nula. Oznaka g, za g ∈ C(R n ; R n )je takod¯e očekivana vrednost, tj.∫g = g(x, t) ≡ g(λ)dν (x,t) ,R nšto je kompozicija neprekidne funkcije i mere, odn. distribucija. Stogajednačina (13) znači da za sve test funkcije φ ∈ C0 ∞ (R 2 +),〈 〉 〈 〉 〈 〉0 = u t + f x , φ = − λdν (x,t) , φ t − f(λ)dν (x,t) , φ xx = 0.∫R∫R n nKako se u ovom kontekstu interpretiraju klasična distributivnarešenja?Klasična distributivna rešenja u(x, t) sistema (10) identifikuju se sapreslikavanjem koje slika (x, t) u tzv. Dirac-ovu meru u u(x, t), tj.(x, t) ↦→ δ u(x,t) .Ova interpretacija ima smisla, jer je u tom slučaju∫∫λ dδ u(x,t) = λδ u(x,t) dλ = u(x, t)R n R nodnosno,∫∫f(λ) dδ u(x,t) = f(λ)δ u(x,t) dλ = f(u(x, t)).R n R n

Uvod 13u smislu distribucija, za sve konveksne entropijske parove (η, q). Entropijskipar je konveksan, ako je entropija konveksna funkcija.Ovde je taj uslov za nijansu komplikovaniji, naime ako uopštenorešenje dopušta sve konveksne entropijske parove, ono mora biti Diracovamera. Preciznije, neka je (η, q) entropijski par sistema (10). Ako(14) η t + q x ≤ 0važi za sve konveksne entropijske parove, tada ćemo pokazati da jeν (x,t) = δ u(x,t) .Za skalarni zakon održanja, proizvoljnu funkciju možemo uzeti zaentropiju i zatim naći adekvatan fluks. Tako da ako rešavamo skalarniproblem, nejednakost (14) treba da važi za sve konveksne funkcije η.Za sisteme od dve jednačine postoji široka klasa konveksnih entropija,dovoljno jaka da redukuje Young-ovu meru na Dirac-ovu meru. Zasisteme od tri ili više jednačina, entropija retko postoji, uglavnom zajednačine mehanike kontinuma, tako da nam, u tom slučaju, treba alternativnaformulacija.Uopštena verzija Lax-ove entropijske nejednakosti (14) važi za sveslabe limese difuzionog procesa (11). Ako je u(x, t; ε) uniformno ograničenu L ∞ niz rešenja sistema (11), tada se lako može proveriti da (14)važi za sve konveksne entropije, jer je ν (x,t) Young-ova mera asociranasa nekim podnizom niza u(x, t; ε). Ali, treba dalje pokazati da jeν Dirac-ova mera i da ona odgovara nula-difuzionom limesu. Rezultatio egzistenciji i jedinstvenosti završavaju poglavlje o meroznačnimrešenjima.Treće poglavlje počinje kratkim pregledom teorije Colombeau-ovihspecijalnih uopštenih funkcija, u kojima dobijamo koncept aproksimativnihrešenja. Poglavlje, kao i ceo rad, završavamo izučavanjem ekvivalencijekoncepta aproksimativnih i meroznačnih rešenja.∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗Napomenimo još da smo sa □ obeležavali kraj dokaza, a sa ♦ krajprimera.

Slaba i jaka konvergencija 15niza f n u L p (Ω) možemo izdvojiti podniz f m koji slabo (slabo*) konvergiraka nekom f, ako je 1 < p < ∞ (p = ∞), tj.∫∫f m g dx → fg dx, ∀g ∈ L q (Ω).ΩΩProstor L 1 (Ω) se može izometrički potopiti u M b (Ω), prostor konačnihmera, koji je dual prostora C b (Ω), prostora neprekidnih ograničenihfunkcija sa supremum normom. Iz ograničenog niza f n u L 1 (Ω) možemoizdvojiti podniz f m koji slabo* konvergira ka meri µ, tj.∫f m g dx → 〈µ, g〉, ∀g ∈ C b (Ω).ΩProstor mera M(Ω) nije Banahov, ali za svaki kompaktni K ⊂⊂ Ω,ako sa X K = CK 0 (Ω) obeležimo prostor neprekidnih funkcija sa nosačemu K i supremum normom, tada je M(Ω) podprostor X K′ i možemokoristiti slabu* topologiju na X K ′ . Tada iz niza ograničenog u svimX K ′ izdvajamo podniz koji je slabo* konvergentan u X′ K , za prebrojivomnogo kompaktnih skupova čija je unija Ω.Na prostoru M(Ω) slaba konvergencija definiše se na sledeći način:µ k ⇀ µ ⇐⇒ ( ∀g ∈ C b (Ω) ) ∫ ∫g dµ k → g dµ, k → ∞.ΩVaži sledeće tvrd¯enje:Teorema 2. Ako µ k ⇀ µ slabo u M(Ω) onda jelim sup µ k (K) ≤ µ(K)za sve kompaktne skupove K ⊂⊂ Ω, iza sve otvorene skupove V ⊂ Ω.µ(V ) ≤ lim inf µ k (V )Pod pretpostavkom da je niz aproksimativnih rešenja {u ε } uniformno(po ε) ograničen u L ∞ imamo ekvivalenciju sledećih konvergencija.1. Ekvivalentne slabe konvergencije su:-slaba* konvergencija u L ∞ ,-slaba konvergencija u L p , 1 < p < ∞,-konvergencija u smislu distribucija.U ovom slučaju, pričaćemo o slaboj konvergenciji, tj. lokalnoj konvergencijiocena∫u = w − lim u ε ⇐⇒ u(y) dy = lim u ε (y)dy,Kε→0∫KΩ

16 Meroznačna rešenjaza sve K ⊂⊂ Ω. Jedan od načina da obezbedimo egzistenciju podnizakoji konvergira u odgovarajućoj slaboj topologiji je da dokažemo da zaniz {u ε } važi tzv. lokalna L p -kontrola∫|{u ε }| p dy ≤ const(K), K ⊂⊂ Ω,kkoja se lako dobija iz principa maksimuma. Napomenimo još da jeu gore pomenutim topologijama jedinična lopta kompaktna, tako dasu one dovoljno slabe da obezbede kompaktnost, ali isuviše slabe bagarantuju neprekidnost nelinearne funkcije.2. Ekvivalentne jake konvergencije su:-konvergencija u jakoj topologiji prostora L 1 loc ,-konvergencija u jakoj topologiji prostora L p loc , 1 < p < ∞.U ovom slučaju, pričaćemo o jakoj konvergenciji, tj. konvergenciji ponormi∫u = s − lim u ε ⇐⇒ |u(y) − u ε (y)| dy = 0,Kza sve K ⊂⊂ Ω.Ako je niz {u ε } konvergentan u jakoj topologiji i ako je funkcijag : R n → R p neprekidna, tada važig(s − lim u ε ) = s − lim g(u ε ),što omogućava da jaki limes aproksimativnih rešenja bude ponovo rešenje.S druge strane, ako niz {u ε } konvergira u slaboj topologiji, u opštemslučaju, ako nemamo dodatne pretpostavke, imamog(w − lim u ε ) ≠ w − lim g(u ε ),(v. primere 1, 2 i 3). Stoga je veoma bitno naći pretpostavke podkojima ćemo iz slabe konvergencije, dobiti jaku. Preciznije, u teorijizakona održanja pojavljuje se sledeći problem: Za dat slabo konvergentniniz aproksimativnih rešenje, videti pod kojim uslovima će taj nizimati jako konvergentan podniz. Specifičan problem je odrediti uslovepod kojima se jaka konvergencija može dobiti iz slabe ako nemamouniformne ocene izvoda. Naime, ako dokažemo ili pretpostavimo, dasu izvodi od u ε uniformno ograničeni, iz slabe konvergencije odmahdobijamo jaku. Npr. ako u ε slabo konvergira ka u i ako su gradijentiuniformno ograničeni u L p loc ,∫|∇u ε | p dy ≤ const.,K

Slaba i jaka konvergencija 17onda u ε jako konvergira ka u. Uopšte, slaba konvergencija i kompaktnostu strogoj topologiji, impliciraju jaku konvergenciju.Za dobijanje jake iz slabe konvergencije koristi se Young-ova mera iTartar-Murat-ova teorema o kompenzovanoj (nadoknad¯enoj) kompaktnosti.Primer 1. Daćemo primere koji pokazuju zašto, ako je f = w ∗ −limf n , ne mora da važi i da je Φ(f) = w ∗ − limΦ(f n ). Krenućemo odjednostavnijeg primera koji je dat u [e2]. Mi ćemo ga dopuniti dokazimakonvergencija koje su samo pomenute u predhodno citirsnoj knjizi.Dakle, neka su dati brojevi a < b i 0 < λ < 1, za koje važiΦ(λa + (1 − λ)b) ≠ λΦ(a) + (1 − λ)Φ(b),i neka je Ω = (0, 1) ⊂ R. Formirajmo funkcije f k na sledeći način:{a,jf k (x) =≤ x ≤ }j+λ , j = 0, ..., k − 1k k .b, inačePokažimo da f ∗ k ⇀ f ≡ λa + (1 − λ)b, u L ∞ . Neka je g proizvoljnafunkcija u L 1 (Ω). To znači da je ∫ |g(x)| dx ≤ M, za neko M > 0, iΩza svaki K ⊂ Ω, ∫ |g(x)| dx ≤ m(K)M K K, M K > 0. Tada je∫∣ ∣∣∣k−1∣ f k g dx∣ ≤|a| ∑∫ j+λ∣k∣∣∣k−1g(x) dx∣ + |b| ∑∫ j+1kg(x) dx∣Ωj=0jkj=0∑k−1λ≤|a| M 1k + |b| M ∑k−11 − λ2kj=0j=0≤M 3 (aλ + b(1 − λ)),gde su M j , j = 1, 2, 3 pozitivne konstante date sa{ ∫ j+λ([kjM 1 = max M αj : |g(x)| dx ≤ mk , j + λk{M 2 = max M βj :ijk∫ j+1kj+λkj+λk])}M αj , j = 0, ..., k−1,([ j + λ|g(x)| dx ≤ mk , j + 1 ])}M βj , j = 0, ..., k−1kM 3 = max { M 1 , M 2}.Sada posmatrajmo kompoziciju Φ(f k ). Ona se slično ponaša kao f k .Naime{Φ(a),jΦ(f k )(x) =≤ x ≤ }j+λ , j = 0, ..., k − 1k k ,Φ(b), inače

