Poglavje 4 Gibanje v 1 dimenziji

10 POGLAVJE 4. GIBANJE V 1 DIMENZIJIPri velikih vrednostih |x| narašča potencialna energija čez vse meje,zato mora za vsako končno energijo delca težiti verjetnost, da najdemodelec v zelo veliki oddaljenosti od izhodisč”a, proti nič, tako da imamorobna pogojaψ (x →∞)=ψ (x →−∞)=0Reševanje difernecialnih enačb, kjer koeficienti niso konstante, jenekoliko bolj zapleteno. Pogljemo glavne korake, s katerimi pridemodo rešitev enačbe 4.4.4.3.1 *Iskanje lastnih vrednosti in lastnih funkcijZaradi večje preglednosti najprej preoblikujmo enačbo 4.4 v brezdimenzijskoobliko. Z novo spremenljivko ξ =(mω 0 /) 1/2 x preide enčbavd 2 ψ (ξ)− ξ 2 ψ (ξ)+εψ(ξ) =0dξ 2kjer je ε =2W/ (ω 0 ). Tako ξ kot ε sta brez enote. Vidimo še, da vnovi enačbi ni nobenega prostega parametra, v prvotni obliki enčbe pasta dva (m in ω 0 )inše konstanta . Rešitvezapoljubnoizbiromasein lastne frekvence (ali konstante vzmeti) so si torej podobne.Za dovolj velike ξ, tako da je ξ 2 >> ε, lahko v zadnjem členu venačbi postavimo ε =1. Enačbo ψ − ξ 2 ψ + ψ =0rešita funkcijie −ξ2 /2 in e ξ2 /2 ,očemer se zlahka prepričamo z odvajanjem. Zato privzamemonastavek ψ (ξ) =e −ξ2 /2 f (ξ). Druga asimptotična rešitev e ξ2 /2ne pride v poštev, ker v neskončnosti narašča. Za funkcijo f dobimonovo diferencialno enačbod 2 f df− 2ξ +(ε − 1) f =0dξ2 dξRešitev poskusimo poiskati v obliki potenčne vrste f(ξ) = ∞j=0 c jξ j .Prvi odvod je f = ∞j=1 jc jξ j−1 ,drugipaf = ∞j=2 j (j − 1) c jξ j−2 = ∞j=0 (j +2)(j +1)c j+2ξ j . Te izraze postavimo v diferencialno enačboin zberemo člene z enako potenco ξ:∞[(j +2)(j +1)c j+2 − (2j +1− ε) c j ] ξ j =0j=0