Poglavje 4 Gibanje v 1 dimenziji

4 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIStanje z najnižjoenergijojeosnovno stanje. Energija osnovnega stanjaje večja od nič, kar je spet posledica tega, da je delec omejen na končenprostor.Lastne funkcije ψ n (x) sostoječi valovi. Matematično je problemkvantnega delca v neskončni potencialni jami enak kot problem lastnihnihanj strune. Tudi pri struni imajo lastna nihanja obliko stoječihvalov, to je vsote dveh nasprotnih potujočih valov, ki se odbijata odkoncev strune.Valovni vektor stoječegavalajepravtakokotzadelecvjami k n = nπ/a.Iz pogoja za normalizacijo |ψ| 2 dx = 1 dobimo še konstanto A: aA 2 n sin 2 nπ0 a xdx = 1A 2 an2 = 1A n =2aLastnim vrednostim energije pravimo tudi spekter energij. Za vezanedelce, to je, delce, ki jih potencialna energija omejuje na končno območjeprostora, je spekter vedno diskreten.4.2.1 Lastnosti lastnih funkcijLastne funkcije energije imajo nekatere pomembne lepe lastnosti. Najpomembnejšaje, da lahko vsako valovno funkcijo delca v jami razvijemopo lastnih funkcijah energije. Naj je ob času t =0delecvstanjuΨ(x, 0) . To valovno funkcijo lahko zapišemo v oblikiΨ(x, 0) = nc n ψ n (x) (4.1)Koeficienti c n so seveda odvisno od funkcije Ψ (x, 0). Tak zapis je moženzaradi naslednje lastnosti lastnih funkcij energije: aψ n ψ n dx = 2 asin nπ0a 0 a x sin n πa xdx== 2 πsin nφ sin n φdφ=π0