18 Meroznačna rešenjai slično pokažemo da Φ(f k ) ∗ ⇀ ¯Φ ≡ λΦ(a) + (1 − λ)Φ(b) ≠ Φ(f).Sledeći primer je malo komplikovaniji, ali će nam trebati kasnije kadabudemo eksplicitno konstruisali Young-ovu meru.Definicija 1. Niz indukovan skaliranjem periodične funkcije v je nizfunkcija konstruisanih na sledeći način:Poznat je sledeći rezultat.u k (x) ≡ v(kx).Lema 1. Ako je v periodična funkcija sa periodom p, onda niz indukovanskaliranjem funkcije v slabo* konvergira u L ∞ ka konstanti1p∫ p0v(s) ds.Dokaz. 2 Dokaz ćemo izvesti u tri koraka. Prvo ćemo pokazati daako za test funkciju ψ ∈ L 1 izaberemo karakterističnu funkciju intervala[0, p], dobijamo jednakost〈〉 〈 ∫ 1 p〉(15)v(kt) , ψ(t) = v(x) dx , ψ(t) .pNeka je ψ karakteristična funkcija intervala [0, p], tj. ψ(x) = χ [0,p] (x), x ∈R. Tada važi(16)∫ +∞−∞v(kt)ψ(t) dt == 1 k=∫ p00v(kt) dt =k∑i=1∫ p0∫ p0∫ kp0v(x) dx kv(x) dx = 1 ∫ pk k v(x) dx∫ pv(x) dx = 1 ψ(t) dtp 0} {{ }p0∫ p= 1 ∫ −∞( ∫ p)v(x) dx ψ(t) dtp +∞ 0〈 ∫ 1 p〉= v(x) dx , ψ(t) .p00v(x) dxU drugom koraku, za test funkcije biramo karakteristične funkcije intervalaoblika [0, b], gde je b proizvoljan pozitivan broj, i pokazujemo2 Kako nismo mogli naći dokaz ove leme u literaturi, iznosimo naš dokaz i verujemoda postoji i jednostavniji način da se ova lema pokaže.♦

sledeću konvergenciju:〈〉 〈 ∫ 1 p(17) v(kt) , ψ(t) −→pSlaba i jaka konvergencija 190〉v(x) dx , ψ(t) , k → ∞.Neka je ψ karakteristična funkcija intervala [0, b], tj. ψ(x) = χ [0,b] (x), x ∈R. Tada važi(18)∫ +∞−∞v(kt)ψ(t) dt =∫ b0v(kt) dt =∫ kb0v(x) dx k .Za fiksirano k (b i p su pozitivne konstante), postoji jedinstven prirodanbroj r takav da je(19) rp ≤ kb < (r + 1)p.Sada nastavljamo niz jednakosti (18):(20)∫ +∞−∞Kako je〈1p(21)= 1 k= r k= r kv(kt)ψ(t) dt =∫ p0∫ p0∫ p0∫ p0∫ b0v(x) dx + ... + 1 kv(x) dx + 1 kv(kt) dt =∫ kbrpv(x) dx + O(1\k).〉v(x) dx , ψ(t) = 1 p= b p∫ rp∫ kb0v(x) dx k(r−1)pv(x) dx + 1 kv(x) dx∫ p0∫ p0∫ +∞∫ kbrpv(x) dx · ψ(t) dt−∞} {{ }bv(x) dx,v(x) dxostaje nam još da pokažemo da (20) konvergira ka desnoj strani jednakosti(21), kad k → ∞, odnosno da pokažemo da r → b , kad k → ∞.k pMi znamo da r zavisi od k i zbog toga ćemo pisati r = r(k). Takod¯eznamo da smo r(k) dobili kao jedinstveni prirodan broj koji zadovoljava(19), odakle dobijamo da jebp ≥ r(k)k> b p − 1 k .Tako smo niz r(k) uklještili izmed¯u dva niza koja konvergiraju ka b , štokpkompletira dokaz konvergencije (17).

20 Meroznačna rešenjaI za karakterističnu funkciju proizvoljnog intervala [a, b], a < b, dobijamoistu granicu. Ako interval [a, b] sadrži nulu onda ga podelimona dva intervala [a, 0] i [0, b]. Za interval [a, 0] tvrd¯enje dobijamo istokao za [0, b], jer se radi o periodičnoj funkciji. Stoga smo pokazali datvrd¯enje leme važi za sve karakteristične funkcije. Za kompletan dokazleme potrebno je još samo iskoristiti činjenicu da su karakterističnefunkcije guste u L 1 . □Primer 2. Posmatramo niz funkcija u k : R → R indukovan skaliranjemperiodične funkcije v : R → R. Kao što smo videli, imamou k (x) ≡ v(kx),w ∗ − lim u k = 1 p∫ p0v(s) ds.Ako je g proizvoljna neprekidna funkcija, niz g(u k ) takod¯e možemo posmatratikao niz indukovan skaliranjem periodične funkcije g ◦ v, paimamo♦∫ pw ∗ − lim g(u k ) = 1 g(v(s)) dsp 0( ∫ 1 p)≠g v(s) dsp0=g(w ∗ − lim u k ).Dosadašnji primeri odnosili su se na funkcije definisane na R. Oni semogu uopštiti i na R n .Primer 3. Neka su y 1 , ... , y n nezavisni vektori u R n i neka jen∑Y = { θ i y i : 0 ≤ θ i ≤ 1}.i=1Dalje, neka je F (x, y) neprekidna ograničena funkcija na Ω × R n , zakoju važiF (x, y + y j ) = F (x, y), j = 1, ..., n.Tada, kad n → ∞ niz f n (x) = F (x, nx) konvergira slabo* u L ∞ kaf(x) = 1 ∫F (x, y) dy.m(Y )Ipak, slabi (slabi*) limesi nizova f n i Φ(f n ) nisu nezavisni. Kao i uprethodnom primeru, ako niz f n konvergira slabo* u L ∞ (Ω) ka f i Φ(f n )konvergira ka h, onda (ako je Φ konveksna), važi h(x) ≥ Φ(f(x)), s.s.♦Y

Young-ova mera 212.2. Young-ova mera. Počnimo od niza funkcija u l : R m → R n kojikonvergira u slaboj* topologiji na L ∞w ∗ − liml→∞u l = u.Takav niz je uniformno ograničen u L ∞ nekim brojem r > 0,||u l | ∞ ≤ r,i na svakom ograničenom Borel-ovom skupu Ω ⊂ R m važi∫∫u l (y) dy = u(y) dy.liml→∞ΩO slaboj* konvergenciji kompozicije neprekidne realnoznačne funkcijeg : R n → R i ovakvog niza govori Young-ova teorema. Ona rešavaproblem nekompatibilnosti slabe konvergencije i nelinearne kompozicije.Teorema 3. Za svaki niz L ∞ (Ω; R m )-ograničenih funkcija {u l }, postoji{u k }, podniz niza {u l } i familija Borelovih probabilističkih meraν x ∈ P rob(R m ), x ∈ Ω, supp ν x ⊂ B(0; r),(sa B(0; r) ćemo obeležiti loptu sa centrom u 0 poluprečnika r) tako daza sve F ∈ C(R m ) granična vrednostw ∗ − lim F (u k (y))k→∞postoji, i jednaka je očekivanoj vrednosti funkcije F,∫w ∗ − lim F (u k (x)) = F (λ) dν x (λ) =: F (x) ,k→∞R mza skoro sve x ∈ Ω.ΩZa dokaz ove teoreme trebaće nam teorija mera oscilacija (measuresof oscillation), tzv. prorezane mere (slicing measures) i Radon-Nikodinova teorema. Mere oscilacija rešavaju problem kada imamoslabu konvergenciju, ali ne znamo da li imamo konvergenciju skorosvuda (s.s.). Za sada pretpostavljamo da se problem koncentracije nepojavljuje (recimo da imamo tako dobre ocene). Tehničke teškoće zasnivajuse na mogućim ekstremno divljim, ali ograničenim oscilacijamakoje se mogu pojaviti u slabo konvergentnom nizu. Plan je naći merekoje opisuju graničnu strukturu takvih oscilacija.Potsetimo se da je probabilistička mera m ∈ P rob(Ω), konačnanenegativna Radon-ova mera na Ω koja zadovoljava uslov m(Ω) =1. Radonove mere su lokalno konačne, spoljno regularne (m(A) =inf{m(V ) : A ⊂ V, V je otvoren}) mere za koje važi da za sve V

22 Meroznačna rešenjaotvorene podskupove od Ω, m(V ) = sup {m(K) : K ⊂⊂ V }. Tretiramoih, ustvari, kao neprekidne linearne funkcionele na prostoruneprekidnih funkcija. Sve osobine ovakvih mera koje nam budu trebale,naglasićemo u adekvatnim momentima, a čitaocima koji žele danauče više o Radon-ovim i probabilističkim merama preporučujemo[ps, s1].Napomenimo još da se Young-ova teorema može proširiti na niz kojikonvergira u slaboj* topologiji prostora L p . U tom slučaju, rast funkcijeg treba da bude ne veći od rasta bilo kog polinoma stepena p, da bismodobili konvergenciju kompozicije.Iz teoreme imamo, stavljajući F (t) = t, da i niz u k konvergira uslaboj* topologiji, tj. da je∫u(x) = λ dν x , x ∈ Ω.R nDefinicija 2. Familija mera (ν x ) x∈Ω , definisanih u teoremi 3 zove seYoung-ova mera. Prostor Young-ovih mera obeležavamo sa Y(Ω). 3Sada ćemo ići polako ka dokazu Young-ove teoreme. U daljem tekstuΩ će označavati otvoren podskup od R n , a µ konačnu, nenegativnu,Radonovu meru na R n+m , m, n ≥ 1. Sa σ ćemo obeležiti kanoničkuprojekciju mere µ na R n , tj. σ(E) ≡ µ(E × R m ), za sve Boreloveskupove E ⊂ R n .Teorema 4. Za σ-s.s. x ∈ R n postoji Radonova probabilistička meraν x na R m , tako da ∫(ı) preslikavanje x ↦→ f(x, y) dν x (y) je σ-merljivo∫R m ( ∫)(ıı) f(x, y) dµ(x, y) = f(x, y) dν x (y) dσ(x),R∫R n+m n R mza sve ograničene, neprekidne funkcije f.Dokaz teoreme 4: Podelićemo dokaz na tri dela.3 Neki autori ovakve mere obeležavaju sa Y ∞ (Ω; R m ), aludirajući da su toYoung-ove mere na R m indukovane L ∞ -ograničenim nizom, dok pod Young-ovimmerama, u oznaci Y(Ω; R m ) podrazumevaju širu klasu familija Radonovih probabilističkihmera. Naime, Young-ovu meru definišu kao slabo merljivo preslikavanjeΩ → rca(R m ). Tako definisan skip Young-ovih mera je konveksan podskupprostora L ∞ w (Ω; rca(R m )), gde w označava ”slabo merljiva”, koji je dual prostoraL 1 (Ω; C 0 (R m )).

Young-ova mera 231. Neka je {f k } k≥1 ⊂ C b (R m ) prebrojiv, gust podskup skupa ograničenihneprekidnih funkcija. Njemu pridružujemo Radonove mere∫γ k (E) = f k (y) dµ(x, y), k = 1, 2, ...E×R mdefinisane na R n , tj. za sve Borelove skupove E ⊂ R n . Jasno je da jeγ k

24 Meroznačna rešenja3. Ako sada postupak aproksimacije nizom funkcija opisan u drugomdelu dokaza primenimo na funkciju g ∈ C b (R n ), iz (25) dobijamo∫∫ ( ∫)(26) g(x)f(y) dµ(x, y) = g(x) f(y) dν x (y) dσ(x),R n+m R n R mza neprekidne, ograničene funkcije f, g. Ako stavimo f ≡ 1 u (26),dobijamo da je ν x (R m ) = 1, σ-s.s. Dakle, dobili smo tvrd¯enje u specijalnomslučaju, kada se neprekidna i organičena funkcija na R n+m moženapisati u obliku g(x)f(y). Ali svaka neprekidna i organičena funkcijana R n+m može se lokalno uniformno aproksimirati konačnim sumamaoblika ∑ Ni=1 gi (x)f i (y) za neprekidne i organičene g i , f i , i = 1, ..., N,što kompletira naš dokaz. □Dokaz teoreme 3: I ovaj dokaz podelićemo na tri dela.1. Definišimo meru∫µ k (E) ≡ χ E (x, f k (x)) dx, k = 1, 2, ...za svaki Borelov skup E ⊂ R n × R m . Kako jeΩsup µ k (Ω × R m ) = L n (Ω) < ∞,kpostoji podniz {µ kj } j≥1 ⊂ {µ k } k≥1 koji slabo konvergira ka nenegativnojmeri µ, tj. postoji µ ∈ M(Ω × R m ), tako da µ kj ⇀ µ, uM(Ω × R m ). (Ovde smo sa ⇀ obeležili slabu konvergenciju, a L noznačava Lebesque-ovu meru dimenzije n.)2. Dalje tvrdimo da je projekcija od µ na R n n−dimenzionalnaLebesque-ova mera restrikovana na Ω. Obeležićemo projekciju sa σ.Dakle tvrdimoσ = L n ⌈Ω.Iz teoreme 2 imamo da za otvoren skup V ⊂ Ω važiσ(V ) = µ(V × R m ) ≤ lim inf µ kj (V × R m ) = L n (V ).Stoga je σ ≤ L n ⌈Ω. S druge strane, neka je K ⊂⊂ Ω. Kako je {f kj } jograničen u L ∞ (Ω; R m ), postoji R > 0 tako da su nosači mera µ kj i µsadržani u Ω × B(0, R). Tako dobijamo da jeσ(K) =µ(K × R m ) = µ(K × B(0, R))≥ lim sup µ kj (K × B(0, R)) = L n (K),odakle imamo da je σ ≥ L n ⌈Ω, tj. σ = L n ⌈Ω.

