Poglavje 4 Gibanje v 1 dimenziji

4.2. DELEC V NESKONČNO GLOBOKI POTENCIALNI JAMI 5= π0[cos (n − n ) φ − cos (n + n ) φ] dφ == sin (n − n ) π(n − n ) π − sin (n + n ) π(n + n ) πIntegral je enak 1, če je n = n , sicer je 0. To lahko krajše zapišemo sKroneckerjevim simbolom δ nn ,zakateregaveljaδ nn =1inδ nn =0zan = n : aψ n (x) ψ n (x) dx = δ nn (4.2)0Funkcije s to lastnostjo so med seboj ortogonalne in normirane, alikrajše, ortonormirane. Z njo zlahka pokažemo, da razvoj 4.1 obstaja.Pomnožimo 4.1 na levi in na desni z ψ n (x) in integrirajmo: a0ψ n (x) Ψ(x, 0) dx = n ac n ψ n (x) ψ n (x) dx0V vsoti na desni je od nič različen le člen z n = n ,takodajec n = a0ψ n (x) Ψ(x, 0) dxRazvoj 4.1 nam omogoča zapisati, kako se dana valovna funkcijarazvija s časom. Časovna odvisnost lastnih stanj energije je e −iωnt ,kjerje ω n = W n /. Ker so funkcije ψ n (x) e −iωnt rešitve časovno odvisneSchroedingerjeve enačbe, je rešitev tudi njihova linearna kombinacija.Tako je valovna funkcija delca v poljubnem trenutkuΨ(x, t) = nc n ψ n (x) e −iω ntS tem smo dobili rešitev časovno odvisne Schroedingerjeve enačbe zadano začetno stanje Ψ (x, 0) .Zgled: lokaliziran delecPoglejmo zelo poučen zgled. Podobno kot za prost delec lahko zazačetno stanje delca ob t = 0 vzamemo Gaussov valovni paket, ki naj