Poglavje 4 Gibanje v 1 dimenziji

4.4. GOSTOTATOKADELCEVINKONTINUITETNAENAČBA154.4 Gostota toka delcev in kontinuitetnaenačbaPreden nadaljujemo s primeri gibanja, si poglejmo še, kako lahko izračunamoiz valovne funkcije gostoto toka delcev. Ta je pomembna, kadar imamoopravka z nevezanimi stanji, torej v primerih, ko potencialna energija neomejuje delcev na končni del prostora. Vzemimo najprej, da je delec vdelu prostora, kjer je potencial konstanten, lahko kar 0. Tedaj so dobrerešitve Schroedingerjeve enačbe ravni valovi z dobro določeno gibalnokoličino p = k :Ψ(x, t) =Ae i(kx−ωt)Ustrezna hitrost delca je p/m = k/m. Vklasični fiziki je gostota tokadelcev produkt gostote delcev in njihove hitrosti. V kvantni mehanikije torej smiselno definirati gostoto toka kot produkt gostote verjetnosti,da najdemo delec na danem mestu, in pričakovane vrednosti hitrosti:j = k m Ψ∗ Ψ= k m |A|2 (4.7)Ta zveza nam tudi za raven val omogoča smiselno normalizacijo konstanteA: namesto da zahtevamo, da je integral |Ψ| 2 po vsem prostoruenak 1, izberemo A tako, da dobimo predpisano gostoto toka delcev.Za stanja, ki niso ravni valovi, postopamo takole. Zapišimo Schroedingerjevoenačbo in njej konjugirano kompleksno enačbo:− 2 ∂ 2 Ψ+ V (x)Ψ = i ∂Ψ2m ∂x2 ∂t− 2 ∂ 2 Ψ ∗2m ∂x + V 2 (x)Ψ∗ = −i ∂Ψ∗∂tPrvo enčbo pomonožimo s Ψ ∗ , drugo pa s Ψ in drugo enačbo odštejmood prve.Člena s potencialom se odštejeta, ostane− 2Ψ ∗ ∂2 Ψ2m ∂x − Ψ ∗2 Ψ∂2 = i ∂x 2To enačbo lahko preoblikujemo vi ∂2m ∂xΨ ∗ ∂Ψ∂x − Ψ∂Ψ∗ ∂xΨ ∗ ∂Ψ∂t +Ψ∂Ψ∗ ∂t= ∂ |Ψ|2∂t(4.8)