Young-ova mera 253. Iz teoreme 4 zaključujemo da postoji za σ-s.s. x ∈ Ω Borelovaprobabilistička mera ν x tako da∫∫ ( ∫)f(x, y) dµ(x, y) = f(x, y) dν x (y) dσ(x),R n+m Ω R mza neprekidne, ograničene funkcije f. Stavimo f(x, y) = ξ(x)F (y), gdesu ξ ∈ C b (Ω), F ∈ C b (R m ). Tada je∫∫lim ξ(x)F (f kj (x)) dx = lim f(x, y) dµ kj (x, y)j→∞Ωj→∞R∫n+m= f(x, y) dµ(x, y)R∫n+m ( ∫)= ξ(x) F (y) dν x (y) dxΩR∫m= ξ(x)F (x) dx.ΩNapomenimo još da smo dokaz izveli za ograničenu neprekidnu funkcijuF . Slično dobijamo tvrd¯enje i za F ∈ C(R m ), jer možemo, ako jepotrebno, redefinisati F za velike vrednosti |y| da ima kompaktannosač. □Videli smo, dakle, da uniformno ograničen niz L ∞ funkcija indukujeYoung-ovu meru. Važi i obratno, tj. ako je data familija probabilističkihmera (µ x ) x∈Ω , definisana za s.s. x ∈ Ω, koja zavisi u slabomerljivom smislu od x i supp µ x ⊂ [−M, M]. Tada postoji niz funkcija(u k ) k ⊂ L ∞ , čije norme su ograničene sa M, takav da je (µ x ) x∈Ω Youngovamera indukovana nizom (u k ) k .Primer 4. Konstruisaćemo eksplicitno Young-ovu meru u jednom primeru.Koristićemo primer 2, tj. nastavićemo diskusiju započetu u tomprimeru. Tamo smo posmatrali niz funkcija u k : R → R indukovanskaliranjem periodične funkcije v : R → R. Kao što smo videli,u k (x) ≡ v(kx),w ∗ − lim u k = 1 pa za proizvoljnu neprekidnu funkciju g, važiw ∗ − lim g(u k ) = 1 p∫ p0∫ p0g(v(s)) ds.v(s) ds,Tako dobijamo nenegativnu ograničenu linearnu funkcionelu koja delujena neprekidne funkcije g i može se predstaviti kao probabilistička meraν:∫1 p∫g(v(s)) ds = 〈 ν , g(λ) 〉 def= g(λ) dν.p0R

26 Meroznačna rešenjaNapomena. Ako je niz u k indukovan skaliranjem periodične funkcijev, njemu asocirana Young-ova mera ne zavisi od x i data je slikom normalizovaneLebesque-ove mere kompozicije funcije v ∗ i karakterisičnefunkcije χ p intervala [0, p]:(χ p ds) ν x = ν = v ∗ .pOvde smo sa v ∗ označili takozvanu ”push forvard” transformaciju funkcijev. Ona je povezana sa tzv. ”pull back” transformacijom. Naimeako imamo neko preslikavanje v iz prostora X u Y , onda se ”pull back”definiše na sledeći način: v ∗ : C(Y ) → C(X), (v ∗ f)(x) = f(v(x)), zaf ∈ C(Y ). Tada imamo〈 v ∗ f(x) , φ(x) 〉 =〈 f(v(x)) , φ(x) 〉〈( ∂y) −1 〉= f(y) , φ(v −1 y)∂x=〈 f(y) , (v ∗ φ)(y) 〉Tako dobijamo preslikavanje v ∗ : C(X) → C(Y ), (v ∗ φ)(y) = φ(v −1 (y))J −1 ,gde smo sa J obeležili Jakobijan ∂y . ∂xKada ovaj račun primenimo na primer dobijemo∫1 p∫g(v(s)) ds = 〈 g(λ) , dν 〉 = g(λ)dν,p0〈v ∗ g , χ pp ds 〉=〈 g(λ) , dν 〉,〈g , v ∗ ( χ pp ds) 〉=〈 g , dν 〉.♦Sada smo zainteresovani za jaku konvergenciju niza (u k ) k . Naime, izuniformne ograničenosti niza (u k ) k u L ∞ (Ω) imamo da ako niz konvergirau strogoj topologiji na L p loc(Ω) za neko p : 1 ≤ p < ∞, onda onkonvergira u strogoj topologiji na L q loc(Ω) za sve q : 1 ≤ q < ∞, tj.važi∫lim |u k (y) − u(y)| q dy = 0 ,l→∞Kza sve K ⊂⊂ R m i za sve q : 1 ≤ q < ∞. Ako je to slučaj reći ćemoda niz u l jako konvergira.Posledica 1. Niz u k jako konvergira ka u ako i samo ako je Young-ovamera u skoro svim tačkama y jednaka Dirac-ovoj meri u u(y), tj.(27) ν y = δ u(y) , za skoro sve y.

Young-ova mera 27Dokaz posledice 1. Neka važi (27). Da bismo pokazali jaku konvergencijudovoljno je pokazati da za neko p : 1 ≤ p < ∞ niz konvergirau strogoj topologiji na L p loc. Mi ćemo pokazati za p = 2. Iz teoreme 3imamo da je∫∫w ∗ − lim g(u k ) = g(λ) dν y = g(λ) dδ u(y) = g(u),R n R ntj.,(28) w ∗ − lim g(u k ) = g(u).Izaberimo funkciju g koja je strogo konveksna. To znači da je(29) Qg(λ, λ 0 ) := g(λ) − g(λ 0 ) − ∇g(λ 0 )(λ − λ 0 ) ≥ c|λ − λ 0 | 2 .Kako je w ∗ − lim u k = u, imamo da je lim k→∞∫K (u k − u) dy = 0,odakle je lim k→∞∫K ∇g(u)(u k − u) dy = 0, što uz (28) daje da je(30) lim Qg(u k , u) dy = 0,k→∞∫Kza sve K ⊂⊂ Ω. Iz (29) imamo da je|u k − u| 2 ≤ c 1 Qg(u k , u),odakle uz (30) imamo da je∫|u k (y) − u(y)| 2 dy = 0 ,liml→∞Ktj., da niz u k konvergira u strogoj topologiji na L 2 loc (Ω).Za dokaz drugog smera trebaće nam Jensen-ova nejednakost:Lema 2 (Jensen-ova nejednakost). Neka je µ pozitivna mera na σ-algebri M na skupu Ω, takva da je µ(Ω) = 1. Ako je f ∈ L 1 (µ) realnafunkcija za koju važi a < f(x) < b, za sve x ∈ Ω i ako je φ konveksnana (a, b), onda je ∫ ∫φ( f dµ) ≤ (φ ◦ f) dµ.ΩΩJednakost dobijamo ako i samo ako je µ Dirac-ova mera.Dokaz Jensen-ove nejednakosti može se naći npr. u [ru].Pokažimo sada drugi smer tvrd¯enja. Ako u k jako konvergira onda(28) važi za sve g. Kako je∫u(y) = λ dν y ≡ 〈ν y , λ〉,R n

28 Meroznačna rešenjaimamo〈ν y , g(λ)〉 ≡∫g(λ) dν yR n = w ∗ − lim g(u k )= g(u) = g(〈ν y , λ〉),za sve g i skoro sve y, odnosno,(31) 〈ν y , g(λ)〉 = g(〈ν y , λ〉),za sve g i skoro sve y.Ako je g strogo konveksna funkcija i ν y probabilistička mera, ondanam Jensen-ova nejednakost daje〈ν y , g(λ)〉 ≥ g(〈ν y , λ〉),a jednakost važi ako i samo ako je ν y Dirac-ova masa, što smo i želelida pokažemo. □2.3. Meroznačna rešenja - definicija. Posmatraćemo sistem zakonaodržanja(32) ∂ t u + ∂ x f(u) = 0, f : R n → R n ,kao i dve njegove regularizacije, paraboličnu drugog reda(33) ∂ t u + ∂ x f(u) = ε∂ 2 xu,i regularizaciju trećeg reda(34) ∂ t u + ∂ x f(u) = ε∂ 3 xu.Naravno, regularizacija sistema (32) može da se sprovede na raznenačine, tj. sa desne strane jednakosti u jednačinama (33, 34), može dase nad¯e proizvoljni linearni parcijalni diferencijalni operator, najčešćesa konstantnim koeficijentima.U prvom seminarskom radu, [sem1], posmatrali smo slaba rešenjazakona održanja. Ovde ćemo se pozvati na delove koji nam trebaju.Potsetimo se, (klasično) slabo rešenje definisali smo na tri načina ipokazali da su te tri definicije ekvivalentne. Ovde ćemo se pozvati nasledeću:Definicija 3. Klasično slabo rešenje je merljiva funkcijau : R 2 + → R n

MVS-definicija 29koja zadovoljava (32) u smislu distribucija na R 2 +, tj. ako za sve testfunkcije φ ∈ C0(R 1 2 +) važi(35)∫ ∞ ∫ +∞0−∞(φ t u + φ x f(u)) dx dt = 0.Podrazumeva se da su u i f(u) lokalno integrabilne. Što se tiče hiperboličnostisistema (32), za definiciju meroznačnih rešenja je svejedno dali je sistem strogo hiperboličan (matrica f ′ (u) ima n različitih realnihkarakterističnih korena) ili nestrogo hiperboličan (matrica f ′ (u) imapun skup karakterističnih korena). Definicija koja sledi je originalna,prva definicija meroznačnih rešenja, čiji je tvorac DiPerna, [dp].Definicija 4. Merljiva funkcijaν : y ∈ R 2 + → ν y ∈ P rob(R n )je meroznačno rešenje sistema (32) ako(36) ∂ t 〈ν y , λ〉 + ∂ x 〈ν y , f(λ)〉 = 0važi u smislu distribucija na R 2 +, što je ekvivalentno sa∫ ∞ ∫ +∞za sve φ ∈ C 1 0(R 2 +).0−∞(φ t 〈ν y , λ〉 + φ x 〈ν y , f(λ)〉) dx dt = 0Pod merljivošću funkcije ν podrazumevamo tzv. slabu* merljivosttačaka ν y iz njenog kodomena, što znači da za sve neprekidne g, realnoznačnafunkcija∫y ↦→ 〈ν y , f(λ)〉 := f(λ) dν yR nje merljiva. Mi ćemo posmatrati ona meroznačna rešenja čiji se kodomensastoji od probabilističkih mera čiji nosači leže u fiksiranom kompaktnompodskupu od R n . Na taj način izbegavamo diskusiju o rastufunkcije f. Zbog toga se u literaturi može naći i sledeća definicijameroznačnih rešenja, [cmo].Definicija 5. Familija probabilističkih mera (ν y ) y∈Ω na R n , definisanaza skoro sve y ∈ Ω je meroznačno rešenje sistema (32) ako(ı) supp ν y ⊂ K ⊂⊂ R n za fiksirani kompaktni skup K,∫(ıı) za sve g ∈ C(R n ), preslikavanje y → g dν y je merljivo,(ııı) ∂ t 〈ν y , λ〉 + ∂ x 〈ν y , f(λ)〉 = 0 važi u smislu distribucija na R 2 +.

30 Meroznačna rešenjaSada ćemo posmatrati regularizacije sistema (32). Cilj nam je da izniza rešenja u ε regularizovanog sistema, izvučemo meroznačno rešenjeod (32).Teorema 5. Neka je u ε niz rešenja održivog sistema(37) ∂ t u + ∂ x f(u) = εL x u,gde je L diferencijalni operator sa konstantnim koeficijentima. Ako jeniz u ε uniformno ograničen u L ∞ onda postoji meroznačno rešenje νsistema (32) koje dobijamo kao Young-ovu meru iz nekog podniza u εjniza u ε .Tada kažemo da svaki proces sa singularnom perturbacijom koji jestabilan u L ∞ , generiše jedno meroznačno rešenje neperturbovanog sistema(32).Dokaz teoreme 5. Kako je u ε slabo rešenje od (37) imamo da uD ′ (R 2 +) važi(38) ∂ t u ε + ∂ x f(u ε ) = εL x (u ε ).Iz Young-ove teoreme imamo da postoji podniz u εj niza u ε i familijaprobabilističkih mera ν tako da je(39) w ∗ − lim f(u εj ) = 〈ν y , f(λ)〉.Pokažimo da je ν meroznačno rešenje.Young-ova mera je merljiva u smislu slabe* merljivosti tačaka ν y .Stoga treba još pokazati da je(40) ∂ t 〈ν y , λ〉 + ∂ x 〈ν y , f(λ)〉 = 0,u smislu distribucija na R 2 +. Ako iskoristimo jednakost (39) dobijamo(41)∂ t 〈ν y , λ〉 + ∂ x 〈ν y , f(λ)〉 =∫∫ (= − φ t (x, t) 〈ν y , λ〉R } {{ }2+lim u εj∫∫= − limj→∞R 2 +)+φ x (x, t) 〈ν y , f(λ)〉 dx dt} {{ }lim f(u εj ))(φ t (x, t)u εj + φ x (x, t)f(u εj )= − limεj →0 〈 ∂ tu ε + ∂ x f(u εj ) , φ 〉= − limεj →0 〈 ε jL x (u εj ) , φ 〉 = 0.dx dt

Parabolična aproksimacija 31U pretposlednjoj jednakosti smo iskoristili (38), čime smo pokazali (40),što kompletira dokaz da je Young-ova mera dobijena iz podniza u εj ,meroznačno rešenje sistema (32). □2.4. Parabolična aproksimacija. Više pažnje posvetićemo jednačini(33). Posmatraćemo Young-ovu meru koja se dobija iz podniza njenihrešenja. Takod¯e ćemo posmatrati entropijske uslove o kojima smo pisaliu prvom seminarskom radu, [sem1], koji nam trebaju za meroznačnarešenja.Lax-ova entropijska nejednakost je klasična entropijska nejednakostza prekidna rešenja hiperboličnog sistema od n zakona održanja(42) ∂ t u + ∂ x f(u) = 0, f : R n → R n .Par funkcija (η, q), η, q : R n → R zvaćemo entropijski par za (42), akosva C 1 −rešenja u = u(x, t) sistema (42) zadovoljavaju dodatni zakonodržanja oblika(43) ∂ t η(u) + ∂ x q(u) = 0.Poslednji izraz, (43), predstavlja divergenciju entropijskoj polja, odnosnokaže da je divergencija entropijskoj polja jednaka nuli. Funkcija ηzove se entropija, a q entropijski fluks.Egzistencija entropijskog para bazira se na egzistenciji rešenja sistema(44) ∇η(u)∇f(u) = ∇q(u),koji se sastoji od n jednačina po dve promenljive η i q. Uslov (44) zovese uslov kompatibilnosti i može se izvesti iz kvazilinearnih oblika zakonaodržanja (42) i (43), za C 1 −rešenja,(45) ∂ t u + ∇f(u)∂ x u = 0i(46) ∇η(u)∂ t u + ∇q(u)∂ x u = 0,tako što iz (45) izrazimo ∂ t u i uvrstimo u (46). Dobijamo jednačinu[]− ∇η(u)∇f(u) + ∇q(u)) ∂ x u = 0.U slučaju jednog (skalarnog) zakona održanja, uslov (44) ima punorešenja. Na primer, svaka Lipschitz-ova funkcija η(u) može poslužitikao entropija, preko koje onda definišemo entropijski fluks∫q(u) = η ′ (s)f ′ (s) ds.

32 Meroznačna rešenjaAko imamo dva (par) zakona održanja, uslov kompatibilnosti postajehiperbolični sistem od dve jednačine po dve promenljive, čiji karakterističnioblik možemo dobiti ako pomnožimo skalarno (44) desnimkarakterističnim vektorom r j , Jakobijana od f:∇f(u)r j (u) = λ j (u)r j (u)(∇η∇f − ∇q) · r j = 0, j = 1, 2(λ j ∇η − ∇q) · r j = 0, j = 1, 2.U slučaju sistema od više od dva zakona održanja, uslov kompatibilnostiretko ima rešenje. Ipak, mnoge klase zakona održanja, imaju entropijskipar kao posledicu simetrične strukture matrice zakona održanja,i u tom slučaju entropija je strogo konveksna funkcija, [l1, sem1].Stoga ćemo posmatrati sisteme zakona održanja koji imaju strogo konveksanentropijski par, tj. entropijski par (η, q) gde je η strogo konveksnafunkcija.Za takve zakone održanja, u skalarnom slučaju svaka strogo konveksnafunkcija η može služiti kao entropija, dok je za par zakona održanja,u opštem slučaju, Lax[l1] konstruisao strogo konveksni entropijski par.U prvom seminarskom radu (lema 1, str.19) pokazali smo da, pod pretpostavkomda je entropija konveksna, u(x, t) koje se dobija kao limesrešenja sistema (33), je slabo (distributivno) rešenje sistema (42) i zadovoljavanejednakost(47) ∂ t η(u) + ∂ x q(u) ≤ 0.Uslov (47) zove se Lax-ova entropijska nejednakost, i služi da iz klaseslabih rešenja izdvoji fizički relevantna rešenja. Preciznije, L ∞ −rešenjeu, sistema (42) je dopustivo ako svi konveksni entropijski parovi zadovoljavaju(47) u smislu distribucija na R 2 +, tj. ako važi∫ ∫(φ t η(u) + φ x q(u)) dx dt ≥ 0,za sve test funkcije φ ∈ C 1 0(R 2 +), pod uslovom da je η konveksna, tj.∇ 2 η > 0.Ovaj uslov se dalje, prirodno proširuje i na meroznačna rešenja.Pokazaćemo da Young-ova mera koja se dobija iz niza rešenja paraboličnogsistema (33), kao meroznačno rešenje, zadovoljava entropijskeuslove. Isti rezultat za slaba rešenja, sada postaje posledica sledećeteoreme.

Skalarni zakon održanja 33Teorema 6. Neka je ν Young-ova mera dobijena iz niza rešenja paraboličnogsistema (33), koji je uniformno ograničen u L ∞ . Tada je ν meroznačnorešenje sistema (42) koje zadovoljava uslov(48) ∂ t 〈ν y , η(λ)〉 + ∂ x 〈ν y , q(λ)〉 ≤ 0u smislu distribucija na R 2 +, za sve konveksne entropijske parove (η, q).Dokaz. Iz uslova kompatibilnosti (44) imamo da je)∂ t η(u ε ) + ∂ x q(u ε ) = ∇η(u ε )(∂ t u ε + ∇f(u ε )∂ x u ε ,a iz jednačine (33) imamo da je to dalje jednako sašto možemo zapisati kaoε∇η(u ε )∂ xx u ε ,ε∂ xx η(u ε ) − ε∇ 2 η(u ε )(∂ x u ε , ∂ x u ε ).Primetimo da je ε∇ 2 η(u ε )(∂ x u ε , ∂ x u ε ) ≥ 0, što nam daje sledeći račun(49)∂ t η(u ε ) + ∂ x q(u ε ) = ∇η(u ε )(∂ t u ε + ∇f(u ε )∂ x u ε )= ε∇η(u ε )∂ 2 xu ε= ε∂ xx η(u ε ) − ε∇ 2 η(u ε )(∂ x u ε , ∂ x u ε )≤ ε∂ xx η(u ε ).Sada posmatramo granični proces kada ε → 0. Koristimo činjenice dajew ∗ − lim η(u εj ) = 〈ν y , η(λ)〉,w ∗ − lim q(u εj ) = 〈ν y , q(λ)〉.Uz primedbu da desna strana nejednakosti (49) teži ka nuli u distributivnomsmislu, dobijamo da važi (48). □Definicija 6. Sa M ćemo obeležiti klasu meroznačnih rešenja sistema(42), a sa A ona meroznačna rešenja koja zadovoljavaju uslov(48) za sve konveksne entropijske parove (η, q). Zvaćemo ih dopustivameroznačna rešenja.2.5. Skalarni zakon održanja. Sada ćemo pretpostaviti da je u (42)funkcija f : R → R, tj. posmatraćemo skalarni zakon održanja(50) ∂ t u + ∂ x f(u) = 0, f : R → R.Bez uticaja na opštost, pretpostavićemo da je f rastuća. Za dokazjedinstvenosti Dirac-ovih rešenja unutar klase A, koristićemo specijalnuklasu entropijskih parova(51) η(λ, k) = |λ − k| q(λ, k) = |f(λ) − f(k)|,

34 Meroznačna rešenjaindeksiranu sa k ∈ R. Ova klasa uslova je jako bitna u teoriji slabihrešenja zakona održanja, jer je dovoljno definisati uslov dopustivosti koristećisamo tu klasu. Naime, Lax[l1] je primetio da zatvaranje skupasvih konveksnih kombinacija funkcija aλ + b i |λ − k| daje klasu svihkonveksnih funkcija. Stoga se često u literaturi može naći sledeći kriterijum.Definicija 7. L ∞ -rešenje jednačine (50) je dopustivo ako(52) ∂ t η(u(x, t), k) + ∂ x q(u(x, t), k) ≤ 0,važi, u distributivnom smislu, za sve k, gde su η i q dati sa (51) .Takod¯e je poznat rezultat, [l1], da ako su slaba L ∞ -rešenja u 1 i u 2dopustiva, odnosno ako zadovoljavaju uslov(53) ∂ t η(u j ) + ∂ x q(u j ) ≤ 0, j = 1, 2za sve entropijske parove, onda je operator rešenja L 1 -kontrakcija, usmislu da je(54)∫ +∞−∞|u 1 (x, t) − u 2 (x, t)| dx ≤∫ +∞−∞|u 1 (x, 0) − u 2 (x, 0)| dx.Ova osobina, kao i jedinstvenost Dirac-ovih rešenja u A, o čemu ćemopisati kasnije, posledica su tzv. osobine simetrije. Naime,|λ − k|, |f(λ) − f(k)|je konveksni entropijski par po λ za sve k, a isto tako može da seposmatra kao konveksni entropijski par po k za sve λ.2.5.1. Usrednjeni princip kontrakcije za skalarnu jednačinu. Neka je νmeroznačno rešenje sistema (50) u klasi A, što znači da(55) ∂ t 〈ν y , η(λ)〉 + ∂ x 〈ν y , q(λ)〉 ≤ 0u smislu distribucija na R 2 +, za sve konveksne entropijske parove (η, q).Dalje, neka je w jedinstveno dopustivo L ∞ -rešenje sistema (50) sapočetnim uslovom w 0 . Formalno, nejednakost kontrakcije je(56) E ≡ ∂ t 〈 ν y , η(λ, w(y)) 〉 + ∂ x 〈 ν y , q(λ, w(y)) 〉 ≤ 0.Za sada ćemo samo formalno diferencirati nejednakost (56) koristećipravilo o proizvodu. Zapisaćemo E kao sumu E 1 + E 2 ,E 1 = 〈 ∂ t ν y , η(λ, w) 〉 + 〈 ∂ x ν y , q(λ, w) 〉E 2 = 〈 ν y , ∂ t η(λ, w) + ∂ x q(λ, w) 〉.Kako je w = w(y) dopustivo, a (η, q) konveksni entropijski par po k,za sve λ, imamo(57) ∂ t η(λ, w(y)) + ∂ x q(λ, w(y)) ≤ 0.

Skalarni zakon održanja 35Kako je ν dopustivo, a (η, q) konveksni entropijski par po λ, za sve k,imamo(58) ∂ t 〈 ν y , η(λ, k) 〉 + ∂ x 〈 ν y , q(λ, k) 〉 ≤ 0.U nejednakost (58) možemo da diferenciramo, tj. da izvodom prod¯emopod integral, pa dobijamo∫∫∫∫∂ t η(λ, k) dν y +∂ x q(λ, k) dν y = η(λ, k) d(∂ t ν y )+ q(λ, k) d(∂ x ν y ),pa imamo(59) 〈 ∂ t ν y , η(λ, k) 〉 + 〈 ∂ x ν y , q(λ, k) 〉 ≤ 0, za sve k.Ako fiksiramo y, i zamenimo k sa w(y) u (59), dobijamo E 1 ≤ 0, aako fiksiramo y i integralimo po λ, iz (57) imamo da je E 2 ≤ 0. Kaoposledicu, kad integralimo E po x, dobijamo da jeddt∫ +∞−∞〈 ν y , | λ − w(x, t)| 〉 dx ≤ 0.Integral u gornjoj nejednakosti zove se usrednjena devijacija za ν, kojapotiče od Dirac-ovog rešenja koncentrisanog u w(y). Stoga kažemoda je usrednjena devijacija za ν, koja potiče od Dirac-ovog rešenjakoncentrisanog u w(y), nerastuća po vremenu.Posledica ovog računa biće da ako je ν na početku Dirac-ova merakoncentrisana u w 0 (x), onda jeν y = δ w(y) .Sledeća teorema opravdava dosadašnji račun. Samo ćemo je formulisatii dati nekoliko primedbi. Precizan, kompletan i jasan dokaz možese naći u [dp], gde zauzima tri sitno kucane stranice, 242-244. Kasnijeće nam trebati njene posledice za jedinstvenost Dirac-ovih rešenja.Teorema 7. Neka je w 0 ∈ L ∞ i w jedinstveno dopustivo L ∞ −rešenjeproblema(60)∂ t u + ∂ x f(u) =0 ;u(x, 0) =w 0 (x).f : R → RAko je ν dopustivo mv-rešenje problema (50), takvo da je supp ν y ⊂[a, b], gde je [a, b] fiksiran, zatvoren interval, tadavaži u smislu distribucija na R 2 +.E ≤ 0,

36 Meroznačna rešenjaPrimedba 1. Uslov teoreme o uniformnoj ograničenosti nosača jesamo tehnički pogodna, ali nije esencijalna. Klasa mv-rešenja iz Akoja imaju uniformno ograničen nosač je neprazna, što je posledicaYoung-ove teoreme (teorema 3) i teoreme o egzistenciji (teorema 5).Primedba 2. Nejednakost (56) može biti izražena u jeziku tenzorskogproizvoda ν ⊗ σ na R × R, gde je σ Dirac-ovo rešenje asocirano sa w:(61) ∂ t 〈 ν ⊗ σ, | λ − µ| 〉 + ∂ x 〈 ν ⊗ σ, | f(λ) − f(µ)| 〉 ≤ 0,σ y = δ w(y) .Koristićemo uobičajenu notaciju∫∫〈 ν ⊗ σ, h(λ, µ) 〉 = h(λ, µ) dν(µ) dσ(µ),za očekivanu vrednost od h.R×RPrimedba 3. Nejednakost (61) može da se uopšti za opšti oblik zakonaodržanjam∑∂ t u + ∂ xj f j (u) = 0,na nejednakost∂ t 〈 ν ⊗ σ, | λ − µ| 〉 +j=1m∑∂ xj 〈 ν ⊗ σ, | f(λ) − f(µ)| 〉 ≤ 0.j=12.5.2. Jedinstvenost Dirac-ovih rešenja skalarne jednačine. Cilj nam jeda dod¯emo do posledice teoreme 7 koja kaže da je dopustivo rešenjeDirac-ovo, ako je početni uslov tačkasta masa. Pretpostavićemo, zbogjednostavnijeg računa, da je početni uslov w 0 (x) ∈ L 1 ∩ L ∞ i da νzadovoljava(62)∫ +∞−∞〈 ν y , | λ| 〉 dx ≤ const.U tom slučaju, uz pomoć (62) i standardne L 1 −granice stabilnosti,(63)∫ +∞−∞lako zaključujemo da je|w(x, t)| dx ≤V (t) def=∫ +∞−∞∫ +∞−∞〈 ν y , | λ| 〉 dx|w 0 (x)| dx,dobro definisana L ∞ funkcija. Iz nejednakosti (56) lako sledi da jeV (t 2 ) ≤ V (t 1 ), za s.s. t 1 < t 2 , tj. da je V jednaka s.s. nekoj nerastućoj

Skalarni zakon održanja 37svuda definisanoj funkciji od t. Ako uvedemo još jedan granični uslov,npr.(64) limt→0∫ +∞−∞〈 ν y , | λ − w 0 (x)| 〉 dx = 0,dobijamo garanciju da je ν Dirac-ovo rešenje.imaćemo malo slabiji uslov.U teoremi koja slediTeorema 8. Neka je w 0 ∈ L ∞ ∩ L 1 i ν dopustivo mv-rešenje od (50),takvo da je supp ν y ⊂ [a, b], gde je [a, b] fiksiran, zatvoren interval.Tada je ν Dirac-ovo rešenje ako važe uslovi (62) i1limT →0 T∫ T ∫ +∞0−∞〈 ν y , | λ − w 0 (x)| 〉 dx dt = 0.Dokaz. Iz (63) imamo da je∫lim | w(x, t) − w 0 (x)| dx = 0,t→0a potom i10 = limT →0 T0∫1 TT →00∫ +∞= limT=−∞∫ T ∫ +∞−∞〈 ν y , | λ − w 0 (x)| 〉 dx dt =V (s) ds = V (0) =〈 ν (x,0) , |λ| 〉 dx =∫ +∞−∞〈 δ w0 (x), |λ| 〉 dx.Zaključujemo da je V s.s.= 0, jer je s.s. jednaka ograničenoj nenegativnojnerastućoj funkciji. □2.5.3. Egzistencija mv-rešenja sa Dirac-ovim početnim uslovom. Nijeteško dobiti egzistenciju mv-rešenja sa uniformnim nosačem problema(50), koje zadovoljava L 1 −granični uslov (62) i početni uslov (64).Treba samo primetiti da Young-ova mera ν asocirana sa nizom u εrešenja parabolične jednačine(65) ∂ t u + ∂ x f(u) = ε∂ xx u,sa početnim uslovom w 0 ∈ L 1 ∩L ∞ ima sve željene osobine. Ograničenje(62) sledi iz L 1 −principa maksimuma za skalarnu jednačinu (65) i w ∗ −konvergencije niza rešenja u ε :∫ +∞−∞|w ε (x, t)| dx ≤∫ +∞−∞|w 0 (x)| dx,w ∗ − limε→0| w ε | = 〈 ν y , | λ | 〉.

38 Meroznačna rešenjaPočetni uslov (64) može se dobiti na sličan način iz(66) limt→0∫ +∞−∞〈 ν y , | λ − w 0 (x)| 2 〉 dx = 0,kao posledica uslova dopustivosti i Jensen-ove nejednakosti. Graničniuslov (66) implicira da mere ν (x,t) w ∗ −konvergiraju ka Dirac-ovoj meriu w 0 (x), za s.s. x, i stoga važi (64). Dokaz jednakosti (66) može senaći u [dp], u delu o minimalnim rešenjima.2.5.4. Konvergencija metoda viskoznosti za skalarnu jednačinu. Kaoposledicu teoreme 8 dobijamo novi dokaz konvergencije metoda viskoznosti,primenjenog na Caushy-ev problem za skalarni zakon održanja,koristeći uniformnu kontrolu samo za amplitude viskoznih rešenja u ε .Teorema 9. Svaki niz u ε rešenja Caushy-evog problema∂ t u + ∂ x f(u) = ε ∂ xx u(67)u(x, 0) = u 0 (x)sa početnim uslovom u 0 ∈ L 1 ∪ L ∞ , ima podniz koji konvergira u jakojtopologiji prostora L 1 loc (R2 +), ka jedinstvenom dopustivom rešenju problema(65) sa početnim uslovom u 0 .Dokaz. Iz niza u ε možemo izdvojiti podniz i Young-ovu meru ν(v. teoremu 3), koja služi kao jedno dopustivo mv-rešenje hiperboličnejednačine(68) ∂ t u + ∂ x f(u) = 0,koje zadovoljava usrednjeno L 1 -ograničenje, tj. uslov (62), i početniuslov (64). Iz teoreme 8 zaključujemo da je ν Dirac-ovo rešenje, a izposledice 1 da je konvergencija jaka. □Primedba 4. Ako je ν jedinstvena, onda imamo konvergenciju celefamilije u ε .Sada imamo dovoljno materijala da poredimo ovaj koncept sa konceptomaproksimativnih rešenja.

3. Aproksimativna rešenja zakona održanja iekvivalencija sa konceptom meroznačnih rešenja3.1. G s (Ω)-osnovni pojmovi.3.1.1. Konstrukcija algebre G s (Ω). Posmatrajmo nizove glatkih funkcija(u ε ) ε>0 ∈ (C ∞ (Ω)) (0, ∞) , Ω (otvoren) ⊂ R n . Takav niz zvaćemo umeren(moderate) ako on zadovoljava uslov∀K ⊂⊂ Ω, ∀α ∈ N n 0, ∃N > 0 tako da je||∂ α u ε || L ∞ (K) = O(ε −N ) , ε → 0.Skup umerenih nizova glatkih funkcija obeležavaćemo sa E M,s [Ω]. Niziz E M,s [Ω] zvaćemo nula-niz (null, negligible) ako on zadovoljava uslov∀K ⊂⊂ Ω, ∀α ∈ N n 0, ∀M > 0 važi||∂ α u ε || L ∞ (K) = O(ε M ) , ε → 0.Nula-nizove obeležavaćemo sa N s (Ω). E M,s [Ω] je algebra sa parcijalnimizvodima u kojoj su operacije definisane po komponentama, tj.članovima nizova. N s (Ω) je ideal algebre E M,s [Ω], zatvoren u odnosuna parcijalne izvode. U [gkos, str.11] možete naći dokaz da je umereniniz nula-niz ako i samo ako zadovoljava uslov∀K ⊂⊂ Ω, ∀M > 0 važiDakle, niz (u ε ) ε>0 je nula-niz ako||u ε || L ∞ (K) = O(ε M ) , ε → 0.ε −M u ε ∈ L ∞ loc(Ω), za sve M > 0.Algebru specijalnih uopštenih funkcija definisaćemo kao faktor algebruG s (Ω) = E M,s [Ω]/N s (Ω).Navešćemo neke osobine algebre G s (Ω) koje su nam potrebne zarešavanje zakona održanja. Njene elemente (klase ekvivalencije) obeležavaćemosa u = [(u ε ) ε>0 ] = [(u ε ) ε>0 ] N . Više i detaljnije o algebri G s (Ω)možete naći u [gkos].Sadržaj ovog poglavlja, uz potrebne definicije i tvrd¯enja iz predhodnog, izloženje na seminaru grupe za analizu, Departman za matematiku, PMF, Novi Sad,10.1.2005.

40 Aproksimativna rešenja3.1.2. Potapanje E ′ (Ω), D ′ (Ω), E(Ω), D(Ω), L ∞ (Ω) u G s (Ω). Prostordistribucija sa kompaktnim nosačem, E ′ (Ω), može se potopiti u G s (Ω)na sledeći način. Fiksirajmo brzo opadajuću glatku funkciju ρ na R n ,takvu da je∫ρ(x)dx = 1 iR∫n x α ρ(x)dx = 0, za sve α ∈ R n 0, |α| ≥ 1R ni neka jeρ ε (x) = ε −n ρ(x/ε), x ∈ R n , ε ≥ 0.Ovakvu funkciju nazivamo molifajer. Dato w ∈ E ′ (Ω) možemo dodefinisativan Ω nulom, a zatim definisati preslikavanjeι(w) = [(w ∗ ρ ε ) ε≥0 ].Preslikavanje ι je linearno, injektivno i očuvava parcijalne izvode. Štaviše,za v, w ∈ C ∞ 0 (Ω) ≡ D(Ω), glatke funkcije sa kompaktnim nosačem, važiι(vw) = ι(v) ι(w).Stoga je D(Ω) podalgebra algebre G s (Ω). To sledi iz činjenice da zav ∈ D(Ω), (v∗ρ ε −v) ε>0 ∈ N s (Ω), što se lako može pokazati korišćenjemTaylor-ovog razvoja i strukture molifajera ρ. Istim ovim preslikavanjem,možemo potopiti i L ∞ (Ω). Preslikavanje ι može se proširiti i na potapanjeprostora distribucija D ′ (Ω) u G s (Ω) koje se poklapa sa datim preslikavanjemna E ′ (Ω), kao i na L ∞ (Ω). Dokaz ovoga je mnogo složeniji ikoristi činjenice da su D ′ (Ω) i G s (Ω) snopovi. Može se naći u [gkos, str.16-25]. Za dato u ∈ D ′ (Ω) i relativno kompaktan otvoren skup ω ⊂ Ω,biramo Ψ ω ∈ D ′ (Ω), Ψ ω ≡ 1 na ω. Neka je ι ω (u) = [((Ψ ω u) ∗ ρ ε ) ε>0 ].Familija (ι ω (u)) ω⊂Ω elemenata algebre G s (Ω) je koherentna (različitielementi se poklapaju na presecima), pa postoji jedinstveni elemenatiz G s (Ω) čija restrikcija na sve ω se poklapa sa ι ω (u). Taj elemenatdefiniše ι(u) ∈ G s (Ω). Preslikavanje ι je linearno, injektivno, očuvavaparcijalne izvode i za v, w ∈ C ∞ (Ω) ≡ E(Ω), glatke funkcije na Ω, važiι(vw) = ι(v) ι(w), pa je E(Ω) podalgebra algebre G s (Ω).3.1.3. Kompozicija, jednakost i asociranost u G s (Ω). Da bi kompozicijafunkcije f i u ∈ G s (Ω) bila dobro definisana, dovoljno je da f budeglatka, polinomijalno ograničena funkcija sa polinomijalno ograničenimizvodima. To znači da, ako je f glatka, polinomijalno ograničenafunkcija sa polinomijalno ograničenim izvodima, i u = [(u ε ) ε ] ∈ G s (Ω),onda je kompozicija f(u) ∈ G s (Ω), i definisana je preko predstavnikaf(u) = [(f(u ε )) ε>0 ]. Takod¯e ako je u ∈ G s (Ω) dat preko dva različita

G s (Ω) 41predstavnika, tj. u = [(u ε ) ε>0 ] = [(v ε ) ε>0 ], što znači da je (u ε −v ε ) ε>0 ∈N s (Ω), onda je i (f(u ε ) − f(v ε )) ε>0 ∈ N s (Ω).Ovde smo videli da jednakost dva elementa u, v ∈ G s (Ω) znači da(u ε − v ε ) ε ∈ N s (Ω), tj. da za sve M > 0, ε −M (u ε − v ε ) ∈ L ∞ loc (Ω),odnosno, u skladu sa definicijom nula-nizova,sup |∂ α u ε (x) − ∂ α v ε (x)| ≤ cε M , ε → 0,x∈Kza sve K, α, M. Osim jednakosti, na G s (Ω) imamo definisanu i relacijuasociranosti. Naime, za dva elementa u, v iz G s (Ω) kažemo da su asocirani,u ≈ v, ako za njihove predstavnike (u ε ) ε>0 i (v ε ) ε>0 važiu ε − v ε → 0 u D ′ (Ω), kad ε → 0,tj. lim〈u ε − v ε , φ〉 ≡ lim (u ε − v ε )φ dx = 0, za sve φ ∈ C0 ε→0 ε→0∫Ω∞ (Ω).Dve distribucije su asocirane ako i samo ako su jednake, tj. za g, h ∈D ′ (Ω) važih = g ⇐⇒ ι(g) ≈ ι(h)∫⇐⇒ (h ∗ ρ ε − g ∗ ρε)φ dx → 0, ε → 0Ω⇐⇒ 1 ∫ ∫ () ( x)h(x − y) − g(x − y) ρ φ(y) dx dy → 0, ε → 0,ε n εΩΩ∫∫što znači da (h − g)ρφ dx dy ide brže u nulu od ε n .Ako je g ∈ L ∞ (Ω), jedan od predstavnika za ι(g) je (g∗ρ ε ) ε≥0 . Znamoda je g ∗ρ ε ograničena nezavisno od ε, i da g ∗ρ ε → g u L 1 loc (Ω). Odavdesledi da za g, h ∈ L ∞ (Ω),ι(gh) ≈ ι(g) ι(h).Stoga koncept asociranosti ne služi samo da bismo definisali aproksimativnarešenja (rešenja problema (72)), nego i da proširi konceptmnoženja sa klasičnog proizvoda funkcija na uopštene funkcije. Višedetalja o ovoj temi možete naći u [b, c0, clr]. Bitno je i da je asocijacijasaglasna sa izvodima, kao i sa množenjem C ∞ -funkcijom, tj. zau, v ∈ G s (Ω), g ∈ C ∞ (Ω), α ∈ N n 0 iz u ≈ v sledii∂ α u ≈ ∂ α vι(g)u ≈ ι(g)v.

42 Aproksimativna rešenja3.1.4. Zakoni održanja u G s (Ω)-uopštena i aproksimativna rešenja. Posmatraćemosada zakon održanjan∑ ∂(69) div f(u) ≡ f j (u) = 0,∂x jj=1gde je f = (f 1 , ..., f n ) : R → R n glatka funkcija i u : Ω → R. Takod¯ećemo posmatrati i njegovu paraboličnu aproksimaciju(70) div f(u) = εL(u),gde je L linearan parcijalni diferencijalni operator sa glatkim koeficijentimai ε > 0. Kako su predstavnici elemenata iz G s (Ω) nizovi glatkihfunkcija, u G s (Ω) jednačina (69) može da se interpretira kao(71)n∑j=1f ′ j(u) ∂u∂x j= 0.u ∈ G s (Ω), rešenje od (71), zvaćemo (jako) uopšteno rešenje. Primetimoda ovaj koncept možemo koristiti i za rešavanje neodrživih jednačina,[b, cclr, clr]. Ipak, ovako formulisana jednačina ne dozvoljavaprekidna rešenja, jer različiti održivi oblici od (71) mogu biti ekvivalentniu G s (Ω), a davati različite uslove na prekidima (skokovima).Zbog toga ćemo posmatrati jednačinun∑(72)f j(u) ′ ∂u ≈ 0.∂x jj=1Rešenje ove jednačine, u ∈ G s (Ω), zvaćemo aproksimativno rešenje.(73)U daljem radu, za funkciju f pretpostavićemo da jef : R → R n , glatka funkcija najviše polinomijalnog rastačiji su izvodi takod¯e najviše polinomijalnog rasta.Ova pretpostavka nam treba da bismo imali dobro definisanu kompozicijufunkcije i uopštene funkcije.Primedba 5. (ı) Pod pretpostavkom (73), svako jako rešenje u ∈G s (Ω) je aproksimativno rešenje. Da bismo to videli podsetimo sedefinicija ovih pojmova i šta one zapravo znače. Ako je u ∈ G s (Ω)jako rešenje, to znači da je ∑ n ∂j=1 ∂x jf j (u) = 0 u G s (Ω). Dalje, ako jeu = [(u ε ) ε>0 ], onda je[( ∂f1 (u ε )div f(u) =+ ... + ∂f ]n(u ε )= 0,∂x 1 ∂x n)ε

što znači datj.supx∈KG s (Ω) 43( ∂f1 (u ε )+ ... + ∂f n(u ε )∈ N s (Ω),∂x 1 ∂x n)ε( ∂f1 (u ε )∣ ∂α + ... + ∂f )∣n(u ε ) ∣∣∣≤ cε M , ε → 0∂x 1 ∂x nza sve K, M, α. Sa druge strane, u ∈ G s (Ω) je aproksimativno rešenjeako∂f 1 (u ε )+ ... + ∂f n(u ε )→ 0 u D ′ (Ω), kad ε → 0.∂x 1 ∂x nSada je jasno da jednakost u G s (Ω) implicira asociranost.(ıı) Ako je v ∈ L ∞ (Ω) slabo rešenje od (69) (što znači da je div f(v) =0 u D ′ (Ω)), onda je u = ι(v) = [(v ∗ ρ ε ) ε ] ∈ G s (Ω) aproksimativno rešenje.Naime, kako v ∗ ρ ε → v u L 1 loc , onda i f(v ∗ ρ ε) → f(v). Stogadiv f(v ∗ ρ ε ) → 0, što znači da je div f(u) ≈ 0. □U mnogim slučajima, jednačina (70) ima klasično rešenje u ε za sveε > 0, i tada gotovo uvek važi princip maksimuma, pa stoga imamo daje niz (u ε ) ε>0 ograničeni podskup od L ∞ (Ω). Sada ćemo pokazati kakose iz takvog niza konstruiše aproksimativno rešenje u ∈ G s (Ω).Definicija 8. Za u ∈ G s (Ω) reći ćemo da je ograničenog tipa, ako imapredstavnika (u ε ) ε>0 ∈ E M,s [Ω], koji je ograničeni niz u L ∞ (Ω).Teorema 10. Neka f zadovoljava (73). Ako postoji niz (v ε ) ε>0 ⊂L ∞ (Ω), ograničen u L ∞ (Ω), tako da div f(v ε ) → 0 u D ′ (Ω) kad ε → 0,tada postoji aproksimativno rešenje u ∈ G s (Ω) jednačine div f(u) ≈ 0,i u je ograničenog tipa.Dokaz: U slučaju da je (v ε ) ε>0 niz umerenih glatkih funkcija, tj.(v ε ) ε>0 ∈ E M,s [Ω], možemo uzeti klasu tog niza za traženo rešenje u ∈G s (Ω). U opštem slučaju, prvo ćemo uglačati niz (v ε ) ε>0 , a onda izvestizavisnost od ε na sledeći način. Neka je φ ∈ D(R n ), suppφ ⊂ Ω,čiji je integral jednak jedan i neka je φ δ (x) = δ −n φ( x ). Za fiksiranoδε > 0, imamo da v ε ∗ φ δ → v ε u L 1 loc (Ω) kad δ → 0, i da je v ε ∗ φ δograničena nezavisno od δ u L ∞ (Ω), a od ranije imamo da je ograničenanezavisno i od ε. Neka je, dalje, (K m ) m≥1 niz kompaktnih podskupovaod Ω koji pokriva Ω. Možemo naći strogo opadajući niz pozitivnihbrojeva (δ m ) m≥1 , koji konvergira ka nuli, takav da je||v 1/m ∗ φ δ − v 1/m || L 1 (K m ) ≤ 1 m , za 0 < δ ≤ δ m.

44 Aproksimativna rešenjaDefinišimo jednu rastuću, po delovima konstantnu funkciju η : (0, ∞) →(0, 1]i preko nje traženi nizη(ε) = 1 m , za δ m < ε ≤ δ m , m ≥ 1,η(ε) = 1, za ε ≥ δ 1 ,u ε = v η(ε) ∗ φ ε , za ε ∈ (0, ∞).Primetimo da je svaka funkcija u ε glatka, da familija (v η(ε) ) ε>0 imaistu L ∞ -granicu kao i (v ε ) ε>0 i da je ∂ α u ε = v η(ε) ∗ ε −|α| (∂ α φ) ε . Odatleimamo da je (u ε ) ε>0 umeren niz glatkih funkcija. Neka je u njegovaklasa u G s (Ω). Jasno, u je ograničenog tipa. Po definiciji, imamo da je||u ε − v η(ε) || L 1 (K m ) ≤ 1 m , za δ m+1 < ε ≤ δ m ,odakle imamo da u ε − v η(ε) → 0 u L 1 loc (Ω). Štaviše, obe familije suograničene u L ∞ (Ω). Stoga imamo daf(u ε ) − f(v η(ε) ) = (u ε − v η(ε) )∫ 1takod¯e konvergira ka nuli u L 1 loc (Ω), a odatle i0∇f ( τu ε + (1 − τ)v η(ε))dτ,(74) div f(u ε ) − div f(v η(ε) ) → 0, u D ′ (Ω).Uslov teoreme je da div f(v ε ) → 0, a kako je v η(ε) podniz niza v ε to istovaži i za v η(ε) . Stoga iz (74) dobijamo da div f(u ε ) → 0 u D ′ (Ω), štoznači da je divf(u) ≈ 0. □U prethodnom poglavlju smo videli da slična tvrd¯enja važe i zameroznačna rešenja zakona održanja, stoga je bilo prirodno pretpostavitida postoji izvesni vid ekvivalencije izmed¯u ova dva koncepta.3.2. Ekvivalencija aproksimativnih i meroznačnih rešenja.Teorema 11. a) Neka je u ∈ G s (Ω) uopštena funkcija ograničenog tipa,koja zadovoljava div f(u) ≈ 0. Tada svaka Young-ova mera (µ x ) x∈Ωkonstruisana iz podniza svakog predstavnika od u je mv-rešenje sistemadiv f(u) = 0.b) Ako je u ≈ i(v), za neko v ∈ L ∞ (Ω), tada je v(x) = ∫ λdµ x (λ) zaskoro sve x ∈ Ω.

Ekvivalencija 45Dokaz. a) Neka je u = [(u ε ) ε ] ∈ G s (Ω) ograničenog tipa, tj. ||u ε || L ∞ 0 i za sve ε. Tada, na osnovu Young-ove teoreme (teorema2, poglavlja Young-ova mera) imamo da postoji podniz (u εk ) k ifamilija mera (µ x ) x , supp µ x ⊂ [−M, M] na R, definisanih za skorosve x ∈ Ω, tako da za sve g ∈ C(R) imamo slabu* konvergencijug(u εk ) −→ ḡ, g(x) ≡ ∫ g dµ x , u L ∞ (Ω). Specijalno, za naše funkcije f j ,imamo daw ∗ − lim f j (u εk ) = ¯f j , u L ∞ (Ω).k→∞Ali kako je u aproksimativno rešenje, znamo da važidivf(u εk ) → 0,u D ′ (Ω).Tako dobijamo da je∑[ ∫ ∂∂x j]f j dµ x = 0, u D ′ (Ω),što kompletira dokaz da je Young-ova mera (µ x ) x∈R konstruisana izpodniza svakog predstavnika od u, mv-rešenje sistema div f(u) = 0.b) Specijalno, iz Young-ove teoreme imamo da u εk −→ ∫ +∞λ dµ −∞ x(λ),odakle ∫ imamo da, ako je neko v ∈ L ∞ (Ω), i(v) ≈ u, tada je v(x) =λdµx (λ), s.s. □Primedba 6. Čak i ako je i(v) ≈ u za neko v ∈ L ∞ (Ω), može dase dogodi da različiti podnizovi proizvode različite Young-ove mere. Toje povezano sa činjenicom da g(u), u opštem slučaju, nije asociranosa g(i(v)). U ovom smislu, u ∈ G s (Ω) može da se posmatra kaopredstavnik familije Young-ovih mera. Problem jedinstvenosti diskutovaćemona kraju ovog poglavlja.Teorema 12. a) Neka je (µ x ) x∈Ω mv-rešenje sistema div f(u) = 0.Tada postoji niz (u ε ) ε>0 ∈ E M,s [Ω], čija klasa u je ograničenog tipa izadovoljava div f(u) ≈ 0.b) Štaviše, ovaj niz indukuje jedinstvenu Young-ovu meru koja je∫jednaka sa (µ x ) x∈Ω za skoro sve x ∈ Ω, i i(v) ≈ u, gde je v(x) =λdµx (λ).Dokaz. a) Neka je (µ x ) x∈Ω mv-rešenje sistema div f(u) = 0. Tadana osnovu diskusije iz poglavlja Yung-ova mera (v. str. 25) imamo dapostoji uniformno ograničeni niz (v k ) k ⊂ L ∞ (Ω) koji indukuje (µ x ) x∈Ωkao Young-ovu meru. To znači dav k → v slabo* u L ∞ , k → ∞

46 Ekvivalencijai da za sve g ∈ C(R)g(v k ) → ḡ slabo* u L ∞ , k → ∞gde je ḡ(x) = ∫ g dµ x . Odatle imamo da kad k → ∞∑ ∂f j (v k ) −→ ∑ [ ∫ ]∂f j dµ x , u D ′ (Ω)∂x} {{ j ∂x} } j{{ }∫div f(v k )div f(λ) dµx(λ)Ova granična vrednost je nula, jer je (µ x ) x∈Ω mv-rešenje sistema div f(u)= 0. Dakle dobili smo da je∑ ∂lim f j (v k ) = 0 u D ′ (Ω).k→∞ ∂x jSada samo primenimo teoremu 10, iz koje dobijemo da postoji aproksimativnorešenje u ∈ G s (Ω) jednačine div f(u) ≈ 0, i u je ograničenogtipa.b) Za dokaz ovog dela trebaće nam teorema 10. Kako za sve g ∈C(R), g(v k ) → ḡ, slabo* u L ∞ , k → ∞, imamo da svi podnizovi od v kindukuju istu Young-ou meru. Za novi niz v m uzećemo v 1 iz dokazamteoreme 10, tj. imaćemov η(ε) = v m , za δ m+1 < ε ≤ δ m , m ≥ 1.Sada formiramo u ε = v η(ε) ∗ φ ε i u = [(u ε ) ε>0 ] ∈ G s (Ω). Iz dokazateoreme 10 znamo da u ε − v η(ε) → 0, u L 1 loc (Ω), ε → 0. Stoga ig(u ε ) − g(v η(ε) ) → 0, u L 1 loc (Ω), ε → 0, za sve g ∈ C(R), tj. (g(u ε)) ε i(g(v η(ε) )) ε imaju iste slabe* limese u L ∞ (Ω), za sve g. Odatle sledi da(u ε ) ε>0 i (v η(ε) ) ε indukuju istu Young-ovu meru. Sada postaje jasno daje u ≈ i(v) = i(lim k→∞ v k ) i da je v(x) = ∫ λ dµ x (λ). □Primedba 7. I u ovom slučaju nemamo jedinstvenost, tj. uopštenafunkcija u definisana u dokazu teoreme 12 nije jedinstvena, kao niYoung-ova mera (µ x ) x iz teoreme 11. Nejedinstvenost proizilazi iz činjeniceda je ideal N s (Ω) strogo manji od prostora L 1 loc-nula nizova,koji je strogo manji od prostora D ′ (Ω)-nula nizova, a znamo da za uniformnoograničene nizove (v ε ) ε , (w ε ) ε ∈ L ∞ (Ω), koji, redom, indukujuYoung-ove mere (µ x ) x i (ν x ) x važi[(v ε ) ε ] = [(w ε ) ε ] u G s (Ω) ⇐⇒ (v ε − w ε ) ε ∈ N s (Ω),(µ x ) x = (ν x ) x , s.s. u Y(Ω) ⇐⇒ v ε − w ε → 0, ε → 0, u L 1 loc(Ω),[(v ε ) ε ] ≈ [(w ε ) ε ] u G s (Ω) ⇐⇒ v ε − w ε → 0, ε → 0, u D ′ (Ω).

Ekvivalencija 47Stoga, ako predstavnici dve uopštene funkcije indukuju istu Young-ovumeru, one će biti asocirane, a neće biti jednake u G s (Ω).

48Dodatak A. O Radonovim meramaRadonove mere se definišu na Hausdorfovom prostoru, X, sa topologijomτ. Izvorna definicija podrazumeva par mera (M, m), gde je mesencijalna mera asocirana sa M, što znači da jem(A) = sup{M(B)|B ⊂ A, M(B) < ∞},koji ima sledeće osobine:(ı) M je spoljno regularna, tj. za sve O ∈ τ,M(O) = inf{M(V )|O ⊂ V, V je otvoren }.(ıı) M je lokalno konačna, tj.svaka tačka ima okolinu konačne mere M.(ııı) m je unutrašnje regularna, tj. za sve O ∈ τ,m(O) = sup{m(K)|K ⊂ O, K je kompaktan }.(ıııı) m = M na otvorenim i skupovima konačne mere M.Posledica osobine (ıı) je da svi kompaktni skupovi imaju konačnumeru M.Izvornoj definiciji ekvivalentne su sledeće dve definicije.Definicija 9. M je Radonova mera ako je lokalno konačna , spoljnoregularna i za svaki otvoren skup U važiM(U) = sup{M(K)|K ⊂⊂ U}.Definicija 10. m je Radonova mera ako je lokalno konačna i unutrašnjeregularna.Više o Radonovim merama u [s1, ps].

Dodatak B. O funkcijama i merama ograničene varijacijeB.1. BV funkcije. Neka je u : J → R n . Totalna varijacija se definišekao{∑ NTotVar(u) = sup |u(x j+1 ) − u(x j )| : N, x 1 < ... < x N}.j=1Za u kažemo da je funkcija ograničene varijacije ako je T otV ar(u) < ∞.Navešćemo neke od osobina ovih funkcija. BV -funkcije imaju najvišeprebrojivo mnogo prekida. Granične vrednosti lim x→x+ u(x) i0lim x→x− u(x) su dobro definisane kao i granične vrednosti u beskonačnosti.Uz eventualno redefinisanje najviše prebrojivo mnogo vrednosti0ovih funkcija, dobijamo da su one desno neprekidne. Bitno je da zasvaku BV -funkciju u postoji po delovima konstantna funkcija v, takoda je ||u − v|| L ∞ ≤ ε i TotVar(v) ≤TotVar(u). Imamo i ocenu da je1ε∫ +∞−∞|u(x + ε) − u(x)| dx ≤ TotVar(u).Za ovakve funkcije važe slične teoreme kao za Young-ove mere. Navešćemojednu od njih:Teorema 1 (Helly). Neka je u ε : R → R n niz BV -funkcija, takvih daje TotVar(u ε ) ≤ c i |u ε (x)| ≤ M. Tada postoji podniz (isto indeksiran)koji konvergira ka funkciji koja ima iste osobine kao niz, tj.lim u ε(x) = u(x); TotVar(u) ≤ c; |u| ≤ M.ε→0Dokaz ove teoreme i više osobina BV -funkcija može se naći npr. u [br].B.2. BV loc . Neka je u = u(y 1 , ..., y n ). u ∈ BV loc ako i samo ako su njenidistribucioni izvodi D yj u mere, tj. ako za sve kompaktne skupove Kpostoji konstanta c K > 0 tako da je∫∣ u ∂φdy∂y j∣ ≤ c K||φ||,Kza sve φ ∈ C 1 c , supp φ ⊂ K.B.3. BV mere. Totalna varijacija mere µ, na σ-algebri skupa X, jeskupovna funkcija definisana saTotVar(µ) ≡v(µ, A)N∑:= sup{ |µ(A j )| : N, A j ⊂ A, A i ∩ A j = ∅, i ≠ j}.j=149

50Za µ kažemo da je mera ograničene varijacije ako je TotVar(µ) < ∞.U tom slučaju je TotVar mera na istoj σ-algebri. Primetimo da je tadaµ konačna, jer važi|µ(x)| ≤ v(µ, X).Skup svih mera ograničene varijacije obeležava se sa CA i on je Banahovprostor sa normom definisanom sa||µ|| = v(µ, X).Više o merama ograničene varijacije u [s1].

Dodatak C.O kompenzovanoj kompaktnostiKompenzovana kompaktnost je u uskoj vezi sa Young-ovim merama.Oba ova pojma služe za dobijanje jake iz slabe konvergencije, jer znamodag(w − lim u ε ) ≠ w − lim g(u ε )ig(s − lim u ε ) = s − lim g(u ε ).Da bismo obezbedili jaku konvergenciju nizu koji slabo konvergirapotrebne su nam dodatne pretpostavke. To može biti uniformna ograničenostizvoda (u tačkastoj ili usrednjenoj konvergenciji) ili kompaktnostu strogoj topologiji.Ako, naprimer, imamo sistem od dva zakona održanja, koji je (strogo)hiperboličan i prirodno nelinearan, L 1 -(jaku) kompaktnost (pod)nizaaproksimativnih rešenja možemo dobiti uz uslov da imamo W −1,2 -kompaktnost svih entropijskih polja.Ekvivalentan uslov tome je da se asocirana Young-ova mera redukujena Dirakovu.Više o kompenzovanoj kompaktnosti u [dp1,t,t1].51

52Spisak koji sledi obuhvata literaturu korišćenu za oba seminarskarada.Literatura[ba] Balder, E., New fundamentals of Young measure convergence, in Calculus ofVariations and Differential Equations (A.Ioffe, S. Reich and I. Shafrir, eds.),Chapman and Hall/CRC Research Notes in Math. 410, CRC Press, Boca Raton,(1999), 24-48.[b] Biagioni, H. A., A Nonlinear Theory of Generalized Functions Springer-VerlagBerlin Heidelberg, 1990.[bmo] Biagioni, H. A., Oberguggenberger, M., Generalised solutions to Burgersequation, J. Diff. Eq. 97(2) (1992), 263-287.[br] Bressan, A, Hyperbolic Systems of Conservation Laws, S.I.S.A., Italy, 2000.[bcml] Bernard, S., Colombeau, J. F., Meril, A., Remaki, L., Conservation Lawswith Discontinuous Coefficients, J. Math. Anal. Appl. 258, (2001), 63-86.[cclr] Cauret, J.J., Colombeau, J. F., Le Roux, A.Y., Discontinuous GeneralisedSolutions of Nonlinear Nonconservative Hyperbolic Equations, J. Math. Anal.Appl. 139(2), (1989).[c] Colombeau, J. F., Elementary Introduction in New Generalized Functions,North Holland 1985.[c0] Colombeau, J. F., New Generalized Functions and Multiplication of Distributions,North Holland 1985.[c1] Colombeau, J. F., The elasto-plastic shock problem as an example of the resolutionof ambiguities in the multiplication of distributioms, J. Math. Phys. 30(10)(1989), 2273-2279.[ch] Colombeau, J.F., Heibig, A., Nonconservative products in bounded variationfunctions, SIAM J.Math.Anal. 23(4)(1992), 941-949.[clr] Colombeau, J. F., Le Roux, A.Y., Multiplications of distributions in elasticityand hidrodinamics, J. Math. Phys. 29 (1988), 315-319.[clrnp] Colombeau, J. F., Le Roux, A.Y., Noussair, A., Perrot, B., Microscopicprofiles of shock waves and ambiguities in multiplications of distributions, SIAMJ. Numer. Anal. 26(4) (1989) 871-883.[cmo] Colombeau, J. F., Oberguggenberger, Approximate generalized solutions andmeasure valued solutions to conservation laws, preprint.[dp2] DiPerna, R.J., Generalized solutions to conservation laws ,In : J.M. Ball(Ed.), Systems of nonlinear partial differential equations : NATO ASI Series,C.Reidel, 1983.[dp] DiPerna, R.J., Measure-valued solutions to conservation laws.,Arch.Rat.Mech.Anal. 88 (1985), 223-270.[dp1] DiPerna, R.J., Compensated compactness and general systems of conservationlaws, Trans. AMS 292(2) (1985), 383-410.[dpm] DiPerna, R.J., Majda, A.J., Oscillations and Cconcentracions in weak solutionsof the incompressible fluid equations., Commun. Math. Phys. 108, (1987)667-689.[gkos] Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R., GeometricTheory of Generalized Functions with Applications to General Relativity,Kluwer Acadenic Publishers, 2001.[e] Evans, L.C., Partial Differential Equations, AMS, 1998.

[e2] Evans, L.C., Weak convergence methods for nonlinear partial differentionalequations , A.M.S., Providence, 1990.[fed] Federer, H., Geometric measure theory, Springer-Verlag, Berlin and New York,1969.[f] Friedlander, F.G., Introduction to the theory of distributions, Cambridge UniversityPress, 1982, 1998.[h] Hörmander,L., Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations,Springer-Verlag, 1997.[k] Kato,T., The Caushy problem for quasi-linear symetric hyperbolic systems,Arch.Rat.Mech,Anal. 58 (1975), 181-205.[kk] Keyfitz, B. L., Kranzer, H. C., Spaces of weighted measures for conservationlaws with singular shock solutions, J. Diff. Eq. 118(2) (1995), 420-451.[kr] Kružik, M., DiPerna - Majda measures and uniform integrability, J. Math.Anal. App. 198 (1996), 830-843. Article No. 0115[krr] Kružik, M., Roubìček, T., Explicit characterizacion of L p − Young measures,Comment.Math.Univ.Carolinae 39(3) (1998), 511-523.[l2] Lax, P.D., Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numericalcomputation., Comm.Pure Appl.DMath. 7 (1954), 169-193.[l1] Lax, P.D., Shock waves and entropy, in Contribution to Nonlinear FunctionalAnalysis, ed. E:A:Zarantonello, Academic Press, (1971), 603-634.[l] Lax, P.D., Hyperbolic Systems of Conservation Laws and mathematical theoryof shock waves, CBMS Monograph No11, SIAM (1973).[ll] Lax, P.D., Levermore, D., The zero dispersion limit for Korteweg de Vries equation,Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 76(8) (1979), 3602-3606.[lef] Le Floch, P., Entropy weak solutions to nonlinear hyperbolic systems undernonconservative form, Comm.part.Diff.Eq. 13 (1988), 669-727.[lef1] Le Floch, P., Hyperbolic Systems of Conseravtion Laws - the theory of Classicaland Nonclassical Shock Waves, Birkhäuser Verlag, Basel 2002.[marc] Marcati, P., Approximate solutions to scalar conservation laws via degeneratediffusion, Hyperbolic equations (Padua, 1985), 272–277, Pitman Res. NotesMath. Ser., 158, Longman Sci. Tech., Harlow, 1987.[mp] Marcati, P., Approximate solutions to conservation laws via convective parabolicequations. Comm. Partial Differential Equations 13 (1988), no. 3, 321–344.[mn] Nedeljkov M., Delta and singular delta locus for one dimensional systems ofconservation laws, to appear in Math. Mod. Appl. Sci.[mo] Oberguggenberger, M., Multiplication of Distributions and Applications toPartial Differential Equations, Pitman Res. Not. Math. 259, Longman Sci.Techn., Essex 1992.[mo2] Oberguggenberger, M., Case study of a nonlinear, nonconservative, nonstrictlyhyperbolicsystem, Nonlin. Anal. Th. Meth. Appl., 19(1) (1992), 53-79.[mow] Oberguggenberger, M., Wang, Y.-G., Generalized solutions to conservationlaws, Zeitschr. Anal. Anw. 13 (1994), 7-18.[pps] Perišić,D., Pilipović, S,. Stojanović, M., Funkcije više promenjljivih diferencijalnii integralni račun, Univerzitet u Novom Sadu, 33 Edicija univerzitetskiudžbenik 1997.[ps] Pilipović, S,. Stanković, B., Prostori distribucija, SANU, Ogranak u NovomSadu, 2000.[r] Rauch, J., Partial Differential Equations, Springer-Verlag New York, Inc., 1991.53

54[ru] Rudin, W., Real and complex analysis, McGraw-Hill, Inc. 1987, 1974, 1966[s] Schwartz, L., Théorie des ditributions , Nouvele ed., Hermann, Paris 1996.[s1] Schwartz, L., Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and CylindricalMeasures, Tata Institute of Fundamental Reasearch, 1973.[se] Serre, D., Systems of Conseravation Laws 1 - Hyperbolicity, Entropies, ShockWaves Cambridge University Press, 1999.[sm] Smoller, J., Schock Waves and Reaction-Diffusion Eguations Springer, Berlin1983.[st] Strauss, W.A., Partial Differential Equations - an introduction, John Wiley &Sons, Inc. 1992.[t] Tartar, L., Compensated compactness and applications to partial differentialequations, In : R.J. Knops (Ed.), Nonlinear Analysis and Machanics : Heriot-Watt Symposium IV. Pitman, London, 1979.[t1] Tartar, L., The compensated compactness method applied to systems of conservationlaws , In : J.M. Ball (Ed.), Systems of nonlinear partial differentialequations : NATO ASI Series, C.Reidel, 1983.[vh] Vol’pert, A.I., Hundjaev, S.I., Analysis in Classes of Discontinuous Functionsof Mathematical Physics, Martinns Nijhoff Publ., Dordrecht, 1985.[vvv] Vol’pert, A.I., Vol’pert, V.A.,Vol’pert, V.A., Traveling Wave Solutions ofParabolic Systems, AMS 1994.[y] Yang, H., Riemann problems for a class of coupled hyperbolic systems of conservationlaws, J. Diff. Eq. 159 (1999), 447-484.[ylc] Young, L. C., Lectures on the Calculus of Variations and Optimal ControlTheory W.B. Saunders Company, 1969.[w] Whitham, G.B., Linear and nonlinear waves, John Wiley & Sons, New York ,1974.[sem1] Aleksić, J., Slaba i uopštena rešenja zakona održanja, seminarski rad, Departmanza matematiku, Univerzitet u Novom Sadu, 2004.